2021年福建省三明市梅列區中考數學一模試卷

一、選擇題（共io小題）.

1.下列各數屬于負整數的是（）

A.2B.-2C.--D.0

2

2.2020年中央經濟工作會議明確指出：我國二氧化碳排放力爭2030年前達到峰值，力爭

2060年前實現碳中和.據統計，2020年我國人均碳排放量約為6900千克，6900用科學

記數法表示為（）

A.69X102B.6.9X102C.6.9X103D.0.69X104

3.如圖所示的幾何體，該幾何體的左視圖是（）

4.2021年1月1日起，三明市全面鋪開市區生活垃圾分類工作，分門別類打造適合三明實

際的生活垃圾分類處置體系.將垃圾分為可回收物、廚余垃圾（含餐廚垃圾）有害垃圾、

5.甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績的平均數相同，五次測驗的方差如表:

甲乙丙丁

方差4259

如果從四位同學中選出一位狀態穩定的同學參加全國數學聯賽，那么應選擇（)

A.甲B.乙C.丙D.T

6.已知一個多邊形的每一個外角都是30。，則這個多邊形的邊數是)

A.12B.11C.10D.9

7.下列計算正確的是（）

A.〃3?〃2=々6B.(。+1)(。-3)=a2-3

C.+=D.Cab)2=ab2

8.中國古代人民在生產生活中發現了許多數學問題，在《孫子算經》中記載了這樣一個問

題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人,

則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設共有X輛車，y人，則可列方程組為（）

3(x-2)=y'3(x+2)=y：

A.B.i

2x+9=y,2x+9=y

，

3x=y3(x+2)=':y

c.D.4

2x+9=y2x-9=y

9.如圖，已知48是半圓。。的直徑，。是A4延長線上一點,切半圓。。于點￡BD

于點O,若C￡>=8,BD=6,則半圓。。的半徑為（)

C.2MD.3.75

10.平面直角坐標系中，拋物線丁=以2-3ar+c（&W0）與直線y=2x+l上有三個不同的點

A(xi,/n),B(12,m)，C(%3,m),如果〃=尤1+X2+33,那么m和n的關系是()

A.m=2n-3B.m=n1-3C.m=2n-5D.團=層-5

二、填空題：共6題，每題4分，滿分24分.請將答案填在答題卡的相應位置。

11.分解因式：a2-2a=.

12.已知包上"W0）,則空燈的值為

b3b-------

13.如圖，點A（4,機）在第一象限，。4與x軸所夾的銳角為a,tana得，則機=

14.已知數據："，娓,TT,J40,其中無理數出現的頻率為.

15.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,△ABC繞頂點C逆時針旋轉

60°得到B'C,點A的對應點A'恰好落在AB上，連接A'8,，則圖中陰影部

分的面積為

16.如圖，菱形A8CZ)的四個頂點分別在反比例函數丫=工和>=匹第一象限的圖象上，則

xx

三、解答題：共9題，滿分86分.請將解答過程寫在答題卡的相應位置，解答應寫出文字說

明、證明過程或演算步驟，作圖或畫輔助線需用簽字筆描黑.

17.計算:21-(TT-3.14)°+sin30°.

18.如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=FC.連接AF、BD,

求證：四邊形48。F是平行四邊形.

E

B

D

2

19.先化簡，再求值：(&_I).立絲魚，其中xf/^-2.

x~2x-2

20.如圖，在△A8C中，AB=AC,ZB=36°.

(1)在BC上求作一點。，使得QA=QB；(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作

法)

(2)在(1)的條件下，若AB=2,求BZ)的長.

21.如圖，RtZ\ABC中，N4CB=90°,NA=60°,△ABC繞點C順時針旋轉60°,得

到△￡)<%.

(1)求證：DE垂直平分BC；

(2)F是。E中點，連接8凡CF,若4c=2,求四邊形ACFB的面積.

22.某電器商店準備購進甲、乙兩種微波爐出售，它們的進價和售價如表.現計劃用不超過

37500元購進這兩種微波爐共100臺，其中甲微波爐不少于65臺.

