一類勢函數的性質

0多元正態總體模型參數的修正檢驗配置xj1、xj2、。。。xjnj（j.1，2，…，q）是從p維真正態平均氮（j，12j）中提取的隨機樣本。為了便于說明，將正態平方差的一般矩陣（12）j，j0）進行比較，并考慮yj=12jj1xjsj=j=1（xj）-xj））進行基礎驗證。簡單地說。yj~Νp(μj,12Σj),Sj~Wp(12Σj,nj)(j=1,2,?,q)且相互獨立.其中ˉXj=1ΝjΝj∑α=1Xjα,μj=Ν12jθj?nj=Νj-1?Wp(Σ,n)表示Wishart分布,其密度函數為[212pn|Σ|12nΓp(12n)]-1?|S|12(n-p-1)etr(-12Σ-1S)(1)其中Γp(12n)=π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-p+12).設原假設為H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2Ip,其中σ2>0且未知,Ip表示p階單位矩陣.相應于A≠H檢驗原假設H的似然比統計量為Λ*=(pΝ)12pnq∏j=1Ν12pΝjj?q∏j=1|Sj|12Νj[tr(S1+S2+?+Sq)]12pΝ(2)其中Ν=q∑j=1Νj.記n=q∑j=1nj.在上式中用nj代Nj,用n代N,則得到修正似然比統計量為Λ=(pn)12pnq∏j=1n12pnjj?q∏j=1|Sj|12nj[tr(S1+S2+?+Sq)]12pn(3)對于這種多元正態總體中關于協方差矩陣的球性檢驗問題,文給出了在與原假設相接近的某些備擇假設下修正似然比檢驗統計量(3)的非零分布的漸近展開式,文給出了修正似然比檢驗統計量在固定備擇假設A≠H之下非零分布的漸近展開式.然而對有關參數的檢驗問題,我們不僅要給出檢驗的方法,而且在某種意義上更希望了解和掌握這種檢驗的性質.在采用修正似然比檢驗統計量的情形下,文和文證明了這一檢驗是無偏的,文還給出了當q=1時這一檢驗的單調性結論.本文將給出當q≥2時這一檢驗的單調性結論.1正交變換群的vpp工藝設有變換:yj→bΓjyj+α,Vj→b2ΓjVjΓj(j=1,2,?,q)(4)其中b≠0,ΓjΓj′=I.易知相對于A≠H檢驗H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的檢驗問題在上述正交變換群下保持不變.設lj1,lj2,…,ljp(j=1,2,…,q)為Vj的p個特征根,且不妨設Σj為對角形矩陣:Σj=diag(σj1,σj2,?,σjp)(j=1,2,?,p)(5)其中σj1,σj2,…,σjp為Σj的p個特征根.將諸Vj的qp個特征根ljt及諸Σj的qp個特征根σjt(j=1,2,…,q;t=1,2,…,p)分別按由大到小的次序排列,記為l1≥l2≥?≥lpq,r1≥r2≥?≥rqp,則不難證得下述引理的結論成立.引理1對于相應于A≠H檢驗H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的檢驗問題,在上述正交變換群(4)下的一組最大不變量是(l1l2,l2l3,?,lqp-1lqp),而參數空間上的一組最大不變量是(σ1σ2,σ2σ3,?,σqp-1σqp).引理2設V=(vij)p×p～Wp(Σ,n)(n≥p),Σ是以σ1,σ2,…,σp為對角線元素的對角矩陣:Σ=diag(σ1,σ2,…,σp),令rij=vij(viivjj)12,(i≠j,1≤i＜j≤p,i=1,2,?,p)rii=1(i=1,2,?,p)則子樣相關系數矩陣R=(rij)p×p的密度為[Γ(12n)]p[π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-i-12)]-1|R|14(n-p-1)(6)諸vii～σiχ2n(i=1,2,…,p)且相互獨立.又R與諸vii相互獨立.證明作變換V=diag(v1211,v1222,?,v12pp)Rdiang(v1211,v1222,?,v12pp),此變換的Jacobian為J(V→R,v11,v22,…,vpp)=∏1≤i＜j≤p(viivjj)12=p∏r=1(vrr)12(p-1),因此,由(1)式可知R與v11,v22,…,vpp的聯合密度為f(R,vii,i=1,2,?,p)=[Γ(12n)]p[π14p(p-1)p∏i=1Γ(n-i-12)]-1|R|12(n-i-1).p∏i=1{[212nΓ(12n)σi]-1(viiσi)12n-1exp(-vii2σi)}(7)將上式兩端依次對v11,v22,…,vpp積分,即知R的密度如(6)所示,且可知vii～σiχ2ni(i=1,2,…,p)且相互獨立.又R與諸vii相互獨立.引理3設諸Sj(j=1,2,…,l)相互獨立且依次服從12σjχ2nj,又假定σ1≥σ2≥…≥σl,記A?A(S1,S2,?,Sl)={S1,S2,?,Sl|l∏j=1Snjj(l∑j=1Sj)-Ν(l)≤c}.