必修四平面向量

總復習必修四平面向量

總復習知識網絡單位向量及零向量平行向量和共線向量平行與垂直的充要條件向量向量有關概念向量的運算基本應用向量的定義相等向量向量的加法向量的減法實數和向量的積向量的數量積求長度求角度知識網絡單位向量及零向量平行向量和共線向量平行與垂直的充要條一、向量的概念注意：1）共線向量（平行向量）:方向相同或相反的非零向量2）零向量與任意向量共線一、本章注意問題一、向量的概念注意：1）共線向量（平行向量）:方向相同或相反三、向量的運算ABD（注意：）向量的減法2、坐標運算：1、作圖三角形法則：a三、向量的運算ABD（注意：）向量的減法2、坐標運算：1、作1、平面非零向量數量積的定義：2、數量積是一個數，它的正負取決于夾角的余弦值(四)數量積3、零向量與任何向量的數量積為零1、平面非零向量數量積的定義：2、數量積是一個數，它的正負取2023/9/126（4）兩個非零向量的數量積：

規定：零向量與任一向量的數量積為0a·b=|a||b|cosθ幾何意義：數量積

a·b等于

a的長度

|a|與

b在a的方向上的投影

|b|cosθ的乘積。AabθBB1OBAθbB1aOθBb(B1)AaO2023/8/86（4）兩個非零向量的數量積：a·b四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共線向量的判定)六、向量的長度七、向量的夾角向量表示坐標表示向量表示坐標表示四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共線向量的判定)六、向例1e1、e2不共線，a=e1+e2b=3e1－3e2a與b是否共線。解：假設,a與b共線則

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

這樣λ不存在。

∴a與b不共線。典型例題分析:例1e1、e2不共線，a=e1+e2b=3e1－3e例2設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴例2設a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kbBC=解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b例3、已知a=(3,-2)

b=(-2,1)c=(7,-4)，用a、b表示c。例3、已知a=(3,-2)b=(-2,1)c=(解：設a=(x,y)

則x2+y2=100

-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8

a=(6,-8)或(-6,8)例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a例5、設|a|=|b|=1|3a-2b|=3則|3a+b|=____例5、設|a|=|b|=1|3a-2b|=3則|3a+解：9=9a2+4b2-12a·b∴a·b=

又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12

∴|3a+b|=2解：9=9a2+4b2-12a·b解：∵∴同理可得

∴θ=120°解：∵∴同理可得∴θ=120°(1)K=19(1)K=19高一升高二銜接教材高二預科班數學課程二十講(課件)：第十二講-平面向量全章復習[解][答案]

C[解][答案]C高一升高二銜接教材高二預科班數學課程二十講(課件)：第十二講-平面向量全章復習[解][解][例10][例10][解析][解析]練習一、選擇題：1、如圖所示，G為ABC的重心，則GA+GB-GC等于（D）

A.0

B.GEC.4GD

D.4GF2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(A)A.λ>B.λ≥C.λ<D.λ≤3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，則a和b的夾角θ是（A）

A.120。B.150。C.60。D.30。ABDCGFE練習ABDCGFE4、已知|a|=|b|=1,a與b的夾角為90。，c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（）

A.-6

B.6

C.3

D.-35、設點A(a,b),B(c,d)，若徑平移得A(2a,2b)，那么B點之新坐標為（）

A.(2c,2d)B.(a+c,b+d)C.(a+2c,b+2d)D.(2a+c,2b+d)6、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33，則a與b的夾角為（）

A.30。B.60。C.120。D.150。7.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,則a·b=()A.10B.-10C.10D.104、已知|a|=|b|=1,a與b的夾角為90。，c=2a+8、已知△ABC中,AB=a,AC=b,a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角為（）

A.30。B.-150。C.150。D.30。或150。9、若點P分AB所成的比為，則A分BP所成的比是（）

A.B.C.-D.-10、在△ABC中，三內角A,B,C對應的三邊分別為a,b,c,已知c=3,∠C=60。,a+b=5，則cos的值是（）

A.B.C.D.8、已知△ABC中,AB=a,AC=b,a·b<0，S△AB11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),則∠A=（）

A.30。

B.60。

C.120。

D.150。12、在△ABC中，已知角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且3b=asinB,cosB=cosC，則△ABC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形11、在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b+c),則二、填空題：13、設a=(m+1)e1-3e2,b=e1+(m-1)e2,若(a+b)⊥(a-b),那么m=____。14、單位向量e1,e2的夾角為60。，則(e1-2e2)·(-2e1+3e2)=______。15、在△ABC中，若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,則∠A=_____。16、在△ABC中，a,b,c分別是角A，B，C的對邊長，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC)=3asinB，則∠C=_______。二、填空題：三、解答題：17、已知e1與e2是夾角為60。的單位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a與b的夾角α。解：e1,e2是單位向量，且夾角為60。

∴e1e2=|e1||e2|cos60。=∴ab=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-12e1e2+4e22=7|a|=|b|=∴cosα=α=120。三、解答題：20、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角；(2)已知|a|=,|b|=，且a與b的夾角為，試求a+2b與a-b的夾角θ的大小。解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0(a-4b)·(7a-2b)=07a+16a·b-15b=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cosθ=θ=60。20、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂（2）a2=3b2=4|a|·|b|=2a·b=|a|·|b|cosθ=·cos30。=3（2）a2=3b2=4|a|·|b|=222、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點D和向量AD的坐標；（3）求證：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC22、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共線

∴5×(x+1)-5(y+2