專題04圖形中的排列規律重難點題型匯編【舉一反三】【人教版】【考點1圖形中的周期規律】【方法點撥】觀察題目中圖形的變化特點，找到重合點即為一個周期，利用數形結合思想進行求解.【例1】（2019秋?義烏市校級月考）依次觀察如圖三個圖形，并判斷照此規律從左到右第2019個圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據題目中給出的圖形，可知每五個一個循環，空白的大三角形按照順時針旋轉，從而可以得到從左到右第2019個圖形是選項中的哪個圖形，本題得以解決．【答案】解：由圖可知，每連續的五個為一組，也就是五個一循環，2019÷5＝403…4，故選：A．【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中圖形的變化特點，利用數形結合的思想解答．【變式1-1】（2019秋?莒縣期中）觀察圖中正方形四個頂點所標的數字規律，推測數2019應標在（）A．第504個正方形的左下角 B．第504個正方形的右下角 C．第505個正方形的右下角 D．第505個正方形的左上角【分析】設第n個正方形中標記的最大的數為an，觀察給定圖形，可找出規律“an＝4n”，依此規律即可得出結論．【答案】解：設第n個正方形中標記的最大的數為an．觀察給定正方形，可得出：每個正方形有4個數，即an＝4n．∵2019＝504×4+3，∴數2019應標在第505個正方形左上角．故選：D．【點睛】本題考查了規律型中的圖形的變化類，解題的關鍵是找出變換規律an＝4n．本題屬于基礎題，難度不大，需找出2019在第幾個正方形上．【變式1-2】（2019春?海安市校級月考）如圖，兩個連接在一起的菱形的邊長都是1cm，一只電子甲蟲從點A開始按ABCDAEFGAB…的順序沿菱形的邊循環爬行，當電子甲蟲爬行2018cm時停下，則它停的位置是（）A．點F B．點E C．點A D．點C【分析】觀察圖形不難發現，每移動8cm為一個循環組依次循環，用2018除以8，根據商和余數的情況確定最后停的位置所在的點即可．【答案】解：∵兩個菱形的邊長都為1cm，∴從A開始移動8cm后回到點A，∵2018÷8＝252余2，∴移動2018cm為第253個循環組的第2cm，在點C處．故選：D．【點睛】本題是對圖形變化規律的考查，觀察圖形得到每移動8cm為一個循環組依次循環是解題的關鍵．【變式1-3】（2019秋?工業園區期末）如圖，物體從A點出發，按照A→B（第一步）→C（第二步）→D→A→E→F→G→A→B……的順序循環運動，則第2018步到達（）A．A點 B．C點 C．E點 D．F點【分析】先求出由A點開始按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的順序循環運動走一圈所走的步數，在用2018除以此步數即可．【答案】解：∵如圖物體從點A出發，按照A→B（第1步）→C（第2步）→D→A→E→F→G→A→B→…的順序循環運動，此時一個循環為8步，∴2018÷8＝252…2．∴當物體走到第252圈后再走2步正好到達C點．故選：B．【點睛】本題考查的是圖形的變化類這一知識點，解答此題的關鍵是根據題意得出物體走一個循環的步數，找出規律即可輕松作答．【考點2圖形中的等差規律】【方法點撥】解此類問題的關鍵在于將圖形的規律轉化為數字規律，即將圖形的個數轉化為數字，會發現后一項與前一項的差均相等，即為等差規律，應用公式：第n個圖形的個數=第一個圖形的個數+差數×（n-1）.【例2】（2019春?南岸區校級期中）用黑白兩種顏色的正方形紙片，按白色紙片數逐漸加1并按下圖的規律拼成一列圖案，則第100個圖案中黑色正方形紙片的張數是（）A．300 B．301 C．302 D．303【分析】觀察圖形，發現：黑色紙片在4的基礎上，依次多3個，根據其中的規律，計算出第100個圖案的黑紙片個數即可．【答案】解：第1個圖案中有黑色紙片3×1+1＝4張，第2個圖案中有黑色紙片3×2+1＝7張，第3圖案中有黑色紙片3×3+1＝10張，…第n個圖案中有黑色紙片：（3n+1）張，∴第100個圖案中有黑紙片301張．故選：B．【點睛】本題主要考查學生對圖形的變化類的知識點的理解和掌握，此題的關鍵是注意發現前后圖形中的數量之間的關系，難度適中．【變式2-1】（2018秋?南山區校級期中）用棋子按下面的規律擺圖形，則擺第2018個圖形需要圍棋子（）枚．A．6053 B．6054 C．