實數平方根與立方根知識點小結及練習一、知識要點平方根，立方根1、平方根：⑴、定義：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“土%^”(a稱為被開方數)。⑵、性質：正數的平方根有兩個，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。⑶、算術平方根：正數a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“0””。2、立方根：⑴、定義：如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“J2”(a稱為被開方數)。⑵、性質：正數有一個正的立方根；0的立方根是0；負數有一個負的立方根。3、開平方(開立方)：求一個數的平方根(立方根)的運算叫開平方(開立方)。二、規律總結：1、平方根是其本身的數是0；算術平方根是其本身的數是0和1；立方根是其本身的數是0和±1。2、每一個正數都有兩個互為相反數的平方根，其中正的那個是算術平方根；任何一個數都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數相同。3、aa本身為非負數，即va三0；而有意義的條件是a三0。4、公式：6(7a)2=a(a三0)；⑵3—a=-3a(a取任何數)。5、非負數的重要性質：若幾個非負數之和等于0,則每一個非負數都為0(此性質應用很廣，務必掌握)。例1求下列各數的平方根和算術平方根/2 115 1 25(1)64； (2) (—3)2； (3) 1而；⑷(-3)2； (5)100； (6)而 (7) 0.25練習 1.計算：⑴-J9=士0.25=練習 1.計算：⑴-J9=士0.25=2.求下列各數的平方根.(1)100； (2)0；(4)9⑶25；(4)1；15⑸149；(6)0.093.16的平方根是81;9的平方根是27(3) x3-2=0；4x+1C.-3B.-4(4)例3、3.16的平方根是81;9的平方根是27(3) x3-2=0；4x+1C.-3B.-4(4)例3、求下列各數的立方根：,10⑴343； ⑵-2萬； ⑶0.729；(4)-729練習1.求下列各數的立方根：(1)-8；343512.343；(5)216(2)0.125；(6)-0.0064；(7)(3)0； (4).求下列各式的值：⑴3-64；⑵—3：27:“17