(1)求甲種微波爐最多購進多少臺？

(2)該電器商店對甲種微波爐每臺降價a(0<d<60)元，乙種微波爐售價不變.如果

這100臺微波爐都可售完，那么該電器商店如何進貨才能獲得最大利潤？

微波爐進價(元/售價(元/

臺)臺)

甲400600

乙300450

23.為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源租賃汽車”.每次租車

收費的標準由兩部分組成：①里程計費：1元/公里；②時間計費：01元/分.已知陳先

生的家離上班公司20公里，每天上、下班租用該款汽車各一次.一次路上開車所用的時

間記為/（分），現統計了50次路上開車所用時間，在各時間段內頻數分布情況如表所

示：

時間t25W/V3535Wf<4545Wf<5555Wt<65

（分）

次數102884

將各時間段發生的頻率視為概率，一次路上開車所用的時間視為用車時間，范圍為25Wf

<65.

（1）估計陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于35分鐘的概率；

（2）若公司每月發放1000元的交通補助費用，請估計是否足夠讓陳先生一個月上下班

租用新能源租賃汽車（每月按22天計算），并說明理由.（同一時段，用該區間的中點

值作代表）

24.如圖，四邊形A8CD是。。的內接四邊形，。。的半徑為3,NAOC=90°.分別過點

B、。作C￡>、BC的垂線，垂足分別為點E、F,兩垂線交于點G.

（1）求證：四邊形是平行四邊形：

（2）若C是優弧俞的中點，且sinNCZ）F=￡,求弦CD的長.

O

25.如圖，頂點為PCm,m）（機>0）的二次函數圖象與x軸交于點A（2/n,0）,點B

在該圖象上，直線。8交二次函數圖象對稱軸/于點M,點M、N關于點P對稱，連接

BN、ON.

(1)求該二次函數的關系式(用含，〃的式子表示)；

(2)若點B在對稱軸/右側的二次函數圖象上運動，請解答下列問題:

①連接0P，當時，請判斷△NOB的形狀，并說明理由.

②求證：NBNM=NONM.

參考答案

一、選擇題：共10題，每題4分，滿分40分.每題只有一正確選項，請在答題卡的相應位

置填涂.

1.下列各數屬于負整數的是（）

A.2B.-2C.--D.0

2

【分析】根據負整數的定義即可判定選擇項.

解：在2,-2,-/，0中，屬于負整數的是-2.

故選：B.

2.2020年中央經濟工作會議明確指出：我國二氧化碳排放力爭2030年前達到峰值，力爭

2060年前實現碳中和.據統計，2020年我國人均碳排放量約為6900千克，6900用科學

記數法表示為（）

A.69X102B.6.9X102C.6.9X103D.0.69X104

【分析】科學記數法的表示形式為aX10"的形式，其中1W|4|＜1O,〃為整數.確定n

的值時，要看把原數變成。時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相

同.當原數絕對值＞10時，"是正數；當原數的絕對值＜1時，〃是負數.

解：6900=6.9X103,

故選：C.

3.如圖所示的幾何體，該幾何體的左視圖是（）

【分析】根據左視圖是從左面看到的圖形判定即可.

解：從左面看，是一個矩形，矩形的中間有一條橫向的虛線.

故選：B.

4.2021年1月1日起，三明市全面鋪開市區生活垃圾分類工作，分門別類打造適合三明實

際的生活垃圾分類處置體系.將垃圾分為可回收物、廚余垃圾（含餐廚垃圾）有害垃圾、

其他垃圾.以下圖標是幾類垃圾的標志，其中軸對稱圖形的是（）

【分析】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷利用排除法求解.

解：A、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

8、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

C、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；

。、不是軸對稱圖形，故本選項不合題意.

故選：A.

5.甲、乙、丙、丁四位同學五次數學測驗成績的平均數相同，五次測驗的方差如表:

如果從四位同學中選出一位狀態穩定的同學參加全國數學聯賽，那么應選擇（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根據方差的性質判斷即可.

