PAGEPAGE72.3變量間的相關關系一、學習目標：1.理解兩個變量的相關關系的概念2.通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀判斷兩個變量之間是否具有相關關系；3.知道最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程。二、學習重點、難點：1重點：作出散點圖和根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程。2.難點：。三、學習方法：探究、合作、交流四、學習過程：〖創設情境〗1、函數是研究兩個變量之間的依存關系的一種數量形式.對于兩個變量，如果當一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關系就是一個函數關系2、在中學校園里，有這樣一種說法：“如果你的數學成績好，那么你的物理學習就不會有什么大問題?！卑凑者@種說法，似乎學生的物理成績與數學成績之間存在著某種關系，我們把數學成績和物理成績看成是兩個變量，那么這兩個變量之間的關系是函數關系嗎？3、“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學生的水平就越高，那么學生的學業成績與教師的教學水平之間的關系是函數關系嗎？（一）．相關關系(1)定義：如果兩個變量中一個變量的取值一定時，另一個變量的取值帶有一定的________性，那么這兩個變量之間的關系，叫做相關關系．(2)兩類特殊的相關關系：如果散點圖中點的分布是從________角到________角的區域，那么這兩個變量的相關關系稱為正相關，如果散點圖中點的分布是從________角到________角的區域，那么這兩個變量的相關關系稱為負相關．[歸納總結]兩個變量間的關系分為三類：一類是確定性的函數關系，如正方形的邊長與面積的關系；另一類是變量間確實存在關系，但又不具備函數關系所要求的確定性，它們的關系是帶有隨機性的，這種關系就是相關關系，例如，某位同學的“物理成績”與“數學成績”之間的關系，我們稱它們為相關關系；再一類是不相關，即兩個變量間沒有任何關系．（二）．線性相關(1)定義：如果兩個變量散點圖中點的分布從整體上看大致在一條________附近，我們就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做_________．(2)最小二乘法：求線性回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))時，使得樣本數據的點到它的________________最小的方法叫做最小二乘法，其中a，b的值由以下公式給出：其中=，=，a為回歸方程的斜率，b為截距。預習自測：1．下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是()A．瑞雪兆豐年 B．上梁不正下梁歪C．吸煙有害健康 D．喜鵲叫喜，烏鴉叫喪[答案]D[解析]選項A，B，C中描述的變量間都具有相關關系，而選項D是迷信說法，沒有科學依據．[規律總結]函數關系是一種確定性關系，相關關系是一種非確定性關系，判斷兩個變量間的關系是否為相關關系的關鍵是看這個關系是否具有不確定性．2．觀察下列散點圖，①正相關，②負相關，③不相關，與下列圖形相對應的是()A．①②③ B．②③①C．②①③ D．①③②[答案]D3．下列有關回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的敘述正確的是()①反映eq\o(y,\s\up6(^))與x之間的函數關系；②反映y與x之間的函數關系；③表示eq\o(y,\s\up6(^))與x之間的不確定關系；④表示最接近y與x之間真實關系的一條直線．A．①②B．②③C．③④D．①④[解析]eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))表示eq\o(y,\s\up6(^))與x之間的函數關系，而不是y與x之間的函數關系．但它所反映的關系最接近y與x之間的真實關系．故選D.[規律總結]回歸直線是對原數量關系的一種擬合，如果兩個變量不具有線性相關關系，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且由其得到估計和預測的值也是不可信的．4．回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a必經過()A．(0,0)B．(eq\x\to(x)，0)C．(0，eq\x\to(y))D．(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))（三）、精講精練探究一：變量之間的相關關系的判斷例一(1)下列變量之間的關系不是相關關系的是()A．二次函數y＝ax2＋bx＋c中，a，c是已知常數，取b為自變量，因變量是判別式Δ＝b2－4B．光照時間和果樹畝產量C．降雪量和交通事故發生率D．每畝田施肥量和糧食畝產量(2)現隨機抽取某校10名學生在入學考試中的數學成績x與入學后的第一次數學成績y，數據如下：學號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請利用散點圖判斷這10名學生的兩次數學考試成績是否具有相關關系．[探究]1.判斷兩個變量之間具有相關關系的關鍵是什么？2．利用散點圖判斷兩個變量是否具有相關關系的依據是什么？[解析](1)在A中，若b確定，則a，b，c都是常數，Δ＝b2－4ac也就唯一確這了，因此，這兩者之間是確定性的函數關系；一般來說，光照時間越長，果樹畝產量越高；降雪量越大，交通事故發生率越高；施肥量越多，糧食畝產量越高，所以B，C，D是相關關系．故選(2)兩次數學考試成績散點圖如圖所示，由散點圖可以看出兩個變量的對應點集中在一條直線的周圍，具有正相關關系．因此，這10名學生的兩次數學考試成績具有相關關系．[答案](1)A[規律總結]兩個變量x與y相關關系的判斷方法：(1)散點圖法：通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定規律，直觀地判斷；如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響．(2)表格、關系式法：結合表格或關系式進行判斷；(3)經驗法：借助積累的經驗進行分析判斷．[特別提醒]如果所有的樣本點都落在某一函數曲線附近，那么變量之間就有相關關系．變式一：對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(1)；對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點圖(2)．