解直角三角形解直角三角形.第六講解直角三角形【問題探索】問題：已知平頂屋面的寬度L和坡頂的設計高度能求出斜面鋼條的長度和傾角a嗎？變：已知平頂屋面的寬度L和坡頂的設計傾角你能求出斜面鋼條的長度和設計高度h嗎？【新課引入】在直角三角形中，由已知的一些邊、角，求出另一些邊、角的過程，叫在三角形中共有幾個元素?直角三角形ABC中，/C=90°a、(1)三邊之間關系：a2+b2=c2(2)銳角之間關系/A+/B=90°(3)邊角之間關系：b、c、/A、/B這五個元素間有哪些等量關系呢?(勾股定理)?正弦函數:sinA=.A的對邊

斜邊余弦函數:cosA=■正切函數:tanA二厶A的對邊.A的鄰邊【精選例題】(一)求直角三角形中的邊和角解直角三角形，只有下面兩種情況:(1)(2)例1形：已知兩條邊；已知一條邊和一個銳角(兩個已知元素中至少有一條邊)在RtAABC中，/C=90°,a、b、c分別是/A、/B、/C的對邊。解下列直角三角已知a=3,b=3,已知c=8,b=4,已知c=8，/A=45°解析:已知兩直角邊的長，根據勾股定理可求斜邊 c=3?、2,由三角函數公式可求sinA=一,2推出NA=45°根據直角三角形兩銳角互余”可求NB=45°a=43a=43，通過三角函數公式求角度SinA=孚可知N厲，根據直角三角形兩銳角互余”得乂B=30；”得.B=45°”得.B=45°，由三角函數公式可知a=csin45=42,b=ccos45=4

前思后想:已知一銳角求另一銳角 ——“直角三角形兩銳角互余”已知直角三角形的兩邊求第三邊一一勾股定理；已知一邊和一銳角——三角函數公式三角函數公式可變形為： a=csinA，b=ccosA，a=btanA，c=asinAc=c=asinAc=—，

cosAb=?_tanA例2例2在Rt「ABC中，.C=90，AC=6，D是AC上一1點，若tanZDBC ，AB=10，試求AD。解析：先由勾股定理求得BC=「AB2二AC2=8，再根據三角函數可求出AD=AC—DC=2.前思后想：本題用方程求解也可，解題過程如下：在RtAABC中，由勾股定理得： BC=AB2-AC2=8,設AD=x,設AD=x,則在RtCDBC中，由三角函數可知:tan.DBC=DC,BC_6—x8_解得：x=2，即：AD=2。由方程求解時，列方程的依據是等量關系三角函數公式。由方程求解時，列方程的依據是等量關系三角函數公式。牛刀小試:已知直角三角形ABC中，斜邊AB的長為m,.B=40‘，則直角邊BC的長是(A.msin40、 B.mcos40" C.mtan40" D.―tan40"'2.在Rt△ABC中，C=90〃,BC二5,AC=.15，則.A=( )A.90 B.60 C.45 D.30：'在AABC中，ZC為直角，ZA、ZB、ZC所對的邊分別為a、b、c,且a=\3,b=3,解這個三角形.如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點，以E為圓心、EC為半徑的半圓與以A為圓心，AB為半徑的圓弧外切，則sin.EAB的值為 。（寫明理由）答案：B;D；在Rt△ABC中，由勾股定理得： C=、a2b2=2.3a1a1.sinA=—= ,c2，?”/A=30°。/B=60°。設兩圓半徑分別為R和r，在Rt△ABE中，由勾股定理可知:(R-r(R-rf F2=(R■I)，■R=4r.sin￡EAB=R-r_3r_3Rr=5r=5（二）構造直角三角形求邊角例3如圖，廠房屋頂人字架（等腰三角形）的跨度為10（二）構造直角三角形求邊角例3如圖，廠房屋頂人字架（等腰三角形）的跨度為10米,/A=26°求中柱BC（C為底邊中點）和上弦AB的長。（精確到0.01米，tan26o=0.4877,cos26o=0.8988）解析：先由等腰三角形的性質可知中柱 BC垂直平分橫梁（跨度），即可把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形；再運用三角函數解直角三角形解答： 人字架是等腰三角形，BC是中柱，ABC，即可。BC垂直平分橫梁即：AABC是直角三角形，AC=5mZA=26.tanA=匹,.tanA=匹,ACcosA=ACAB即：BC=ACtanA=50.48772.44AB=-AC= 5 5.56cosA0.8988答：中柱BC的長約為2.44米，上弦AB的長約為5.56米。前思后想：此題先要理解中柱”的含義一一底邊上的中線，其次能立即想到等腰三角形 三線合一的性質找出直角三角形，最后才能運用三角函數解直角三角形例4已知△ABC中，/C=90°,AD是角平分線，且BD:CD=4:3，求sinB的值。解析：山窮水盡疑無路：首先想到2B是RtAABC的一個銳角，sinB=AC—C”，再苦思冥想AC、AB、BC三邊之間的數量關系，總是AB不得其解。回頭是岸：前面思路是由于審題時急功近利，過多的關注問題，沒有仔細分析題目的條件,把自己帶入了死胡同。解題不能 狹路相逢一一勇者勝”應該及早醒悟，回頭是岸！柳暗花明乂一村：AD是角平分線，哪個角的平分線？由它能想到哪些結論？（角平分線的性質角平分線上的點到角兩邊的距離相等 ”），D點到AC邊得距離是什么？與它相等的 D點到AB的距離呢？圖中又出現哪些直角三角形？2 B是哪些直角三角形的銳角？我們能推