解：..?四位同學五次數學測驗成績的平均數相同，乙的方差最小，

，乙同學狀態穩定，

故選：B.

6.已知一個多邊形的每一個外角都是30°,則這個多邊形的邊數是（）

A.12B.11C.10D.9

【分析】多邊形的外角和是固定的360。，依此可以求出多邊形的邊數.

解：?.?一個多邊形的每一個外角都是30°,

，這個多邊形的邊數是360°+30°=12.

故選：A.

7.下列計算正確的是（）

A.a3*a2=a6B.(a+1)(a-3)=a2-3

C.a('-i-a2=aAD.(ab)2=ab2

【分析】各式計算得到結果，即可作出判斷.

解：A、原式=〃5,不符合題意;

B、原式=〃-3a+a-3=區-24-3,不符合題意:

C、原式=〃，符合題意;

D、原式=“2〃，不符合題意.

故選：C.

8.中國古代人民在生產生活中發現了許多數學問題，在《孫子算經》中記載了這樣一個問

題，大意為：有若干人乘車，若每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人,

則9人無車可乘，問共有多少輛車，多少人，設共有x輛車，y人，則可列方程組為（）

3(x-2)=y'3(x+2)=y

A.B.i

2x+9=y2x+9=y

3x=y’3(x+2)=y

C.D.i

2x+9=y2x-9=y

【分析】根據每車乘坐3人，則2輛車無人乘坐；若每車乘坐2人，則9人無車可乘,

即可得出關于x,y的二元一次方程組，此題得解.

解：根據題意可得:

[3（x-2）=y

12x+9=y

故選：A.

9.如圖，已知是半圓。。的直徑，C是BA延長線上一點,CC切半圓。。于點E,BD

_LCD于點O,若CZ）=8,BD=6,則半圓。。的半徑為（)

C.273D.3.75

【分析】連接OE,由勾股定理求出BC=10,設OE=r,證明△COEs^CBD得出比

例線段黑卷，得出方程今解方程可得出答案.

BDBC610

解：連接OE,

在RtaBOC中，CD=8,BD=6,

BC=VCD2+BD2=V82+62=。

設OE=r,

???CD切半圓。于點E,

J.CEVOE,

.,.ZC￡O=90°,

'：BD1.CD,

：.ZD=90°=ZCEO,

又,：NC=NC,

:ACOESACBD.

?.?OE—OC,

BDBC

解得：r=3.75.

故選：D.

10.平面直角坐標系中，拋物線-3"+c（QWO）與直線y=2x+l上有三個不同的點

（xi,（X2,m），C（X3,（）

Am）,Bm）,如果n=x\+x2+x^f那么m和n的關系是

A.m=2n-3B.m=n1-3C.m=2n-5D.m=n1-5

【分析】根據題意設在拋物線上的兩點A和b縱坐標相同，則關于對稱軸對稱，即可

求得13=〃-3,則。（〃-3,，刀），代入解析式，即可求得m=2〃-5.

解：\*y=ax2-3ax+c,

...對稱軸為直線X=-三等=3，

2a2

如圖，在拋物線上的兩點A和8,關于直線》=微對稱，則C點在反直線丫=公+1上,

，X1+X2=3,

?.?〃=X1+X2+X3,

.?./2=3+X3,

.*.X3=H-3,

m=2(n-3)+1,

.\m=2n-5,

故選：c.

二、填空題：共6題，每題4分，滿分24分.請將答案填在答題卡的相應位置。

11.分解因式：-2a=a(a-2).

【分析】觀察原式，找到公因式a,提出即可得出答案.

解：a2-2a—a(a-2).

故答案為：aCa-2).

12.已知包洛(必0),則三也的值為4.

b3b-3一

【分析】直接利用已知設a=2x,b=3x,進而代入求出答案.

解：?.?旦上”0),

b3

**?設a—2x>b=3x,

則三也的值為：空警=￡?.

b3x3

故答案為：

3

13.如圖，點A(4,m)在第一象限，Q4與x軸所夾的銳角為a,tana=/則機=6

2---

【分析】作垂線構造直角三角形，利用銳角三角函數的意義求解即可.

