1.4充分條件與必要條件(第1課時)教學目標1.

理解充分條件、必要條件的概念,能利用這些概念對問題作出判斷.2.

在理解相關定義的基礎上,會探求問題成立的充分條件、必要條件.3.

學會從不同視角觀察和研究問題,提高分析問題和解決問題的能力.學習目標課程目標學科核心素養在初中命題知識的基礎上，認識和理解充分條件和必要條件的概念，理解充分條件與判定定理、必要條件與性質定理的關系通過理解充分條件和必要條件的概念，提高邏輯推理素養掌握判斷充分條件與必要條件的方法通過判斷充分條件和必要條件，提高邏輯推理素養情境導學我國戰國時期墨子所著《墨經》有這樣一段描述：“小故，有之不必然，無之必不然，體也，若有端．大故，有之必然，無之必不然，若見之成見也．”同學們能從數學的角度解釋這里的“有”和“無”之間的關系嗎？【問題1】命題：平面內，兩組對角相等的四邊形是平行四邊形．在寫成“若p，則q”的形式后，請判斷p是q的什么條件？初探新知【問題2】使得結論q：“四邊形是平行四邊形”成立的條件p唯一嗎？你還能舉出“四邊形是平行四邊形”的一些其他充分條件嗎？【問題3】上面的發現來源于平行四邊形的什么定理？你有什么發現？【問題4】命題：兩直線平行，內錯角相等．“內錯角相等”是“兩直線平行”的什么條件？【問題5】你還能舉出其他“兩直線平行”的必要條件嗎？【問題6】上面的命題來源于兩直線平行的什么定理？你有什么發現？【問題7】充分條件與必要條件的定義是什么?如何理解充分條件與必要條件中的“充分”和“必要”呢?【活動3】從不同的視角認識和理解充分條件和必要條件的概念【問題8】能不能從不同角度理解充分條件、必要條件的意義?典例精析

【例1】[教材改編題]下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若x，y互為相反數，則x＋y＝0；(2)若兩個三角形面積相等，則這兩個三角形是全等三角形；(3)若a＋b是偶數，則整數a，b都是偶數；(4)若ac＝bc，則a＝b；(5)若x，y為無理數，則x＋y為無理數．思路點撥：根據充分條件的定義進行判斷．解：(1)若x，y互為相反數，即x＝－y，則x＋y＝0，p?q，所以p是q的充分條件．(2)若兩個三角形面積相等，假設一個是直角三角形，一個是等邊三角形，則顯然這兩個三角形不全等，p?q，所以p不是q的充分條件．(3)若a＋b是偶數，假設a＝1，b＝3，a＋b＝4是偶數，但a，b不是偶數，故p?q，p不是q的充分條件．(4)若c＝0，則ac＝bc一定成立，此時不一定滿足a＝b，故p?q，所以p不是q的充分條件．(5)舉反例：，－為無理數，但是＋(－)＝0為有理數，故p?q，所以p不是q的充分條件．【方法規律】利用定義判斷充分條件的一般過程：判斷命題真假，根據“?”或“?”符號分清條件和結論，進而判斷是否為充分條件．

【變式訓練1】判斷下列各題中，p是否為q的充分條件：(1)p：兩圓面積相等，q：兩圓半徑相等；(2)p：x>4，q：x>2；(3)p：a>b，q：ac>bc；(4)p：x＝1，q：x2－4x＋3＝0.【解】(1)圓的面積為πr2，π為常數，兩圓面積相等，則半徑r相等，p?q，所以p是q的充分條件．(2)如果x>4，那么x一定大于2，p?q，所以p是q的充分條件．(3)舉反例，當c≤0時不滿足ac>bc，故p?q，所以p不是q的充分條件．(4)將x＝1代入方程，滿足條件，p?q，所以p是q的充分條件．思路點撥：根據必要條件的定義進行判斷．【例2】[教材改編題]下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的對應邊相等；(2)若四邊形的對角線互相垂直且相等，則這個四邊形是正方形；(3)若x>1，則x2≥1；(4)若ac2>bc2，則a>b；(5)若mn為有理數，則m，n為有理數．【解】(1)這是全等三角形的一條性質定理，p?q，所以q是p的必要條件．(2)舉反例：如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直且相等，但它不是正方形，p?q，所以q不是p的必要條件．(3)顯然p?q，所以q是p的必要條件．(4)由ac2>bc2知c≠0，又c2>0，則a>b，p?q，所以q是p的必要條件．(5)舉反例：×2＝4為有理數，但，2均為無理數，p?q，所以q不是p的必要條件．【方法規律】利用定義判斷必要條件的一般過程：判斷命題真假，根據“?”或“?”符號分清條件和結論，進而判斷是否為必要條件．