⑶廠427..求下列各式中的x: (1)8x3+27=0；61(2)(3x+2)3—1=—；64(3)，81+25x3=4.一個自然數的算術平方根是x,則它后面一個數的算術平方根是()A.x2+1C.x+1D.\，'x2+1.若2m-4與3m-1是同一個數的平方根，則m的值是()A.-3B.1TOC\o"1-5"\h\z或1 D.-1.已知x,y是實數，且、.；3x+4+(y-3)2=0,則Uxy的值是()A.49 9— D.—五、綜合訓練7.利用平方根、立方根來解下列方程.(2x-1)2-169=0； (2)4(3x+1)2-1=0；1—(x+3)3=4.2例2求下列各式的值工 ."9"(1)土，V81； (2)一,v,16； (3) ■； (4)%?'(-4)2.(5)V1.44,(6)-x36,(7)土、,為(8)式-25)2—116.二、巧用被開方數的非負性求值.當aN0時，a的平方根是土 ，即a是非負數.例4、若<2一%--、x-2一y=6,求yx的立方根.練習：1、已知y=v'1-2x+2Xx-1+2,求xy的值.2、已知x--3+y-3+(z+2)2=0，求xyz的值。3、已知 互為相反數，求a，b的值。4.已知：實數a、b滿足條件、：二1+(岫-2)2=0試求, 1 1 1的值.+ + +AA+ab(a+1)(b+1)(a+2)(b+2) (a+2004)(b+2004)5、若y=<1-x+\?x-1+3，則、：x+y的算術平方根是 6、若a—2+bb—3-G—4)2=0，則|a—b+c的值為。7、瓷--6+、；;2y-7=aa+b-2006g2006-a-b，求x與y的值。8、已知|2009-a|+、a-2010=a，求%:a-20092+490的平方根？三、巧用正數的兩平方根是互為相反數求值.當a三0時，a的平方根是土%a，而(+，va)+(-\a)—0.例5、已知：一個正數的平方根是2a-1與2-a,求a的平方的相反數的立方根.練習：若2a+3和a-12是數m的平方根，求m的值.2.已知實數了、Z滿足141-4y+11+1J2y+z+(z-1)2=0,求(y+z)g122.已知實數了、3.已知A=m飛n一m+3是n-m+3的算術平方根，B=m-2n+3m+2n是m+2n的立方根，求8—人的平方根.4、在實數范圍內，設a=(1+—U —)2006求a的個位數字是什么？1+1 2-15、已知x、y是實數，且(x-y+1)2與七,'51-3y-3互為相反數，求%；了2+y2的值。6.了,y,z適合關系式3了+y-z一2+J2了+y-z=Jx+y-2002+J2002-0-y,試求x,y,z的值7、已知xf0,yf0,且x-2%記-15y=0,求2*+二+3y的值。x+、，:xy-y四、巧解方程例6、解方程(1)(x+1)2=36 (2)27(x+1)3=64練習(1)(2x-1)2-169=0； (2)4(3x+1)2-1=0； (3)—x3-2=0； (4)41—(x+3)3=42五、巧用算術平方根的最小值求值.>0，即a=0時其值最小,換句話說?白的最小值是零.例4、已知：y=v：a-2+v3(b+D,當a、b取不同的值時，y也有不同的值.當y最小時,求ba的非算術平方根.六、實數1、實數：有理數和無理數統稱為實數.我們一般用下列兩種情況將實數進行分類：4①按屬性分類:②按符號分類.關于有理數的運算法則：運算規律和運算性質，在進行實數運算時仍適用.在實數范圍內，不僅可以進行加.減.乘.除.乘方運算，而且正數和零總可以進行開平方運算，任何一個數都可以開立方運算..實數和數軸上的點的對應關系：實數和數軸上的點一一對應，即每一個實數都可以用數軸上的一個點表示.反過來，數軸上的每一個點都可以表示一個實數.我們可以用幾何作圖方法，在數軸上表示某些無理數，如等.思考：（1）—a2一定是負數嗎？一a一定是正數嗎?(2(2)-1在哪兩個整數之間？(3)<15的整數部分為a,小數部分為b,則a=—,b=―(4)實數包括 或 ；(5)下列各數：Q§,冗，0.28,0,石，3.14159,0.121121112L,—%汽,22—.其中無理數有()個七、實數大小比較的方法3 ;一、平方法比較不和"3的大小二、移動因式法比較2<3和3<2的大小<5—1三、求差法比較F―和1的大小四、求商法比較4<5和vTi的大小練習：比較下列各組數的大小：①一,v2和—丫3:②V3和3—<2:③,V15和35；④—<7和一2.45。八、解答題1、當a——時，化簡v1—4a+4a2+I2a—11212、已知實數a、b在數軸上表示的點如上圖，化簡a+b|+J(a—b+1)2--1—a—0 1—b3、已知〃,b是實數，且有卜—百+1卜(b+飛-2)2=0，求a,b的值.4、已知a,b為有理數，且(3-2v3)2=a+bj3，求a+b的平方根5、實數a,b,c在數軸上的對應點如圖.化簡a+1a+bI-'-22-1b-cI b c_oa 'x.如圖，數軸上，A、B兩點對應的實數分別是1和＜3，若點A關于點B的對稱點為點C，求點C所對應的實數.7,若x-1+G-2x-、求xy的值。.已知實數a、b、c滿足，2Ia-1I+v2b+c+c2-c+1=0,,求a+b+c的值.4a.若：2a-1和31-3b互為相反數，求b的值。1—-- 1 - 1+2x.已知31-2x,33y-2互為相反數，求代數式 的值.y.已知3x=4，且(y-2x+1)2+vz-3=0，求x+y+z的值..已知：x—2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根.13、若y—2x-1+V1-2x-1,求Xy的值。.計算：3-216-3；-3-3*<400 v102+6/T06+Y106—<1232-12023 88

31—31—0.973x式―10)2—2工運+3V8324*45*200義二——9九分數指數冪r (a3+a-3)(a2+a-2-4)1、已知a-a-1=1,求 的值。a4-a-42.已知X2-X-2=5，求X2+—的值。X2TOC\o"1-5"\h\z, 1 1 ? — 3 3.已知a2+a-2=3,求下列各式的值：(1)a+a-1 (2)a2+a-2 (3)a2+a-2.已知X2-X-2=5，求X2+—的值。X2, 11,j,,— 335.已知a2+a-2=3,求下列各式的值：(1)a+a-1 (2)a2+a-2 (3)a2+a-23 3a2-a2求 \o"CurrentDocument"1 1a2-a2-1 11117.化簡s=(1+2-32)(1+2-16)(1+2-8)(1+2-4)(1+2-2)8.若乂>0,y>0且vX(vX+Jy)=3%；yQx+5qy),求2x+2、:xy+3yx-弋xy+y值.111 , 9.已知：x=-(5n-5n),nEN+，求(x+v1+x2)n的值.十計算-3,-3,0+衛4821 111.計算：(2-)0.5+0.1-2+(2寸)-3乙/21 11(1)(2a3b2)(-6a2b3)+(-3a6b6);2.13(2)(m4n8)8.練習(1)(2) 1?—22-(3/27)2—325+￡—3)2(3)9 1 一(石)-2-3-125+(v15)0(4)|8：-<4?I-82義2；+30.001(5)11 11 11(a——)4?(a2+)4?(a+―)421 ^4 2<(6)2 1 113x6y6+(-2x)3y6義(4x2y3)(7)8義(-2713一(丫3)-1+[(-v27)2](8)[(2+-<3)2+(2-<3)t]-22、化簡下列各式(a>0,b>0)12，13'12(2)a3a4IJ10

