3.3.1拋物線及其標準方程基礎練鞏固新知夯實基礎1.在平面內，“點P到某定點的距離等于到某定直線的距離”是“點P的軌跡為拋物線”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2.在平面上，到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線3.若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點重合，則p的值為()A．－2B．2C．－4 D．44.(多選)頂點在原點，對稱軸是y軸，且頂點與焦點的距離等于3的拋物線的標準方程是()A.x2＝3yBx2＝－3yC.x2＝12yD.x2＝－12y5.已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為()A．－eq\f(4,3)B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)6.拋物線的焦點到準線的距離是（

）A．B．C．2 D．47.若拋物線y2＝2px的焦點坐標為(1，0)，則p＝________；準線方程是________.8.已知定點F(1，0)，動點P在y軸上運動，點M在x軸上，且eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，延長MP到點N，使得|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，求點N的軌跡方程．能力練綜合應用核心素養9.拋物線y2＝4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，當△FPM為等邊三角形時，其面積為()A．2eq\r(3)B．4C．6 D．4eq\r(3)10.如圖所示，南北方向的公路l，A地在公路正東2km處，B地在A東偏北30°方向2eq\r(3)km處，河流沿岸曲線PQ上任意一點到公路l和到A地距離相等．現要在曲線PQ上建一座碼頭，向A，B兩地運貨物，經測算，從M到A、到B修建費用都為a萬元/km，那么，修建這條公路的總費用最低是(單位：萬元)()A．(2＋eq\r(3))a B．2(eq\r(3)＋1)aC．5a D．6a11.已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y軸的距離為()A.eq\f(3,4) B.1 C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)12.已知拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝eq\f(5,4)x0，則x0＝()A.4 B.2 C.1 D.813.若拋物線上一點P到焦點的距離為6，則點P到x軸的距離為____________．14.設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若eq\o(FA,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝0，則|eq\o(FA,\s\up8(→))|＋|eq\o(FB,\s\up8(→))|＋|eq\o(FC,\s\up8(→))|＝________.15.已知當拋物線形拱橋的頂點距水面2m時,量得水面寬8m,當水面升高1m后,水面寬度是m.16.已知拋物線y2=2x的焦點是F,點P是拋物線上的動點,點A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值時點P的坐標;(2)求點P到點B12,【參考答案】1.B解析：當定點在定直線上時，其動點軌跡不是拋物線，反過來拋物線上的點滿足到焦點的距離等于到準線的距離，故應選B.2.D解析：因為點不在直線上，則到點的距離等于到直線的距離的動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線；故選：D3.D解析：y2＝2px的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，而橢圓的右焦點為(2,0)，由eq\f(p,2)＝2得p＝4.故選D.4.CD解析：∵頂點與焦點的距離等于3，∴2p＝12，又∵對稱軸是y軸，∴拋物線的方程為x2＝±12y.5.C解析：拋物線的準線方程為x＝－2，則焦點為F(2,0)．從而kAF＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).6.B解析：拋物線化為標準方程為拋物線，則其焦準距為，即焦點到準線的距離是，故選：B7.2x＝－1解析：由y2＝2px得焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴eq\f(p,2)＝1?p＝2，準線方程x＝－1.8.解：由于|eq\o(PM,\s\up6(→))|＝|eq\o(PN,\s\up6(→))|，則P為MN的中點．設N(x，y)，則M(－x，0)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，由eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(y,2)))＝0，所以(－x)·1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y,2)))＝0，則y2＝4x，即點N的軌跡方程是y2＝4x.D解析：如圖，∵△FPM是等邊三角形，∴由拋物線的定義知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).故選D.C解析：依題意知曲線PQ是以A為焦點、l為準線的拋物線，根據拋物線的定義知：欲求從M到A，B修建公路的費用最低，只需求出B到直線l距離即可，因B地在A地東偏北30°方向2eq\r(3)km處，∴B到點A的水平距離為3(km)，∴B到直線l距離為：3＋2＝5(km)，那么修建這兩條公路的總費用最低為：5a(萬元)，故選C.11.C解析：∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq\f(5,2).∴線段AB的中點到y軸的距離為eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).12.C解析：如圖，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，過A作AA′⊥準線l，∴|AF|＝|AA′|，∴eq\f(5,4)x0＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋eq\f(1,4)，∴x0＝1.13.4解析：拋物線方程化為標準形式為，由拋物線的定義可知，點P到準線的距離為6，所以點P到x軸的距離為4．14.6解析：因為eq\o(FA,\s\up8(→))＋eq\o(FB,\s\up8(→))＋eq\o(FC,\s\up8(→))＝0，所以點F為△ABC的重心，則A，B，C三點的橫坐標之和為點F的橫坐標的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq\o(FA,\s\up8(→))|＋|eq\o(FB,\s\up8(→))|＋|eq\o(FC,\s\up8(→))|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.15.42解析：建立如圖所示的平面直角坐標系.設拋物線方程為x2=-2py(p>0).由(4,-2)在拋物線上,知16=-2p·(-2),解得p=4,∴拋物線方程為x2=-8y.當y=-1時,x2=8?x=±22.此時,水面寬度是42m.16.解：(1)將x=3代入y2=2x,得y=±6.∵6>2,∴點A在拋物線的內部.過點P作PQ垂直拋物線的準線l:x=-12,垂足為Q結合拋物線的定義,知|PA|+|PF|=