6056 D．6060【分析】觀察圖形可知：第1個圖形需要圍棋子的枚數＝5；第2個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3；第3個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3×2；第4個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3×3，…，則第n個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3（n﹣1），然后把n＝2018代入計算即可．【答案】解：∵第1個圖形需要圍棋子的枚數＝5，第2個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3，第3個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3×2，第4個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3×3，…，∴第n個圖形需要圍棋子的枚數＝5+3（n﹣1）＝3n+2，∴第2018個圖形需要圍棋子的枚數＝3×2018+2＝6056，故選：C．【點睛】此題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的聯系，得出一般的運算規律解決問題．【變式2-2】（2018秋?寧都縣期中）下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成，其中第①個圖中有3張黑色正方形紙片，第②個圖中有5張黑色正方形紙片，第③個圖中有7張黑色正方形紙片，…，按此規律排列下去第⑩個圖中黑色正方形紙片的張數為（）A．15 B．17 C．21 D．27【分析】仔細觀察圖形知道第一個圖形有3個正方形，第二個有5＝3+2×1個，第三個圖形有7＝3+2×2個，由此得到規律求得第⑩個圖形中正方形的個數即可．【答案】解：觀察圖形知：第一個圖形有3個正方形，第二個有5＝3+2×1個，第三個圖形有7＝3+2×2個，…故第⑩個圖形有3+2×9＝21（個），故選：C．【點睛】此題主要考查了圖形的變化規律，是根據圖形進行數字猜想的問題，關鍵是通過歸納與總結，得到其中的規律，然后利用規律解決一般問題．【變式2-3】（2018秋?萬州區期中）如圖，是用棋子擺成的“上”字：如果按照此規律繼續擺下去，那么通過觀察，可以發現：第10個“上”字需用多少枚棋子（）A．36 B．38 C．42 D．50【分析】由圖可得，第1個“上”字中的棋子個數是6；第2個“上”字中的棋子個數是10；第3個“上”字中的棋子個數是14；…進一步發現規律：第n個“上”字中的棋子個數是（4n+2）；由此求得問題答案．【答案】解：第1個“上”字中的棋子個數是6＝4+2；第2個“上”字中的棋子個數是10＝4×2+2；第3個“上”字中的棋子個數是14＝4×3+2；…第n個“上”字中的棋子個數是（4n+2）；所以第10個“上”字需用棋子的數量是4×10+2＝42個．故選：C．【點睛】本題主要考查了圖形的變化規律，對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．【考點3圖形中的乘方規律】【方法點撥】觀察題目中圖形的特點，出現1,4,9,16,25.....正方形的圖陣，即可聯想到利用乘方來表示.【例3】（2019春?江岸區校級期中）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規律所組成的，其中第①個圖形中一共有3個菱形，第②個圖形中一共有7個菱形，第③個圖形中一共有13個菱形，…，按此規律排列下去，第⑥個圖形中菱形的個數為（）A．42 B．43 C．56 D．57【分析】設第n個圖形中一共有an個菱形（n為正整數），根據各圖形中菱形個數的變化可得出變化規律“an＝n2+n+1（n為正整數）”，再代入n＝6即可求出結論．【答案】解：設第n個圖形中一共有an個菱形（n為正整數），∵a1＝12+2＝3，a2＝22+3＝7，a3＝32+4＝13，a4＝42+5＝21，…，∴an＝n2+n+1（n為正整數），∴a6＝62+7＝43．故選：B．