解：過點4作AM_Lx軸，垂足為M,由于點A(4,m)在第一象限，

則0M=4,AM=m,

14.已知數據：辰,TT,J40,其中無理數出現的頻率為」4

【分析】直接利用無理數的定義結合頻率的求法得出答案.

解：???■!，娓,7T,y=2,0,其中無理數有旄，7T共2個，

故無理數出現的頻率為：?1=0.4.

5

故答案為：0.4.

15.如圖，在△ABC中，/AC8=90°,乙4=60°,AC=2,ZV1BC繞頂點C逆時針旋轉

60°得到AA'B'C,點A的對應點A'恰好落在AB上，連接A'8,，則圖中陰影部

分的面積為2n-.

【分析】過C作CDLAB于D,解直角三角形求出2c和A2根據三角形的面積求出CD,

根據旋轉得出B'C=BC=26,AC=A'C=2,NBCB'=60°,求出△AC4'是等邊

三角形，根據等邊三角形的性質得出=AC=2,求出A'B,再根據陰影部分的面積

S=S而形8C8+S/J3C4-S^A-CB求出答案即可.

解：過。作CO1_AB于。，

VZACB=90°,NA=60°,

?,.NA8C=30°,

VAC=2,

：.AB=2AC=4,BC=^AB2_AC2=^^2_22=2^,

VSAABc=yXACxBC=yXABXCD>

.「八ACXBC2X273g

:△ABC繞頂點C逆時針旋轉60°得到△?!'B'C,

：.BfC=BC=2?,AC=AfC=2,ZBCB,=60°,

VZA=60°,AC=AfC,

???△ACA'是等邊三角形，

???A4'=AC=2f

VAB=4f

???A'8=4-2=2=44',

???陰影部分的面積S=SMBCB+S^,BCA-Sj^A'CB

=60兀X（2愿產+:X2X?-4X2X2?=2TT-

36022

故答案為：2TT-

16.如圖，菱形ABCQ的四個頂點分別在反比例函數曠=」和'=國第一象限的圖象上，則

XX

B點的坐標為（出5,三近）.

—2-2------

【分析】連接AC、BD,交于點P,根據菱形和反比例函數的對稱性可知A、C在直線)，

=x上，即可求得A(1,1),C(2,2),進一步求得P的坐標，根據8O_LAC,設直

線8。為y=-x+b,根據待定系數法即可求得3。的解析式，與>=工聯立，解方程組即

x

可求得B的坐標.

解：連接AC、BD,交于點P,

根據菱形和反比例函數的對稱性可知A、C在直線)，=無上，

，A(1,1),C(2,2),

是AC的中點，

：.P-),

22

:BD_LAC,

設直線8。為)，=-x+b,

把P:4)代入得名=-當心

2222

解得b=3,

???直線3。為>=-x+3,

y=-x+3

解，1得

y=-

X

.??B點的坐標為(弛區，3m5),

22

故答案為(世逅，三區).

22

三、解答題：共9題，滿分86分.請將解答過程寫在答題卡的相應位置，解答應寫出文字說

明、證明過程或演算步驟，作圖或畫輔助線需用簽字筆描黑.

17.計算:2-1-(it-3.14)°+sin30°.

【分析】直接利用負整數指數累的性質以及零指數累的性質、特殊角的三角函數值分別

化簡得出答案.

解：原式=《-1+3

22

=0.

18.如圖，點3、E、C、F在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=FC.連接AF、BD,

求證：四邊形48DF是平行四邊形.

【分析】依據等式的性質，即可得至再根據SSS即可判定AABC絲進

而得出NA8C=/OFE,依據AB〃OF,AB=DF,即可得到四邊形4BCF是平行四邊形.

解：,:BE=FC,

：.BE+EC=FC+EC,

：.BC=FE,

在△A8C和△。尸E中，

'AB=DF

?BC=FE-

AC=DE

：./\ABC^/\DFE(555),

NABC=ZDFE,

:.AB//DF9

又?.?A8=及尸,

，四邊形ABDF是平行四邊形.

