湖南省郴州市二中2023屆高三第六次月考理科數學(word版含答案〕第頁湖南省郴州市二中2023屆高三第六次月考理科數學一、選擇題：此題共12小題，每題5分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．1．集合，，那么=A．B．C．D．2．復數滿足，其中為虛數單位，那么復數=A．B．C．D．3．向量，，假設，那么實數的值為A．4B．或1C．D．4或14．執行如下列圖的程序框圖，假設輸出的值為21，那么判斷框內應填A．B．C．D．5．：，：，那么是的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6．“楊輝三角〞是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形〞早了300多年．如圖是楊輝三角數陣，記為圖中第行各個數之和，那么的值為A．528B．1020C．1038D．10407．假設，滿足不等式組，那么成立的概率為A．B．C．D．8．某幾何體的三視圖如下列圖，那么該幾何體的外表積為A．B．C．D．9．如圖，函數(，，)的圖象關于點對稱，且的圖象上相鄰的最高點與最低點之間的距離為4，將的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，那么以下是的單調遞增區間的為A．B．C．D．10．拋物線：()，直線交拋物線于、兩點，過線段的中點作軸的垂線，交拋物線于點．假設，那么=A．B．C．D．11．三棱錐的底面是直角三角形，⊥，，⊥平面，是的中點．假設此三棱錐的體積為，那么異面直線與所成角的大小為A．45°B．90°C．60°D．30°12．函數，假設，且，那么的取值范圍是A．B．C．D．二、填空題：此題共4小題，每題5分．13．假設二項式的展開式中，的系數為3，那么的值為．