由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關，u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關[答案]C[解析]圖(1)中的數據y隨著x的增大而減小，因此變量x與變量y負相關；圖(2)中的數據隨著u的增大，v也增大，因此u與v正相關．探究二、回歸直線方程例二：隨著人們經濟收入的不斷增長，個人購買家庭轎車已不再是一種時尚．車的使用費用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費用到底會增長多少，一直是購車一族非常關心的問題．某汽車銷售公司作了一次抽樣調查，并統計得出某款車的使用年限x與所支出的總費用y(萬元)有如下的數據資料：使用年限x23456總費用y2.23.85.56.57.0若由資料，知y對x呈線性相關關系．試求：(1)線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的回歸系數eq\o(a,\s\up6(^))、eq\o(b,\s\up6(^))；(2)估計使用年限為10年時，車的使用總費用是多少？[探究]第一步，列表xi，yi，xiyi；第二步，計算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；第三步，代入公式計算b，a的值；第四步，寫出回歸直線方程．(1)利用公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2),\o(a,\s\up6(^))＝\o(y,\s\up6(－))－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－))，))來計算回歸系數．有時為了方便常列表，對應列出xiyi、xeq\o\al(2,i)，以利于求和．(2)獲得線性回歸方程后，取x＝10，即得所求．[解析](1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0xeq\o\al(2,i)49162536eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3于是eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23；eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.(2)線性回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08，當x＝10(年)時，eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23×10＋0.08＝12.38(萬元)，即估計使用10年時，支出總費用是12.38萬元．[規律總結]求回歸直線方程的一般步驟：①收集樣本數據，設為(xi，yi)，(i＝1,2，…，n)(數據一般由題目給出)．②作出散點圖，確定x，y具有線性相關關系．③把數據制成表格xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.④計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi，代入公式計算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))，公式為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\o(x,\s\up6(－)).))⑥寫出回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).變式二：(1)(2015·石家莊高二檢測)已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點中心(即(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)))為(4,5)，則回歸直線的方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋4B.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋5C.eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08D.eq\o(y,\s\up6(^))＝0.08x＋1.23(2)某公司的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有下列對應數據：x24568y3040605070資料顯示y對x呈線性相關關系．根據上表提供的數據得到回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，預測銷售額為115萬元時約需________萬元廣告費．[答案](1)C(2)15[解析](1)由題意知，可設此回歸直線的方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋eq\o(a,\s\up6(^))，又因為回歸直線必過點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，所以點(4,5)在直線eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，所以5＝1.23×4＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))＝0.08，故回歸直線的方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08.(2)eq\x\to(x)＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50.因為回歸方程過樣本中心(5,50)，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，得eq\o(a,\s\up6(^))＝17.5，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，（四）【課堂小結】1、求樣本數據的線性回歸方程，可按下列步驟進行：（1）計算平均數，；（2）