【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化類，根據各圖形中菱形個數的變化，找出變化規律“an＝n2+n+1（n為正整數）”是解題的關鍵．【變式3-1】（2019春?南岸區校級期中）如圖是一組有規律的圖案，第1個圖案由5個基礎圖形組成，第2個圖案由8個基礎圖形組成，……，如果按照以下規律繼續下去，那么通過觀察，可以發現：第20個圖案需要（）個基本圖形．A．402 B．404 C．406 D．408【分析】仔細觀察圖形，找到圖形變化的規律，利用規律求解即可．【答案】解：第1個圖案由12+4＝5個基礎圖形組成，第2個圖案由22+4＝8個基礎圖形組成，……，如果按照以下規律繼續下去，可以發現：第20個圖案需要202+4＝404個基本圖形．故選：B．【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形并找到圖形變化的規律，難度不大．【變式3-2】（2018秋?亭湖區校級期中）下面是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規律，則第10個小房子用了____顆石子．（）A．119 B．121 C．140 D．142【分析】根據圖示，可得：第1個小房子用的石子的數量是：1+22，第2個小房子用的石子的數量是：3+32，第3個小房子用的石子的數量是：5+42，…，據此求出第10個小房子用了多少顆石子即可．【答案】解：第1個小房子用的石子的數量是：1+22，第2個小房子用的石子的數量是：3+32，第3個小房子用的石子的數量是：5+42，…，∴第n個小房子用的石子的數量是：2n﹣1+（n+1）2，∴第10個小房子用的石子的數量是：19+112＝19+121＝140．故選：C．【點睛】此題主要考查了圖形的變化類問題，要熟練掌握，解答此類問題的關鍵是首先應找出圖形哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部分的變化規律后直接利用規律求解．探尋規律要認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題．【變式3-3】（2019秋?九龍坡區校級期中）如圖，們一個圖形都是由一些黑點按一定的規律排列組成的，其中第①個圖形中共有6個小黑點，第②個圖形中有10個黑點，第③個圖形中一共有16個小黑點，…，按此規律，則第⑩個圖形中小黑點的個數是（）A．112 B．114 C．116 D．118【分析】第①個圖形中有1×1+1+4＝6個黑點；第②個圖形中有2×2+2+4＝10個黑點；第③個圖形中有3×3+3+4＝16個黑點，第④個圖形中有4×4+4+4＝24個黑點，那么可得第n個圖形中有n?n+n+4個黑點．【答案】解：第①個圖形中有1×1+1+4＝6個黑點；第②個圖形中有2×2+2+4＝10個黑點；第③個圖形中有3×3+3+4＝16個黑點，第④個圖形中有4×4+4+4＝24個黑點，可得第n個圖形中有n?n+n+4個黑點．把n＝10代入可得：10×10+10+4＝114，故選：B．【點睛】本題考查規律型：圖形的變化類；根據圖形的排列規律正確列式是解決本題的關鍵．【考點4圖形中的自然數求和規律】【方法點撥】解此類問題的關鍵在于將圖形的規律轉化為數字規律，即將圖形的個數轉化為數字，利用1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2求解即可，需注意若首項不為1，需將公式進行適當變形.【例4】（2019秋?青山區校級月考）如圖是一個三角點陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點……第n行有n個點……則下列說法：①10是三角點陣中前4行的點數和；②300是三角點陣中前24行的點數和；③前n個點數和為200的點，在這個三角點陣中位于第20行第10個點，其中正確的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】根據題意和題目中點的個數的變化，可以判斷各個小題是否正確，從而可以解答本題．【答案】解：當n＝4時，三角點陣中的點數之和是：1+2+3+4＝10，故①正確，當1+2+…+n＝300時，即，得n＝24，故②正確，當n＝19時，三角點陣中的點數之和為＝190，∵190+10＝200，∴前n個點數和為200的點，在這個三角點陣中位于第20行第10個點，故③正確；故選：D．