其中N(l)=l∑j=1nj,c為常數.令P(A)=P((S1,S2,…,Sl)A).那么,對任一個k(1≤k≤l),當p-2參數δi=σiσi+1(i=1,2,?,l-1;i≠k)固定時,P(A)是δk=δkδk+1的單調非減函數.證明參見文.2似然比檢驗tqp-1由于上述關于多個多元正態總體的協方差矩陣的球性檢驗問題在正交變換群(4)下保持不變,所以將限于討論不變檢驗.由引理1可知任一不變檢驗是以最大不變量(l1l2,l2l3,?,lqp-1lqp)的函數為基礎的,即任一不變檢驗只依賴于這個最大不變量.同時,由于參數空間內的最大不變量為(σ1σ2,σ2σ3,?,σqp-1σqp),可知任一不變檢驗的勢函數只通過(σ1σ2,σ2σ3,?,σqp-1σqp)依賴于參數.很顯然,這一檢驗問題的似然比檢驗的拒絕域A=Vj,j=1,2,…,q|Vj>0,j=1,2,…,q;∏j=1q|Vj|nj[tr(V1+V2+?+Vq)]pn≤c(其中c是按檢驗尺碼來確定的)在正交變換群(4)下保持不變.作為本文的主要結果,關于這檢驗的勢函數有如下結論成立.定理1在q個實多元正態總體的情形下,相應于備擇假設A≠H檢驗原假設H:Σ1=Σ2=…=Σq=σ2I的球性檢驗問題,當qp-2的參數δi=δiδi+1(i=1,2,?,qp-1;i≠k,1≤k≤qp-1)固定時,似然比檢驗的勢函數Ρ(A)=Ρ{Vj,j=1,2,?,q|Vj>0,j=1,2,?,q;∏j=1q|Vj|nj[tr(V1+V2+?+Vq)]np≤c}(8)是δk=δkδk+1的單調非減函數.證明由于Vj～Wp(12Σj,nj)(j=1,2,?,q)且相互獨立,可知Vj(j=1,2,…,q)的聯合密度函數為f(V1,V2,…,Vq)=∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Σj|-12nj|Vj|12(nj-p-1)exp-tr(Σj-1Vj)(9)又由于這檢驗問題在正交變換群(4)下不變,不妨設Σj(j=1,2,…,q)為(5)所示的對角矩陣,于是(9)化為f(V1,V2,?,Vq)=∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Vj|12(nj-p-1)∏i=1pσji-12njexp-∑i=1pvjiiσji-1(10)其中vjii(i=1,2,…,p)依次為Vj(j=1,2,…,q)的對角線元素.從而,檢驗的勢函數可表示為Ρ(A)=Ρ(VjA,j=1,2,?,q)=∫A∏j=1qπ-14p(p-1)∏i=1pΓ-1(nj-i+12)·|Vj|12(nj-i-1)∏i=1pσji-12nj·exp-∑i=1pvjiiσji-1dV1dV2…dVq(11)作變換Vj=diag(vj1112,vj2212,?,vjpp12)Rjdiag(vj1112,vj2212,?,vjpp12)(j=1,2,?,q).變換的JacobianJ(Vj→Rj;vj11,vj22,?,vjpp,j=1,2,?,q)=∏j=1q∏i=1p(σjii)12(p-1),于是(11)式化為Γp(12nj)|Rj|12(nj-p-1)·∫AR∏j=1q∏i=1pσji-12njΓ-p12nj∏i=1pvjii12n-1·exp-∑i=1pvjiiσji-1∏j=1q∏i=1p(dvjii)∏j=1q(dRj)=∫R1?∫Rqπ14pq(p-1)(∏j=1q∏i=1pΓ-1(nj-i+12)?Γp12nj|Rj|12(nj-p-1)·∫AR∏j=1q∏i=1pσji-12njΓ-1(12nj)(vjii)12nj-1?exp(-vjiiσji-1)∏j=1q∏i=1pdvjii∏j=1q(dRj)(12)其中AR=AR(vjii,j=1,2,…,q;i=1,2,?,vjii;j=1,2,…,q;i=1,2,…,p∏j=1q∏i=1pvjiinj∑j=1q∑i=1pvjii-np≤c|R1|-n1|R2|-n2?|Rq|-nq.注意到(12)式中里層積分的被積函數的乘積因子σjii-12njΓ-1(12nj)(vjii)12nj-1exp(-vjiiσji-1)為vjii~12σjiχ2(nj)的密度函數,因而這里層積分的被積函數就是pq個相互獨立隨機變量vjii(j=1,2,…,q;i=1,2,…,p)的聯合密度函數.對于里層積分應用引理3,并且由引理2可知外層積分與參數無關,即知定理結論正確.3jtrvj-12pnj(1)如在本文引言部分中,提出的檢驗假設為Η*:Σj=σj2Ι(σj2>0且未知;j=1,2,?,q),則檢驗的修改似然比檢驗統計量為Λ*=p12pn∏j=1q[|Vj|12nj(trVj)-12pnj],其拒絕域A*為A*=Vj,j=1,2,…,q|Vj>0,j=1,2,…,q;∏j=1