.若x的算術平方根是4,則乂=；若3辰=1,則乂=.若(x+1)2-9=0,則乂=；若27x3+125=0,則乂=18.當x時，代數式18.當x時，代數式2x+6的值沒有平方根;19.3符+3Vtl…+38=20.若.xx+1+Iy-21=0，則x+y=21.若x2=64，則U3x=.立方根是一8的數是,<64的立方根是。.如果x、y滿足、be+y+1x+%，'2|=0,則*=,y=24、如果a的算術平方根和立方根相等，則a等于；25、如果式子有意義，則x的取值范圍為。之間。26、.7在整數和整數之間，<5在整數和整數之間。27、27、121的算術平方根是是, 的算術平方根是28、的算術平方根是它本身。的平方根是它本身。29、已知一個正數的平方根是3x-2和5x+6,則這個數是TOC\o"1-5"\h\z30、已知一個正數的平方根是2a-1和a-5,a的值是 二.填空r—— 3.v(-4)2的平方根是 ,土-是 的平方根.IaI—IaI—1,<16.在下列各數中0,—,a2+1,—(―)3,—(—5)2,x2+2x+2,Ia—1I,4 3有平方根的個數是 個.3,144的算術平方根是 ,*?.14的平方根是 ；4、3：27=,—J64的立方根是 ；5、7的平方根為,vi工1=；6、若x4=16,則Ux=；若3n=81,則In=；7、一個數的平方是9,則這個數是 ，一個數的立方根是1,則這個數是一8、平方數是它本身的數是 ；平方數是它的相反數的數是 :9、當x=時，v3x—1有意義；當x=時，3：5x+2有意義;12

TOC\o"1-5"\h\z10、若，xx=3x，貝Ux=；若Vx2=—x，貝Ux； 11、若\：x+1+Iy—21=0，則x+y=；12、12、3\'V+3\；64一,12+38二——；13.代數式-3f+b的最大值為一，這是a,b的關系是 .一l3 一二—r一 一T-， ，.若3x=—5,則x=,若3IxI=6,則x=.15.若3(4—k)3 =k—4 ,則k的值為..若n<v'10<n+1,m<—、；'8<m+1,其中m、n為整數，則m+n=..若m的平方根是5a+1和a—19,則m=.18、0.25的平方根是125的立方根是；.計算：科=一;廠33=—;1,47的絕對值等于 .若x的算術平方根是4,Ux=；若屈=1,Ux=；21.當x 時，代數式2x+6Ux=；的值沒有平方根22.3停+321.當x 時，代數式2x+6Ux=；的值沒有平方根22.3停+3愣-"2+3/8=23.若Jx+1+Iy—2I=0，貝Ux+y=；24.若x2=64，貝U3/x=25.立方根是一8的數是—， 府的立方根是—。26.如果x、y滿足行+y+Ix+、QI=0,Ux=,y=；27、如果a的算術平方根和算術立方根相等，則a等于；.若y=<2x—1+<1—2x—1,貝Uxy的值為.通過計算不難知道：,,22=2,1-,；33=3 ,,'4-=4■-，則按此規3 \3 8 \，8 \115 \115律，下一個式子是__；如果式子g有意義，則x的取值范圍為。1、v7在整數和整數之間，石在整數和整數之間。13

2、121的算術平方根是是 ， 的算術平方根是 。 \81 3、的算術平方根是它本身。的平方根是它本身。4、已知一個正數的平方根是3x-2和5x+6,則這個數是。5、當x= 時，一\.'-%2有意義；當x時，＜2三表示2x-4的算術平方根6、若有意義，則a能取的最小整數值為。*=3,則X=O三、解答題18、解方程：(1-1)2-324=0 (2) 125-8x3=0(3) 64(x-3)2-9=0 (4) (4x-1)2=2251，T、CC(5) —(x1，T、CC(5) —(x-1)3+8=0^2(6) 125(x-2)3=-3431、9x2-256=0 2、4(2x-1”=253、(2x+1”-16=0(9) 3I§-1j.；2-L75 (10)1—-- 1 - 1+2x11.已知31-2x,33y-2互為相反數，求代數式——的值.y14.已知3,x=4，且(y-2x+1)2+*/z-3=0，求x+y+z的值.15,已知：x—2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根.1416、若y=22x—1+y11—2x—1,求xy的值。、.一 ■ - 3 - - - : ■ 30.計算：3.216—3'—3——義、：400 v102+6,106+3106—v1232—1202, 8%24*45*200義1— 31-0.973x、■(—10)2—2<12+38832.已知A=x—yx+y+3是x+y+3的算術平方根，B=x—2