【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現題目中點的個數的變化規律，利用數形結合的思想解答．【變式4-1】（2019秋?沙坪壩區校級月考）如圖，圖形都是由面積為1的正方形按一定的規律組成，其中，第（1）個圖形中面積為1的正方形有2個，第（2）個圖形中面積為1的正方形有5個，第（3）個圖形中面積為1的正方形有9個，按此規律，則第（6）個圖形中面積為1的正方形的個數為（）A．14 B．20 C．24 D．27【分析】根據已知圖形得出第n個圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+n+1＝，據此求解可得．【答案】解：第（1）個圖形中面積為1的正方形有2個，第（2）個圖形中面積為1的圖象有2+3＝5個，第（3）個圖形中面積為1的正方形有2+3+4＝9個，…，按此規律，第n個圖形中面積為1的正方形有2+3+4+…+（n+1）＝個，則第（6）個圖形中面積為1的正方形的個數為2+3+4+5+6+7＝27個．故選：D．【點睛】此題考查圖形的變化規律，找出圖形與數字之間的運算規律，利用規律解決問題．【變式4-2】（2019春?北碚區校級期中）如圖圖形是用同樣大小的銅幣擺放的四個圖案，根據擺放圖案的規律，則第8個圖案需要銅幣的個數為（）A．29 B．36 C．37 D．46【分析】找出相鄰兩個圖形銅幣的數目的差，從而可發現其中的規律，于是可求得問題的答案．【答案】解：n＝1時，銅幣個數＝1+1＝2；當n＝2時，銅幣個數＝1+1+2＝4；當n＝3時，銅幣個數＝1+1+2+3＝7；當n＝4時，銅幣個數＝1+1+2+3+4＝11；…第n個圖案，銅幣個數＝1+1+2+3+4+…+n＝n（n+1）+1，當n＝8時，×8×9+1＝37，故選：C．【點睛】本題主要考查的是圖形的變化規律，找出其中的規律是解題的關鍵．【變式4-3】（2018秋?市南區校級期中）下列是用火柴棒拼成的一組圖形，第①個圖形中有3根火柴棒，第②個圖形中有9根火柴棒，第③個圖形中有18根火柴棒，…，按此規律排列下去，第⑥個圖形中火柴棒的根數是（）A．63 B．60 C．56 D．45【分析】由圖可知：第①個圖形中有3根火柴棒，第②個圖形中有9根火柴棒，第②個圖形中有18根火柴棒，…依此類推第n個有1+2+3+…+n個三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．【答案】解：∵第①有1個三角形，共有3×1根火柴；第②個有1+2個三角形，共有3×（1+2）根火柴；第③個有1+2+3個三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；…∴第n個有1+2+3+…+n個三角形，共有3×（1+2+3+…+n）＝n（n+1）根火柴；∴第⑥個圖形中火柴棒根數是3×（1+2+3+4+5+6）＝63，故選：A．【點睛】此題考查了圖形的變化規律，解題的關鍵是發現三角形個數的規律，從而得到火柴棒的根數．【考點5圖形中的奇數求和規律】【方法點撥】解此類問題的關鍵在于將圖形的規律轉化為數字規律，即將圖形的個數轉化為數字，利用1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2求解即可，需注意若首項不為1，需將公式進行適當變形.【例5】（2018秋?九龍坡區校級期中）如圖，將等邊三角形按一定規律排列，第①個圖形中有1個小等邊三角形，第②個圖形中有4個小等邊三角形，按此規律，則第⑥個圖形中有（）個小等邊三角形．A．36個 B．49個 C．35個 D．48個【分析】根據已知得出第n個圖形有1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2個三角形，據此代入計算可得．【答案】解：第①個圖有1＝12個三角形，第②個圖形有1+3＝4＝22個三角形，第③個圖形有1+3+5＝9＝32個三角形，…第⑥個圖形有62＝36個三角形，故選：A．【點睛】本題考查了規律型：圖形的變化類：通過從一些特殊的圖形變化中發現不變的因素或按規律變化的因素，然后推廣到一般情況．【變式5-1】（2018秋?三臺縣期中）如圖是由一些黑點組成的圖形，按此規律，在第n個圖形中，黑點的個數有（）A．4n﹣1 B．n2﹣1 C．n2+2 D．