變分原理與變分法1.1關于變分原理與變分法（物質世界存在的基本守恒法則）大自然總是以可能最好的方式安排一切，似乎存在著各種安排原理：晝/夜，日/月，陰/陽，靜止/運動等矛盾/統一的協調體；對靜止事物：平衡體的最小能量原理，對稱/相似原理；對運動事物：能量守恒，動量（矩）守恒，熵增原理等。變分原理是自然界靜止(相對穩定狀態)事物中的一個普遍適應的數學定律，獲稱最小作用原理。Examples:①光線最短路徑傳播；②光線入射角等于反射角，光線在反射中也是光傳播最短路徑（Heron）；③光線折射遵循時間最短的途徑（Fermat）；BABAv1v1v2v2CECESummary:實際上光的傳播遵循最小能量原理；在靜力學中的穩定平衡本質上是勢能最小的原理。二、變分法是自然界變分原理的數學規劃方法（求解約束方程系統極值的數學方法），是計算泛函駐值的數學理論數學上的泛函定義定義：數學空間（集合）上的元素（定義域）與一個實數域間（值域）間的（映射）關系特征描述法：{J:}Examples:①矩陣范數：線性算子（矩陣）空間數域‖A‖1=；；②函數的積分：函數空間數域Note:泛函的自變量是集合中的元素（定義域）；值域是實數域。Discussion：①判定下列那些是泛函：；；3x+5y=2；E、JconstsE、Jconstsq(x)q(x)x物理問題中的泛函舉例xx=0,x=0,固支；x=l,自由i.梁的彎曲應變能：ii.彈性地基貯存的能量：iii.外力位能：iv.系統總的勢能：泛函的提法：有一種梁的撓度函數（與載荷無關），就會有一個對應的系統勢能。泛函駐值提法：在滿足位移邊界條件的所有撓度函數中，找一個w(x),使系統勢能泛函取最小值。②最速降線問題問題：已知空間兩點A和B,A高于B，要求在兩點間連接一條曲線，使得有重物從A沿此曲線自由下滑時，從A到B所需時間最短（忽略摩擦力）。作法：i.通過A和B作一垂直于水平面的平面，取坐標系如圖。B點坐標(a,b),設曲線為y=y(x),并已知：x=0,y=0；x=a,y=bii.建立泛函：1.2.1定積分的駐值（變分）問題目的：通過簡單泛函的極值分析，獲得建立變分法的基本概念、計算步驟（把變分解轉化成微分方程）問題：在自變量x的區間[a，b]內決定一個函數y(x)，使它滿足邊界條件：，并使泛函：取極值。計算方法1：先用變分觀點解釋G.H曲線的增量yβHDBCαAG abxabxxdx設想已取得了一條曲線GACH方程為：y=y(x)在GACH附近另取一條曲線GBDH，令該曲線無限接近GACH，其方程為：是一個無窮小量，稱為自變函數的變分（若x不變，即為曲線縱坐標的增量）（注意與函數微分的區別，這里函數的變分仍然是一個函數）相應兩條曲線，獲得兩個泛函值：基本引理：證：推廣：另一條認識的思路：DHβyx：DHβyxBCA：BCAGα：Gαba：badxdx＝因為是的連續可導函數（工程上一般如此），故很小時，也很小，即取等式兩端的一階無窮小量，即：（可以從Tailor展開式去理解）稱為泛函V的一階變分，簡稱變分，即泛函的一階變分是泛函增量中的一階小量部分（把自變函數的變分作為一階小量）所以，變分的運算服從無窮小量的運算規則。計算方法2：（把求泛函的極值轉化成求普通函數的極值）記：(固定)當在y0上取極值，則相應于的泛函值現在成為普通的函數極值條件：（先不管該條件，現僅研究其導數計算）上兩式中出現，和并不能獨立變化，可設法把項轉換成只與有關的項。取分步積分：取：代入一階變分式：要選定的函數滿足邊界條件，所以：，計算若方括號內的函數在區間內不為0，則可任選使大于零或小于零，即使V不能獲得極值，故需方括號的項為零。即：（Euler方程）此即與泛函駐值等價的微分方程。或：令由變分基本定理：任意連續函數，方括號中函數連續。Example最速降線問題：（注不顯含x）代入Euler方程，并乘以函數Q可得：由于(F中不顯含x)，上式中只要令,把上式配成全微分形式：這是因為：()（代回原Euler方程，即得全微分）

由全微分方程代入F的具體表達式：令：上式積分得：注意