第一部分·第六章圓第26課時與圓有關的概念及性質考點一與圓有關的概念1.圓的性質:圓是

軸對稱

圖形,任意一條

直徑

所在直線都是它的對稱軸;圓又是

中心對稱

圖形,它的對稱中心是

圓心

.

2.確定圓的條件:不在同一條直線上的

三個

點確定一個圓.

3.圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角.4.弦:連接圓上任意兩點的線段叫做弦,經過圓心的弦叫做直徑.5.弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,直徑兩端點之間的弧叫做半圓,大于半圓的弧叫做優弧,小于半圓的弧叫做劣弧.弧的度數等于它所對的圓心角的度數.半圓所對的圓心角等于

180.

6.弦心距*:圓心到弦的垂線段的長度叫做這條弦的弦心距.在同圓或等圓中,如果弦相等,那么弦心距也

相等

;弦越大,弦心距越

小

;直徑的弦心距等于

0

.

考點一與圓有關的概念7.圓心角、弧、弦和弦心距的關系(1)定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的

弧

相等,所對的

弦

也相等.

(2)推論:①在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么它們所對的圓心角

相等

,所對的弦

相等

;

②在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對的圓心角

相等

,所對的優弧和劣弧分別

相等

.

考點點撥在同圓或等圓中,兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦的弦心距,如果其中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量也分別相等.考點二垂徑定理及其推論1.垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,且平分弦所對的

兩條弧

.

2.推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.考點點撥如果一條直線滿足如下五個結論中的任意兩個,那么其他三個結論一定成立:①經過圓心;②垂直于弦;③平分弦(被平分的弦不能是直徑);④平分弦所對的優弧;⑤平分弦所對的劣弧.例如:(i)弦的垂直平分線經過

圓心

,并且平分弦所對的

兩條弧

;

(ii)平分弦所對的一條弧的直徑

垂直于

弦,并且平分弦所對的

另一條弧

.

考點三圓周角定理及其推論考點點撥1.圓周角定義:頂點在

圓上

,兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.常見圖形:2.圓周角定理:一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

一半

.

推論:(1)同弧(或等弧)所對的圓周角

相等

.

(2)半圓(或直徑)所對的圓周角是

直角

;90°的圓周角所對的弦是

直徑

,所對的弧是

半圓

.

在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.考點四與圓有關的多邊形1.圓內接多邊形:如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上,這個多邊形叫做這個圓的內接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的外接圓.2.圓內接四邊形性質:圓內接四邊形對角

互補

,每個外角等于與它相鄰的內角的對角,簡稱:外角等于它的內對角.

命題點一垂徑定理及其運用——命題角度1求弦長典例1(2016莆田,15改編)如圖,CD為☉O的弦,直徑AB為4,AB⊥CD于點E,∠A=30°,則CD的長為

.

思路

解題方法圓中“鐵三角”在圓中,弦的一半、過該弦端點的半徑和圓心到該弦的垂線段可謂是圓中的“鐵三角”,它們構成了以半徑為斜邊的直角三角形,這種密切的關系是解決圓中有關弦、弦心距和半徑的計算問題的關鍵.

命題點一垂徑定理及其運用——命題角度2求半徑典例2(2017湖南長沙,15)如圖,AB為☉O的直徑,弦CD⊥AB于點E,已知CD=6,EB=1,則☉O的半徑為

.

思路連接OC,得直角三角形OCE.設☉O的半徑為r,則OE=r-1.根據垂徑定理,得CE=3,由勾股定理,可得關于r的方程,解之即可.解題方法巧用方程思想進行圓中有關弦、弦心距和半徑的計算時,如果這三者的大小相互制約,除了需要運用垂徑定理和勾股定理外,還應注意方程思想的運用,通過設元,再由勾股定理列方程解之.5變式訓練1命題點一垂徑定理及其運用——命題角度2求半徑典例2(2017新疆建設兵團,9)如圖,☉O的半徑OD垂直于弦AB,垂足為點C,連接AO并延長交☉O于點E,連接BE,CE.若AB=8,CD=2,則△BCE的面積為解析

變式訓練1A.12

B.15

C.16

D.18(2017湖北黃岡,6)已知,如圖,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,則∠ADC的度數為A.30° B.35°C.45° D.70°命題點二圓周角定理及其推論——命題角度1運用圓周角與圓心角關系求角的度數典例3變式訓練2思路

解題方法找等弧求角度在圓中求角的度數時,常常需要運用圓周角定理,利用同弧或等弧所對的圓周角相等,且等于圓心角的一半進行角的轉換.而在求弧相等時要注意垂徑定理中“平分弧”的運用.典例4(2017云南,14)如圖,B,C是☉A上的兩點,AB的垂直平分線與☉A交于E,F兩點,與線段AC交于D點.若∠BFC=20°,則∠DBC=命題點二圓周角定理及其推論——命題角度1運用圓周角與圓心角關系求角的度數典例3思路根據“同弧所對圓周角等于圓心角的一半”可知∠A=2∠BFC=40°,從而可得等腰三角形ABC的底角∠ABC=70°.又EF垂直平分AB,所以DA=DB,所以∠ABD=∠A=40°,故可求得∠DBC的度數.變式訓練2典例4A.30° B.29°