2

19.先化簡，再求值：（2_1）小三士畦，其中x=J§-2.

x-2x-2

【分析】先根據分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將X的值代入計算即可.

解：原式=)4--^±211

x-2x-2x-2

_X+2._.X-2,

2

x-2(x+2)

_1

一初,

當x=?-2時,

原式=」C_L=叵

氏-2+2MV

20.如圖，在△48C中，AB=AC,/B=36°.

（1）在8c上求作一點D,使得ZM=QB；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作

法）

（2）在（1）的條件下，若48=2,求8力的長.

【分析】（1）作線段AB的垂直平分線交BC于點。，連接AD,點。即為所求作.

（2）首先證明AC=CO=AB=2,再利用相似三角形的性質解決問題即可.

解：（1）如圖，點。即為所求作.

(2)由作圖可知，AD=BD,

:.NB=/BAD=36°,

"：AB=AC,

:.NB=NC=36°，

AZCAB=180°-72°=108°,

...NCA￡>=108°-36°=72°,/ADC=NB+NBAD=72°,

：.ZCAD^ZCDA,

，CA=CD=A5=2,

;NB=NB,ZBAD=ZC,

.?.△BA￡)S/\8CA,

：.AB：CB=DB：AB,

：.4=BD(B￡)+2),

：.BD2+2BD-4^0,

解得80=旄-1(負根已經舍棄).

21.如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90°,NA=60°,ZVIBC繞點C順時針旋轉60°,得

到△OCE.

(1)求證：OE垂直平分BC；

(2)F是QE中點，連接BF,CF,若4c=2,求四邊形ACFB的面積.

【分析】（1）由旋轉的性質可得CD=AC,ZA=ZCDE=60°,ZACD=60°,可證

NAC8=NDOB=90°,由余角的性質和等腰三角形的判定可證CD=BD,由等腰三角

形的性質可得結論；

（2）分別求出△AOC的面積和四邊形BOCF的面積，即可求解.

【解答】證明：（1）如圖，設BC與OE交于點O,

?「△ABC繞點C順時針旋轉60°,得到△OCE,

：.CD=ACfZA=ZCDE=60°,ZACD=60°,AB=DE,

???△ACO是等邊三角形，DE//AC,

：.ZACB=ZDOB=90°,AD=CD=AC,

VZACB=90°,ZA=60°,

:?/DBC=/DCB=30°,

：.CD=BDf

???￡)￡垂直平分BC1

(2)VZABC=30°,ZACB=90°,AC=2,

:?BC=yf^C=2M，AB=2AC=4f

:.S^ACB=-j-XACXBC=aX2X273=2?,

*：AD=BDf

S>ADC=~SMBC=X2y=?,

?.?尸是DE中點，

DF=EF=CF=—D￡=—

22

:.S四邊形8OCF=-^X8CXO尸=2百

四邊形ACFB的面積=2?+?=3

22.某電器商店準備購進甲、乙兩種微波爐出售，它們的進價和售價如表.現計劃用不超過

37500元購進這兩種微波爐共100臺，其中甲微波爐不少于65臺.

(1)求甲種微波爐最多購進多少臺？

(2)該電器商店對甲種微波爐每臺降價〃(0<?<60)元，乙種微波爐售價不變.如果

這100臺微波爐都可售完，那么該電器商店如何進貨才能獲得最大利潤？

微波爐進價（元/售價（元/

臺）臺）

甲400600

乙300450

【分析】（1）設甲種微波爐購進m臺，則乙種微波爐購進（100-加）臺，然后根據購

進這100臺微波爐的費用不得超過37500元，列出不等式解答即可；

（2）首先求出總利潤W的表達式，然后針對”的不同取值范圍進行討論，分別確定其

進貨方案.

解：（1）設甲種微波爐購進，〃臺，則乙種微波爐購進（100-，w）臺,

根據題意，得：［465,

1400m+300（100-m）<3750（

解得：65W/nW75,

答：甲種微波爐購進75臺；

（2）設總利潤為W元，

卬=(600-400-〃)x+(450-300)(100-%)

即w=（50-?）x+15000.

