推理合情推理演繹推理歸納類比三段論本節知識結構

推理是人們思維活動的過程，是根據一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程。復習提問：一.推理推理合情推理演繹推理二.合情推理

先根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想;再進行歸納、類比;然后提出猜想的推理.統稱為合情推理.1.合情推理的概念2.合情推理的過程從具體問題出發觀察、分析比較、聯想歸納類比提出猜想

數學研究中,得到一個新結論之前,合情推理常常能幫助我們猜測和發現結論;證明一個數學結論之前,合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向.3.合情推理的作用

由合情推理所獲得的結論,僅僅是一種猜想,未必可靠.說明:

與合情推理一樣，演繹推理也是日?；顒雍涂茖W研究中經常使用的一種推理形式。特別地，數學證明主要通過演繹推理來進行。

什么是演繹推理？它與合情推理有哪些不一樣？下面,我們共同學習---演繹推理2.1.2演繹推理

數學中,常以某些一般的判斷為前提,得出一些個別的、具體的判斷.(1)所有的金屬都能夠導電,鈾是金屬,所以鈾能夠導電;(2)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行,冥王星是太陽系的大行星,因此,冥王星以橢圓軌道饒太陽運行;1.

例題引入(3)在一個標準大氣壓下,水的沸點是100oC,所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100oC時,水會沸騰;三.演繹推理(4)一切奇數都不能被2整除,(2100+1)是奇數,所以(2100+1)不能被2整除;(5)三角函數都是周期函數,tanα是三角函數,因此tanα是周期函數;(6)兩條直線平行,同旁內角互補.如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內角,那么∠A+∠B=180o.以上推理有何特征?請問:一般到特殊

從一般性的原理出發,推出某個特殊情況下的結論,我們把這種推理稱為演繹推理.(又稱邏輯推理)簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理.2.演繹推理的定義

上面列舉的演繹推理的例子都有三段，又稱為“三段論”。(1)所有的金屬都能夠導電,鈾是金屬,所以鈾能夠導電;

第三段稱為“結論”,如“鈾能夠導電”,是所得的結論.下面以題(1)為例說明：

第一段稱為“大前提”,如“所有的金屬都能夠導電”,講的是一個一般的原理;

第二段稱為“小前提”,如“鈾是金屬”,指的是一種特殊情況;“三段論”是演繹推理的一般模式,包括:①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情況;③結論——根據一般原理,對特殊情況做出的判斷.思考:

你能再舉出一些用“三段論”推理的例子嗎?3.三段論(1).“三段論”的一般模式

(1)因為有一個內角是直角的三角形是直角三角形,

例6

如圖所示,在銳角三角形ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求證:AB的中點M到D,E的距離相等.證明:在?ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o,所以?ADB是直角三角形，同理,?AEB也是直角三角形.ABCE└D└M利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半相等證明分析:···大前提···小前提···結論(2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,

而M是Rt?ABD斜邊AB的中點,DM是斜邊上的中線,所以DM=AB/2同理,EM=AB/2.所以,DM=EM······大前提······小前提······結論ABCE└D└M(2).“三段論”的表示大前提:M是P.小前提:S是M.結論:S是P.

我們可以利用集合知識說明“三段論”:若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的一個子集，那么S中所有元素也都具有性質P.

(1)應用“三段論”解決問題時,首先應該明確什么是大前提和小前提.但為了敘述簡潔,如果大前提是顯然的,則可以省略.說明:(2)應用“三段論”進行推理的過程中,大前提、小前提或推理形式之一錯誤,都可能導致結論錯誤.例7.證明函數f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函數.分析:

證明本例所依據的大前提是:增函數的定義,即函數y=f(x)滿足:在給定區間內任取自變量的兩個值x1,x2,若x1<x2,則有f(x1)<f(x2).

小前提是:f(x)=-x2+2x,x(-∞,1]滿足增函數的定義,這是證明本例的關鍵.任取x1,x2∈(-∞,1],且x1<x2,證明:f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)=(x2-x1)(x2+x1-2)因為x1<x2,所以x2-x1>0;因為x1,x2≤1,x1≠x2,所以x1+x2-2<0.因此,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).f(x)=-x2+2x在(-∞,1]上是增函數.在演繹推理中,只要前提和推理形式是正確的,結論必定是正確的.于是,根據“三段論”，可知:注意:思考所以菱形是正多邊形

因大前提是錯誤的(因為所有邊長都相等,內角也相等的凸多邊形才是正多邊形),所以所得的結論是錯誤的.(1)上面的推理形式正確嗎?(2)推理的結論正確嗎?為什么?

因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形,······大前提而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形,······小前提······結論例:正確錯誤至此,我們學習了兩種推理方式:思考:合情推理與演繹推理有何區別?合情推理與演繹推理.從推理形式上看:四.合情推移與演繹推理的主要區別

合情推理的結論不一定正確,有待進一步證明;

演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下,得到的結論一定正確.演繹推理是由一般到特殊的推理歸納是由部分到整體、個別到一般的推理.類比是有特殊到特殊的推理;合情推理包括歸納和類比從推理所得的結論來看:

合情推理和演繹推理分別在這兩個環節中扮演著重要角色.人們在認識世界的過程中,往往:(1)需要通過觀察、實驗等獲取經驗;(2)需要辨別它們的真偽;(3)將積累的知識加工、整理,使之條理化、系統化.就數學而言:

因此,我們不僅要學會證明,也要學會猜想.演繹推理是證明數學結論、建立數學體系的重要思維過程;數學結論、證明思路等的發現,主要靠合情推理.1.

例題引入三.演繹推理演繹推理是由一般到特殊的推理.2.演繹推理的定義3.三段論(1).“三段論”的一般模式①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情況;③結論——根據一般原理,對特殊情況做出的判斷.小結(2).“三段論”的表示大前提:M是P.小前提:S是M.結論:S是P.

在應用“三段論”進行推理的過程中,大前提、小前提或推理形式之一錯誤,都可能導致結論錯誤.從推理形式上看:四.合情推移與演繹推理的主要區別

合情推理的結論不一定正確,有待進一步證明;