出該直角三角形哪些邊的數量關系？正確解答：過D點作DE_AB,垂足為E,-AD是/BAC的角平分線，且/ C=90°.DE=DCBD:CD=4:3亠 亠 DEDC3.在Rt/△BDE中，sinB== =-BDBD4前思后想：本題是根據角平分線的性質來構造新的直角三角形， 求某個銳角的三角函數的。雖然題目給了我們一個直角三角形，但是它不能解決問題，此時就要及時回到已知條件，逐個條件進行推導，尋找新思路。例5如圖，AB是半圓的直徑，弦AD,BC相交于P,已知/DPB=60°D是6C的中點，貝Utan/ADC等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)33解析：錯誤思路：按照部分學生的解題思路，首先想到的就是在圖形中找/ ADC所在的直角三角形，繼而想到過C點作AD得垂線，但是又不符合垂徑定理，結果發現無法進行下去。正確思路：從已知條件出發，每個條件逐一推導，就能找到解決問題的方法。解答：連接BD,'AB是半圓的直徑./ADB=90°/DPB=60°./PBD=30°D是BC的中點.BD=CD/A=/C=/PBD=30°/ABD=60°./ADC=/ABC=/ABD—/PBD=30°43tan/ADC=tan30=-3前思后想：求一個角的三角函數值，尋找直角三角形是關鍵，但是也不是千篇一律， 方法如下：沒有直角三角形時，就要根據題目條件構造直角三角形；根據條件進行等角轉移，求相等角的三角函數值；

根據條件求出該角的度數，再由特殊角的三角函數值求解。例6小剛有一塊含有30°角的直角三角板，他想測量其短直角邊的長度，而手中另外只有一個量角器，于是他采用了如下的辦法，并獲得了相關數據：第一步，他先用三角板標有刻度的一邊測出量角器的直徑 AB的長度為9cm;第二步，將三角板與量角器按如圖所示的方式擺放，并量得/BOC為80°（O為AB的中點）.請你根據小剛測得的數據，求出三角板的短直角邊AC的長.（參考數據:sin80=0.98,cos80°=0.17,tan80=5.67;sin40=0.64,cos40°=0.77,tan40=0.84，結果精確到0.1cm.）解析：審題回答問題：① ABC是什么三角形？②/BAC多少度？③在.：ABC中我們知道哪幾個因素？④要咱們求什么因素？解答：/ACB是直角三角板的直角，?：ABC為直角三角形.1 由題意可知：在Rt.lABC中，AB=9，/BAC=-/BOC=40.AC.cos/BAC= AC=ABcos/BAC=90.7769AB答：直角三角板的短直角邊長為 6.9cm。前思后想:TOC\o"1-5"\h\z本題考察了同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 ”、運用三角函數解直角三角形 兩個方面的知識，它是把問題放在具體的測量操作中進行考察的。 解決此題的關鍵是讀題， 找到所求線段所在的直角三角形，從操作步驟中找出已知邊的長度和已知角的度數。牛刀小試：等腰三角形的周長為 2 3，腰長為1，則底角等于如圖，/1的正切值等于 ;如圖，兩條寬度都是 1的紙條交叉疊在一起，且它們的夾角為:,則它們重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（11A、 B、 —sin： cos：c、sin： D、1在RtMBC中，/C=90°/A、/B的對邊分別是a、b，且滿足a2—ab—b2=0,則tanA等于（ ）Fi