①當0<“<50時，50-<a>0,卬隨x增大而增大，

...當x=75時,W有最大值,即此時購進甲種服裝75件，乙種服裝25件;

②當。=50時，所以按哪種方案進貨都可以；

③當50<“<60時，W隨x增大而減小.

?.?甲微波爐不少于65臺，

...當x=65時，W有最大值，即此時購進甲種服裝65件，乙種服裝35件.

23.為響應綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源租賃汽車”.每次租車

收費的標準由兩部分組成：①里程計費：1元/公里；②時間計費：01元/分.已知陳先

生的家離上班公司20公里，每天上、下班租用該款汽車各一次.一次路上開車所用的時

間記為分），現統計了50次路上開車所用時間，在各時間段內頻數分布情況如表所

示：

時間t25Wf<3535Wf<4545Wf<5555Wf<65

(分)

次數102884

將各時間段發生的頻率視為概率，一次路上開車所用的時間視為用車時間，范圍為25Wf

<65.

（1）估計陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于35分鐘的概率；

（2）若公司每月發放1000元的交通補助費用，請估計是否足夠讓陳先生一個月上下班

租用新能源租賃汽車（每月按22天計算），并說明理由.（同一時段，用該區間的中點

值作代表）

【分析】（1）根據題意和表格中的數據，可以計算出陳先生一次租用新能源租賃汽車所

用的時間不低于35分鐘的概率；

（2）根據表格中的數據，可以計算出陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車的費用，

然后與1000比較大小，即可解答本題.

解：（1）由題意可得，

即陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于35分鐘的概率是0.8；

（2）公司每月發放1000元的交通補助費用，足夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租

賃汽車，

理由：由題意可得，

陳先生一個月的租車費用為：—X[（30X0.1+20X1）X10+（40X0.1+20X1）X28+

50

（50X0.1+20X1）X8+（60X0.1+20X1）X4]X22=530.64（元）,

V530.64<1000,

公司每月發放1000元的交通補助費用，足夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽

車.

24.如圖，四邊形A8CQ是。。的內接四邊形，。。的半徑為3,ZADC=90°.分別過點

B、。作CD、BC的垂線，垂足分別為點E、F,兩垂線交于點G.

（1）求證：四邊形A8G。是平行四邊形；

⑵若。是優弧俞的中點，且sinNC。/=,，求弦CO的長.

D

【分析】（1）證明兩組對邊分別平行即可.

（2）連接AC.首先證明點G在A。上，在中，sin/EOG=*=],設EG

22=2

=〃，則DG=AD=3a,推出DE=A/DG-EGJ由EG〃A￡>,推出*=聆=\,

CDAUo

推出EC=J須，推出C￡>=3&<7,再根據AZ^+CD^AC2,構建方程求出m即可解決

問題.

【解答】（1）證明：,：ZADC+ZABC=\SO°,ZADC=9Q°,

：.ZABC=90Q,

'CDFLBC,BE1,CD,

：.ZDFC=ZABC=90°,ZBEC=ZADC=90°,

：.DF//AB,BE//AD,

四邊形ABGD是平行四邊形.

(2)解：連接AC.

VZADC=90°,

；.AC是直徑，

7CD=BO

：.ZDAC=ZBACfCD=BC,

VZADC=ZABC=90°,AC=AC,

ACD絲RtZ\ACB(HL),

：.AD=AB,ZCAD^ZCAB,

V四邊形ABGD是平行四邊形,

二四邊形48GO是菱形，

；.4C經過點G,

在Rtz^OEG中，VZDEG=90°,

EG1

：.sinZEDG=—=—,

DG3

設EG=a,則DG=AD=3a,

,DE=VDG2-EG2=2近a,

,JEG//AD,

.生=毀J

??而■一而一了

:?CD=3\f^p,

???A￡>2+CO2=AC2,

/.9。2+18。2=36,

?c-2M