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文檔簡(jiǎn)介
S2
是s2的無(wú)偏估計(jì)例
設(shè)總體的方差D(X)=
s2
>0，則樣本方差S2是σ2的無(wú)偏估計(jì)。
niin
nii
=1X
+
nX
22X
-
2
X-
X
)2
=證明：(n
-
1)
S
2
=
(
Xi
=122ninE
(
X
2
)
=
nE(
X
2
)
-
nE(
X
2
)E(
X
)
-(n
-
1)E(
S
)
=
\
E(
S
2
)
=
s
2
i
=1ni2
-
nX
2=
Xi
=1i
=1=
n{D(
X
)
+
E(
X
)2
}
-
n{D(
X
)
+
E(
X
)2
}s
2n=
n(s
2
+
m
2
)
-
n(
+
m
2
)2=
(n
-
1)s證明無(wú)偏性并判斷哪個(gè)有效例
設(shè)總體X~U[0,θ]，
θ
>0
未知，(X1，X2，X3)是取自都是θ的無(wú)偏估計(jì)；1)2)
上述兩個(gè)估計(jì)量中哪個(gè)方差最小？31￡i
￡3 1￡i
￡31
i
2
i=
4
minX試證q
=
4
max
X
,
q
X的一
個(gè)樣本：分析：要判斷是否無(wú)偏估計(jì)，需要計(jì)算期望要計(jì)算期望，需知道概率密度函數(shù)證明：1)
qX
1,, 0
￡
x
<
qx
?
q
0
,
x
<
0
xF
(
x
)
=X
的分布函數(shù)為：
0
3
y
2
, 0
￡
y
￡
q
q
,
else\
fY
(
y)
=
qq403
q
3y
3dy
=
q\
E
(Y
)
=
3令Y
=
max
Xi
,
Z
=
min
Xi
則Y的分布函數(shù)為:1￡i
￡3 1￡i
￡3FY
(
y)
=
P{Y
￡
y}
=
P{maxXi
￡
y}1￡i￡3=
P{X1
￡
y,
X2
￡
y,
X3
￡
y}=
P{X1
￡
y}
P{X2
￡
y}
P{X3
￡
y}X=[F
(
y)]3
0,
x
<
0
xFX
(
x
)
=
q
, 0
￡
x
<
q
1,
x
?
q
Z
,
else
0
3
z
20
￡
z
￡
q同理可得,
f
(z)
=
q
1
-
q
,q403
q
1z
(q
-
z)2
dz
=
q\
E(Z)
=
331￡i
￡3
1￡i
￡3i
i從而,
E
(
4
max
X
)
=
E
(4
min
X
)
=
q31￡i
￡3
1￡i
￡3i
i即
4
max
X
和4
min
X
都是q的無(wú)偏估計(jì)2)80
D(Y
)
=
E(Y
2
)-
E(Y
)2
=
3
q234\
D(
Y
)
￡
D(4Z)80D(Z)
=
E(Z2
)-
E(Z)2
=
3
q231￡i
￡3 1￡i
￡3i
i即
4
max
X
比
=
4
min
X
的方差小(更有效)q2
相合估計(jì)量的證明2例
設(shè)
X~N(0,
s
)，證明：2是s
的相合估計(jì)量。nX
i
=12i1n分析：證明相合性往往用到切比雪夫不等式，其中涉及期望與方差；這里計(jì)算方差較難，可以先化為χ2分布，再利用卡方分布的性質(zhì)計(jì)算。相合估計(jì)量的證明是s2的相合ini
=1X
2n例 設(shè)
X~N(0,
s
2)，證明：1
n
Xi證明：
E
2
估計(jì)量。
1ninX
=
i
=12
X
2i
=11n令Y
=
i
~
c2
(n)
則
s
Ynnni2
1
s
2故D
X
=
D
i
=1
=
nE(X
)
=
n
i
=1
n
i
=12i1E X
2
)=
s
2Yns
22D(Y
)n=s
4n2s
4s
4=
n2
2n=由切比雪夫不等式，有
?
e
niniXnX
-
EnP
i
=12
i
=12
1
1故2是s
的相合估計(jì)量。nXn
i
=
12
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