14．函數，假設關于的不等式在[0，1]上有解，那么實數的取值范圍為．15．如下列圖，在圓內接四邊形中，，，，，那么四邊形的面積為．

16．如圖，雙曲線的左焦點為，左、右頂點分別為，，在雙曲線上且在軸的上方，⊥軸，直線，與軸分別交于，兩點，假設(為雙曲線的離心率)，那么=．

三、解答題：解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題總分值12分)各項均為正數的等比數列的前項和為，，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．18．(本小題總分值12分)某教師為了了解本校高三學生一模考試的數學成績情況，將所教兩個班級的數學成績(單位：分)繪制成如下列圖的莖葉圖．(1)分別求出甲、乙兩個班級數學成績的中位數、眾數；(2)假設規定成績大于等于115分為優秀，分別求出兩個班級數學成績的優秀率；(3)在(2)的條件下，假設用甲班學生數學成績的頻率估計概率，從該校高三年級中隨機抽取3人，記這3人中數學成績優秀的人數為，求的分布列和數學期望．19．(本小題總分值12分)如圖，在等腰梯形中，，，，，=60°，沿，折成三棱柱．(1)假設，分別為，的中點，求證：∥平面；(2)假設，求二面角的余弦值．20．(本小題總分值12分)橢圓：的左、右焦點分別為，，在橢圓上(異于橢圓的左、右頂點)，過右焦點作∠的外角平分線的垂線，交于點，且(為坐標原點)，橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)假設直線：()與橢圓交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線交軸于，求當三角形的面積最大時，直線的方程．21．(本小題總分值12分)函數，，．(1)假設，，求函數的單調區間；(2)設．(i)假設函數有極值，求實數的取值范圍；(ii)假設()，求證：．選考局部請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，那么按所做的第一題計分．22．(本小題總分值10分)[選修4─4：坐標系與參數方程]在直角坐標系中，直線：(是參數)，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，那么曲線：．(1)求的普通方程和的直角坐標方程；(2)判斷直線與曲線的位置關系，假設相交，求出弦長．23．(本小題總分值10分)[選修4─5：不等式選講](是常數，)．(1)當時，求不等式的解集；(2)假設函數恰有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．答案1．B【解析】依題意，由，得，，即集合，，應選B．2．A【解析】解法一由復數的運算可得，設，那么，所以，QUOTE解方程組得，，所以，應選A．解法二由復數的運算可得，所以．3．B【解析】將兩邊平方得，將代入得，即，解得或1，應選B．4．B【解析】初始值：，=0；第一次循環：=1，=1；第二次循環：=2，=1+2=3；第三次循環：=3，=3+3=6；第四次循環：=4，=6+4=10；第五次循環：=5，=10+5=15；第六次循環：=6，=15+6=21；第七次循環：=7．因為輸出的值為21，所以結合選項可知判斷框內應填，應選B．5．A【解析】由，得，即；由，得，所以，即．因此是的充分不必要條件，應選A．6．D【解析】，，，，，…，所以，，應選D．7．A【解析】作出，所對應的可行域(如圖中△BDE及其內部所示)，表示可行域內的點與定點連線的斜率，當取圖中△ABC內及邊界上的點時，成立．由，可得，由QUOTE，可得，由，得，故，，那么所求概率，應選A．8．A【解析】由三視圖可畫出幾何體的直觀圖為多面體ABCDEF，放在長方體中如下列圖，那么幾何體的外表由四個全等且直角邊長分別為2，3的直角三角形，兩個邊長分別為，，的等腰三角形及一個邊長為2的正方形構成，故幾何體的外表積為．9．C【解析】由圖知，不妨設兩個相鄰的最高點和最低點分別為，，過作⊥軸于，如下列圖．令()，那么，得，所以，，設函數的最小正周期為，那么，，，所以．將(2，0)代入得，因為，所以，，所以=．由，解得，令，得，的一個單調遞增區間為，應選C．10．B【解析】聯立拋物線與直線的方程，消去得．設，，那么，，，∴．∵，∴，即，∴，將，代入，得，得或(舍去)．應選B．11．C【解析】∵⊥平面，，∴三棱錐的體積，∴=4，設的中點為，連接，，如圖，那么，，，∴△是正三角形，∴∠=60°．∵是的中點，那么∥，∴∠是異面直線與所成的角，即異面直線與所成角的大小為60°．12．D【解析】解法一：先作出的圖象如下列圖，通過圖象可知，假設，，那么，設=t，那么QUOTE(>0)，故，QUOTE所以，，而，所以，當且僅當時等號成立．令，那么，故，因為在上單調遞增，所以．解法二：先作出的圖象如下列圖，通過圖象可知，假設，，那么，可得，所以，所以，，所以，當且僅當，即時，等號成立．令，那么，所以,因為在上單調遞增，所以．二、填空題：此題共4小題，每題5分．13．【解析】由二項展開式的通項可得，，即，因此．14．【解析】由在[0，1]上有解，可得，即．令，那么，因為，所以，那么當，即時，，即，故實數的取值范圍是．15．【解析】如下列圖，連接，因為為圓內接四邊形，所以180°，那么，利用余弦定理得，，解得，所以．由，得，因為=180°，所以，16．+1【解析】由得，，，，．由∽△可得，，即，解得．由∽△可得，QUOTE，即QUOTE，解得．由，可得，所以，即，整理得，故．17．【解析】(1)設等比數列的公比為，因為，，所以，故，所以，因為，所以，〔4分〕所以． 〔6分〕(2)由(1)知，因為，所以，〔9分〕因為，所以，所以．〔12分〕18．【解析】(1)由所給的莖葉圖知，甲班50名同學的成績由小到大排序，排在第25，26位的是108，109，數量最多的是103，故甲班數學成績的中位數是108.5，眾數是103；〔2分〕乙班48名同學的成績由小到大排序，排在第24，25位的是106，107，數量最多的是92和101，故乙班數學成績的中位數是106．5，眾數為92和101．〔4分〕(2)由莖葉圖中的數據可知，甲班中數學成績為優秀的人數為20，優秀率為QUOTE；乙班中數學成績為優秀的人數為18，優秀率為．〔6分〕(3)用甲班學生數學成績的頻率估計概率，那么高三學生數學成績的優秀率，那么的所有可能取值為0，1，2，3，服從二項分布，即，；．〔10分〕的分布列為0123=0×+1×+2×+3×=(或=)．〔12分〕19．【解析】(1)取的中點，連接，，在三角形中，∵，分別為，的中點，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面．〔2分〕由于，分別為，的中點，由棱柱的性質可得∥，∵平面，平面，∴∥平面．〔3分〕又平面，平面，∩=，∴平面∥平面，∵平面，∴∥平面．〔5分〕(2)連接，在Rt△中，，，∴，又，，∴，∴，又且，∴⊥平面．〔7分〕建立如下列圖的空間直角坐標系，可得(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(0，1，1)，=(，1，1)，=(，0，0)，=(0，0，1)．〔8分〕設平面的法向量為，那么，那么，令，得，那么=(1，，0)為平面的一個法向量，設平面的法向量為，那么，那么，令，得，∴為平面的一個法向量．〔10分〕設，所成的角為，那么，由圖可知二面角的余弦值是．〔12分〕20．【解析】(1)由橢圓的四個頂點圍成的平行四邊形的面積為，得．〔2分〕延長交直線于點，因為為∠的外角平分線的垂線，所以，為的中點，所以，所以，，所以橢圓的方程為．〔5分〕(2)將直線和橢圓的方程聯立得，消去，得，所以，即．〔7分〕設，，那么，由根與系數的關系，得，，QUOTE直線的斜率，所以直線的方程為，令得，故，所以點到直線的距離，所以．〔10分〕令()，那么，當且僅當，即，即，時，三角形的面積最大，所以直線的方程為或．〔12分〕21．【解析】(1)當，時，，定義域為，令，得；令，得．所以函數的單調遞增區間為(0，1)，單調遞減區間為(1，+∞)．(4分)(2)(i)=，定義域為(0，+∞)，①當時，，函數在(0，+∞)上為單調遞增函數，不存在極值．(6分)②當時，令，得，，所以，易證在上為增函數，在上為減函數，所以當時，取得極大值．所以假設函數有極值，實數的取值范圍是．(8分)(ii)由(i)知當時，不存在，使得，當時，存在，使得，不妨取，欲證，只需證明．因為函數在上為減函數，故只需證，即證，即證．令，那么．(10分)設，那么，因為，，所以在上為減函數，所以在上為增函數，所以，即，故成立．(12分)22．【解析】(1)由：，消去得，所以直線的普通方程為．把的兩邊同時乘以得，因為，，所以，即，所