Fi如圖，△ABC中，AB=AC,/A=45°AC的垂直平分線分別交AB,AC于D,E兩點,TOC\o"1-5"\h\z連接CD。如果AD=1，那么tan/BCD= 。在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且/NMB=/MBC，貝Utan/ABM= 。_1_14.B; 5.■2-1; 6.13130° 2.-； 3.A;3【課后作業】1?在下列直角三角形中不能求解的是（ ）A、已知一直角邊一銳角 B、已知一斜邊一銳角C、已知兩邊 D、已知兩角已知：在RtAABC中，/C=90°,b=2>/5,c=4。求：a、/B、/A解直角三角形在RtAABC中，/C=90°a=,b=3b=5,c=5.2a=6,A=30°B=30°,C=5,3如圖，兩建筑物的水平距離BC為24米，從點A測得點D的俯角=30°測得點C的俯角1=60°求AB和CD兩座建筑物的高.（結果保留根號）AABC內接于圓0,若圓的半徑是2,AB=3，求sinC已知AABC中，AB=42,/B=45°/C=60°AH丄BC于H，貝UCH= 平行四邊形ABCD兩鄰邊長分別為4cm和6cm，它們夾角60°則較短的對角線的長 cm。&等腰三角形底邊長10cm，周長為36cm,則一底角的正切值為 如圖，在AABC中，/C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分線MNAC于D，連結BD，若cos/BDC=3，則BC的長是（ ）5A、4cm B、6cmC、8cm D、10cm如圖，AABC是等腰三角形，/ACB=90°，過BC的中點D作DE丄AB，垂足為E,連結CE，求sin/ACE的值。

在正方形ABCD，點E在CD邊上，且CE:DE=1:3,求/AEB的正弦值。12?在一堂學習解直角三角形課時，劉老師準備了道具：兩根定在一起的木條， 一根AB長20厘米，另一根AC長30厘米。（如圖所示）劉老師進行了如下提問： （（1）、（2）、（3）直接填空，（4）寫過程）（1） 當兩根木條垂直時，△ABC的面積是 （2） 當兩根木條成30°夾角時，△ABC的面積是 （3） 當兩根木條成夾角為％時（a是銳角），△ABC的面積是同學們認真思考兩根木條成150°夾角時，△ABC的面積是多少?同學們認真思考兩根木條成150°夾角時，△ABC的面積是多少?13.AD是厶ABC的高，AD在厶ABC的外部，AD=BD=1A.15° B.60C.105D.15或105°14.在△ABC中,Z0=90°,點D在AC上，且AD=BD,BC=3,DC=4，/BDC=a，貝Utan丄―=( )C.3△ABCC.3△ABC中,ZC=90°/BAC=30°,AD是中線，則tanZDAC=A.再B.逅 C.3再 D羊6如圖，△ABC中,CD是中線，且CD丄CA,CD=3,tanZBCD=￡，求△ABC各邊的長。如圖所示，等腰梯形ABCD,AD//BC,ZDBC=45°，翻折梯形ABCD,?使點B重合于點D,折痕分別交邊AB、BC于點F、E，若AD=2,BC=8.求：（1）BE的長；（2）ZCOE的正切值.已知：如圖，在梯形ABCD中,AD//BC,ZABC=90°上C=?45°BE丄CD于點E,AD=1,CD=22.求：BE的長.

如圖，已知ABEC是等邊三角形，/AEB=/DEC=90°.AE=DE,AC、BD的交點為O.求證：△AEC◎△DEB;若/ABC=/DCB=90°,AB=2cm,求圖中陰影部分的面積.答案：1.D；在RtAABC中，/C=90°b=2廳,c=4，二由勾股定理可知： a=Jc2—b2=2。si叱#, 心0。在RtAABC中，/C=90°(1) b=3,a=3,c=a2b2=2、3,a1sinA=￡=-,./A=30°，/B=60。c2b=5,c=5.2, .a=.c2—b2=5。sinA=a=二,.ZA=45，/B=45°。c2??-a=6,ZA=30°:丄B=60°sinA=旦=1,tanA=— 3,.c=12,b=63。c2 b3c=53,ZB=30°,.ZA=60°。b1 D_aV3 . 5廠_D_15'sinB=-= ,cosB= ,.b=csinB=-3。.a=ccosB=—。c2 c2 2 2延長CD，交水平線于E點。由題意可知：tan：二匹,tan1：=些,.DE=AEtan30‘^83,CE=AEtan60‘=24.3。AE AE.AB=CE243CD=CE-DE=16.3。答：AB、CD兩座建筑物的高度分別為24.3、16.35?連接過A、B兩點的半徑，過O點作AB得垂線段OD,根據垂徑定理可知：AD=32由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半 ”，可知：sinC=sinAOD=^D=-OA4

6.4、3； 7.27; 8.12; 9.A;3 510.過E點作EF_BC/ACB=90.EF//AC./ACE=/CEF-△ABC是等腰三角形，且D是BC中點,設CD=BD=x，貝UAC=2x,3 1.CF=—x,EF=—x:3 21 2CE=(2X)(2x)10x2.sin/ACE=sin:3 21 2CE=(2X)(2x)10x2.sin/