第五章三角函數5.1任意角和弧度制5.1.1任意角跳水運動員向內、向外轉體兩周半，這是多大角度?

提示：900°體操中有轉體兩周或轉體兩周半，如何度量這些角度呢？提示：角的范圍需要擴展經過1小時，秒針、分針各轉了多少度？提示：21600°

，360°.

在齒輪轉動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉.你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60°所形成的角，與按順時針方向旋轉60°所形成的角是否相等？提示：不相等60°60°1.掌握用“旋轉”定義角的概念，理解任意角的概念.2.學會在平面內建立適當的坐標系來討論角；并進而理解“正角”“負角”“象限角”“終邊相同的角”的含義.(重點)3.掌握終邊相同角的表示方法，會用角的集合表示一些實際問題中的角．

(難點）1.了解任意角的概念，能區分各類角。（數學抽象）2.掌握象限角，并會用集合表示。（直觀想象）

3.理解終邊相同的角的含義及表示，會解決與終邊相同角的角的有關簡單運算。（數學運算）

體會課堂探究的樂趣，汲取新知識的營養，讓我們一起吧！進走課堂思考2：想想用什么辦法才能推廣到任意角?提示：關鍵是用運動的觀點來看待角的變化.提示：將角的概念及范圍推廣.思考1：上述這些例子有的角不僅不在0°～360°范圍內，而且有方向,如何解決這一問題呢?微課1任意角的概念平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形叫做角.1.角的概念的推廣O始邊終邊頂點OAB終邊頂點O終邊頂點O終邊頂點2.角的構成要素始邊終邊頂點ABO旋轉方向這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角.正角：按逆時針方向旋轉形成的角負角：按順時針方向旋轉形成的角零角：一條射線沒有作任何旋轉形成的角任意角規定：D【即時訓練】oyx思考：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？提示：x軸上、y軸上或者x軸、y軸之間的區域內微課2象限角象限角的概念角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角；角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.-50°xyOxyO210°-450°xyO405°xyO-200°xyO第四象限角第一象限角第三象限角第二象限角不屬于任何象限的角提示：下列各角：-50°，405°，210°,-200°，-450°分別是第幾象限角？【即時訓練】1.銳角與第一象限角是什么關系？2.鈍角與第二象限角是什么關系？

銳角一定是第一象限角，第一象限角不一定是銳角.鈍角一定是第二象限角，第二象限角不一定是鈍角.提示：

3.第二象限角一定比第一象限角大嗎？

象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小.【易錯點撥】D【即時訓練】思考1：

-32°，328°，-392°是第幾象限角？這些角有什么內在聯系？－32°-392°xyo328°提示：-32°，328°，-392°都是第四象限的角，它們的終邊相同.微課3終邊相同的角思考2：所有與-32°角終邊相同的角，連同-32°角在內，可構成一個集合S，你能用描述法表示集合S嗎？

提示：思考3：一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內所構成的集合S可以怎樣表示？

提示：S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數多個，它們相差360°的整數倍D【規律方法】與330°相差360°的整數倍。【即時訓練】例1.在0°～360°范圍內，找出與-950°12′角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.關鍵是通過加減360°的整數倍，在0°～360°范圍內找到終邊相同的角.

【解析】∵-950°12′=129°48′-3×360°,∴在0°～360°范圍內,與-950°12′角終邊相同的角是129°48′,它是第二限角.1.在0°～360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角：①1110°②-1234°③665°④-540°48'

【解析】①1110°=30°+3×360°與30°的角終邊相同，是第一象限角②-1234°=206°+(-4)×360°與206°的角終邊相同，是第三象限角③665°=305°+360°與305°的角終邊相同，是第四象限角④-540°48'=179°12'+(-2)×360°與179°12'的角終邊相同，是第二象限角【變式練習】2.如果α，β終邊相同，則α-β的終邊落‘在（）

A.X軸的正半軸上B.X軸的負半軸上

C.y軸的正半軸上D.y軸的負半軸上A

思考4：終邊在x軸正半軸、負半軸，y軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？

提示：終邊在x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；終邊在x軸負半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；終邊在y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；終邊在y軸負半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.例2.寫出終邊在y軸上的角的集合.【解析】在0°～360°范圍內，終邊在y軸上的角有兩個，即90°，270°角（如圖）.因此，所有與90°角終邊相同的角構成集合S1={β|β=90°+k·360°，k∈Z},而所有與270°角終邊相同的角構成集合S2={β|β=270°+k·360°，k∈Z},于是，終邊在y軸上的角的集合S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°，k∈Z}={β|β=90°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=90°+（2k+1）180°，k∈Z}={β|β=90°+n·180°，n∈Z}.已知角α是第三象限角,則角-α的終邊在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限B【變式練習】例3.寫出終邊在直線y=x上的角的集合S，并把S中適合不等式-360°≤β＜720°的元素β寫出來.解：如圖，在直角坐標系中畫出直線y=x,可以發現它與x軸的夾角是45°,在0°～360°

范圍內，終邊在直線y=x上的角有兩個：45°,225°.因此，終邊在直線y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}

={β|β=45°+k·180°,k∈Z}

S中適合不等式-360°≤β<720°的元素是45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.思考是如何變換的？

已知角α的終邊在如圖中陰影所表示的范圍內（不包括邊界），那么α∈_________________________.xyOθ-θ【變式練習】回顧本節課的收獲角的概念的推廣

任意角的概念象限角終邊相同的角的表示

任意角核心知識方法總結易錯提醒核心素養角的概念、表示及分類象限角終邊相同的角象限角的兩種判斷方法：（1）化成終邊相同角的表示形式；（2）在坐標系中畫出相應的角，觀察終邊