【變式訓練2】判斷下列各題中，q是否為p的必要條件：(1)p：x>3，q：x>5；(2)p：|x|＝x，q：x2≥0；(3)p：同位角相等，q：兩直線平行；(4)p：四邊形對角線相等，q：四邊形是平行四邊形．【解】(1)顯然，“x>3”不能推出“x>5”，p?q，所以q不是p的必要條件．(2)“|x|＝x”等價于“x≥0”，“x2≥0”等價于“x∈R”，p?q，所以q是p的必要條件．(3)同位角相等，兩直線平行，顯然p?q，所以q是p的必要條件．(4)對角線相等的四邊形可能為等腰梯形，p?q，所以q不是p的必要條件．【例3】(1)“a>5”是“a>0”的________；(填“充分條件”或“必要條件”)(2)“ab＝0”的一個充分條件是________；(寫出一個即可)(3)“x<3”的一個必要條件是________；(寫出一個即可)(4)“x>a”是“x>2”的必要條件，則實數a的取值范圍是________.思路點撥:可以利用充分條件和必要條件的定義進行判斷，也可以通過兩者的范圍大小進行判斷．充分條件

a＝0，b＝0x＜5a≤2【解】(1)a>5?a>0，所以“a>5”是“a>0”的充分條件．(2)要填寫一個可以推出“ab＝0”的條件，所填條件應比“ab＝0”“范圍小”，比如：a＝0，b＝0.(3)要填寫一個由“x＜3”推出的結論，所填應比“x<3”“范圍大”，比如：x<5.(4)“x＞a”是“x＞2”的必要條件理解為“x>2”?“x>a”，進而轉化為{x|x>2}?{x|x>a}，所以a≤2．【方法規律】充分條件和必要條件的判斷，可以利用定義判斷，也可以通過條件和結論對應集合的包含關系判斷．

【變式訓練3】(1)若“x>a”是“x>2”的充分條件，求實數a的取值范圍；(2)若“x>a”的一個充分條件是“x>2”，求實數a的取值范圍；(3)若“x>a”的一個必要條件是“x>2”，求實數a的取值范圍．【解】(1)“x＞a”是x＞2的充分條件可轉化為{x|x>a}?{x|x>2}，所以a≥2.(2)“x>a”的一個充分條件是“x＞2”轉化為“x>2”是“x>a”的一個充分條件，即{x|x>2}?{x|x>a}，所以a≤2.(3)“x＞a”的一個必要條件是“x＞2”轉化為“x>2”是“x>a”的一個必要條件，理解為“x>a”?“x>2”，轉化為{x|x>a}?{x|x>2}，所以a≥2.（備選例題）已知集合A={x|-2<x≤7},B={x|m-1≤x≤2m-3}.(1)當m=6時,求集合A∪B;(2)若C={x|5<x≤8},“x∈(A∩C)”是“x∈B”的充分條件,求實數m的取值范圍.思路點撥

(1)由m=6解得集合B,然后利用并集運算求解.

(2)根據“x∈(A∩C)”是“x∈B”的充分條件,轉化為(A∩C)?B求解..【方法規律】兩個數集的運算,通常都是借助數軸,畫出圖形,數形結合求解;(2)從集合角度理解充分條件.(3)“x∈(A∩C)”是“x∈B”的充分條件,等價于(A∩C)?B,根據這一關系,列出關于m的不等式組,通過解不等式組求出m的范圍,體現了等價轉化思想方法在解決集合與充要條件問題中的運用.

課堂反思通過本節課的學習，你學到了哪些知識？2.你認為本節課的重點和難點是什么？隨堂演練1.[教材改編題]“