C.28° D.20°命題點二圓周角定理及其推論——命題角度1運用圓周角與圓心角關系求角的度數典例3易錯考點以弦換弧常致錯由于一個圓周角所對應的弧和弦都是唯一的,因此,在運用同弧(或等弧)所對圓周角相等時,常常以弦換弧,錯誤地以為“同弦或等弦”所對圓周角相等.注意一條弦所對的圓周角有相等或互補兩種情形.變式訓練2典例4

命題點二圓周角定理及其推論——命題角度1運用圓周角與圓心角關系求角的度數典例3解析

變式訓練2典例4A.92° B.108° C.112° D.124°(2017福建,8)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上位于AB異側的兩點,下列四個角中,一定與∠ACD互余的是命題點二圓周角定理及其推論——命題角度2運用直徑所對圓周角是直角來求角的度數典例5思路由AB為直徑,得∠ADB=90°,從而可得圖中互余的兩角.再根據“同弧所對圓周角相等”可知與∠ACD相等的角是∠B,從而確定一定與∠ACD互余的角.變式訓練3

A.∠ADC B.∠ABDC.∠BAC D.∠BAD命題點二圓周角定理及其推論——命題角度2運用直徑所對圓周角是直角來求角的度數典例5變式訓練3解題方法

運用半徑、直徑、圓周角之間的關系求角的度數

在解答直徑條件下的求角問題時,一般要運用“直徑所對的圓周角是直角”,把直徑條件轉化為直角;在沒有該直徑所對的圓周角時往往要作出圓周角,或根據半圓的度數為180°直接求解.當題目給出的是半徑條件時,常常要將半徑延長成直徑.命題點二圓周角定理及其推論——命題角度2運用直徑所對圓周角是直角來求角的度數典例5變式訓練3(2017山東青島,6)如圖,AB是☉O的直徑,點C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,則∠BCD的度數為A.100° B.110°

C.115° D.120°解析

連接BE,則∠AEB=90°,∵∠AED=20°,∴∠BED=70°,∴∠BCD=110°.命題點二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓練4典例6

(2016廈門,26)已知AB是☉O的直徑,點C在☉O上,點D在半徑OA上(不與點O,A重合).(1)如圖(1),若∠COA=60°,∠CDO=70°,求∠ACD的度數;(2)如圖(2),點E在線段OD上(不與點O,D重合),CD,CE的延長線分別交☉O于點F,G,連接BF,BG,點P是CO的延長線與BF的交點,若CD=1,BG=2,∠OCD=∠OBG,∠CFP=∠CPF,求CG的長.命題點二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓練4思路(1)先求出∠CAD的度數,然后根據∠ACD=∠CDO-∠CAD即可求解.(2)連接AG,延長CP交BG于點Q,交☉O于點H,令CG交BF于點R.先證明△COD≌△BOQ(ASA),根據全等性質可得BQ,進而得到GQ,再證明△OQB為等腰直角三角形,從而得出CQ的長,最后在Rt△CGQ中根據勾股定理即可得到CG的長.解析(1)∵OA=OC,∠COA=60°,∴△ACO為等邊三角形,∴∠CAD=60°.又∵∠CDO=70°,∴∠ACD=∠CDO-∠CAD=10°.(2)連接AG,延長CP交BG于點Q,交☉O于點H,令CG交BF于點R,如圖所示.在△COD和△BOQ中,∵∠OCD=∠OBQ,OC=OB,∠COD=∠BOQ,命題點二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓練4

命題點二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓練4考點點撥直徑條件下的綜合題往往具有一定的難度,考查的是同學們分析問題和解決問題的能力.在分析過程中要注意一系列定理的綜合運用,比如垂徑定理、勾股定理、直徑所對的圓周角是直角、半徑相等、同弧或等弧所對的圓周角相等,同時還要注意三角形全等和相似的判定等.命題點二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓練4(2017浙江臺州,22)如圖,已知等腰直角三角形ABC,P是斜邊BC上一點(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓☉O的直徑.(1)求證:△APE是等腰直角三角形;(2)若☉O的直徑為2,求PC2+PB2的值.解析(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠C=∠ABC=45°,∴∠PEA=∠ABC=45°.∵PE是☉O的直徑,∴∠PAE=90°,∴∠PEA=∠APE=45°,∴△APE是等腰直角三角形.命題點二圓周角定理及其推論——命題角度3在直徑條件下的綜合題典例6變式訓練4(2)∵PE為☉O的直徑,∴∠PBE=90°.∵△ABC和△APE是等腰直角三角形,∴AC=AB,AP=AE,∠