2n+1【分析】分析數據可得：第①個圖形中點的個數為3；第②個圖形中點的個數為3+3；第③個圖形中點的個數為3+3+5；第④個圖形中點的個數為3+3+5+7；…則知第n個圖形中小圓的個數為3+3+5+7+…+（2n﹣1）．據此可以求得答案．【答案】解：第①個圖形中點的個數為3；第②個圖形中點的個數為3+3；第③個圖形中點的個數為3+3+5；第④個圖形中點的個數為3+3+5+7；…第n個圖形中小圓的個數為3+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2+2．故選：C．【點睛】此題屬于圖形與數字結合規律的題目．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．【變式5-2】（2019?云南模擬）如圖用棋子擺成三角形的圖案，第（1）個三角形中有4枚棋子，第（2）個三角形中有9枚棋子，第（3）個三形中有16枚棋了，…，按照這樣的規律擺下去第（）個三角形中有2025枚棋子．A．42 B．43 C．44 D．45【分析】首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規律，從而推出一般性的結論．【答案】解：第1個三角形圖案：1+3＝4＝22，第2個三角形圖案：1+3+5＝9＝32，第3個三角形圖案：1+3+5+7＝16＝42，第4個三角形圖案：1+3+5+7+9＝16+9＝25＝52，第5個三角形圖案：1+3+5+7+9+11＝25+11＝36，則第n個三角形圖案：1+3+5+7+9+11+…+2n﹣1＝（n+1）2，令（n+1）2＝2025，解得：n＝44或n＝﹣46（舍去）故選：C．【點睛】本題是圖形與數字類的變化規律的綜合問題，首先要探尋規律，認真觀察、仔細思考，善用聯想來解決這類問題；本題不僅要從圖形中看規律，還要從數字變化看規律，兩方面結合得出結論．【變式5-3】（2019?沙坪壩區校級一模）觀察下列圖形，①中有1個圓，②中有5個圓，③中有13個圓……，若依此規律，則第⑥個圖形中圓的個數為（）A．25 B．61 C．41 D．65【分析】仔細觀察圖形，找到圖形的變化規律，利用規律解得即可．【答案】解：第一個圖形有1個圓，第二個圖形有1+3+1＝5個圓，第三個圖形有1+3+5+3+1＝13個圓，第四個圖形有1+3+5+7+5+3+1＝25個圓，…第六個圖形有1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1＝61個圓，故選：B．【點睛】此題考查圖形的變化規律，找出圖形之間的運算規律，利用規律解決問題．【考點6圖形中的組合規律】【方法點撥】此類問題是將上述兩種規律結合在一起，需將圖形進行拆分，找出各個部分的規律進行組合即可.【例6】（2019?長壽區模擬）下列圖形都是由●按照一定規律組成的，其中第①個圖共有四個●，第②個圖中共有8個●，第③個圖中共有13個●，第④個圖中共有19個●，…，照此規律排列下去，則第10個圖形中●的個數為（）A．50 B．53 C．64 D．76【分析】根據已知圖形得出圖n中點的個數為（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1），據此可得．【答案】解：因為圖①中點的個數為4＝22﹣0，圖②中點的個數為8＝32﹣1，圖③中點的個數為13＝42﹣（1+2），圖④中點的個數為19＝52﹣（1+2+3），……所以圖⑨中點的個數為102﹣（1+2+3+…+8）＝100﹣36＝64，故選：C．【點睛】本題主要考查數字的變化規律，解題的關鍵是根據已知圖形得出圖n中點的個數為（n+1）2﹣（1+2+3+…+n﹣1）．【變式6-1】（2018秋?九龍坡區校級期中）下列圖形都是由同樣大小的黑點按一定規律組成的，其中第①個圖形中一共有3個黑點，第②個圖形中一共有8個黑點，第③個圖形中一共有14個黑點，……，則第⑧個圖形中黑點的個數是（）A．29 B．38 C．48 D．59【分析】根據已知圖形中點的分布規律得出第n個圖形中黑點的個數為1+2+3+……+n+n+1+2（n﹣1），據此可得．【答案】解：∵第①個圖形中黑點的個數3＝1+2+2×0，第②個圖形中黑點的個數8＝1+2+3+2×1，第③個圖形中黑點的個數14＝1+2+3+4+2×2，……∴第⑧個圖形中黑點的個數為1+2+3+4+5+6+7+8+9+2×7＝59，故選：D．【點睛】本題主要考查圖形的變化類，