統計學總體分布參數估計第1頁，課件共66頁，創作于2023年2月

§4.1總體分布與樣本分布一、總體（母體）:反映總體特征的隨機變量的取值的全體。總體分布（母體分布）：反映總體特征的隨機變量的概率分布。從無限次隨機抽取（然后放回）的角度看，表征一個總體特征的變量（指標），都可以視為隨機變量。有限總體的概率分布，就是有限總體中不同個體的比率（頻率）分布。二、隨機樣本與樣本觀測值（樣本數據）1、隨機樣本表征n次抽取個體的隨機抽樣的一組隨機變量X1，X2，···，Xn。第2頁，課件共66頁，創作于2023年2月2、樣本觀測值n次隨機抽樣的結果：x1，x2，···，xn

（稱為隨機樣本X1，X2，···，Xn的樣本觀測值）。n稱為隨機樣本向量（X1，X2，···，Xn

）的維度，即自由度。3、樣本（累積）分布函數設樣本觀測值x1x2,···,

xn

ki為小于xi+1的樣本值出現的累積頻次,n為樣本容量,則可得樣本累積頻率分布函數如下:樣本累積頻率分布函數,又稱樣本(累積)分布函數.樣本(累積)分布函數Fn(x)是對總體的累積分布函數F(x)的近似,n越大,Fn(x)對F(x)的近似越好.第3頁，課件共66頁，創作于2023年2月樣本分布與總體分布格利文科(Glivenko)定理(樣本分布與總體分布的關系)定理:當樣本容量n趨于無窮大時,Fn(x)以概率1(關于x)均勻地收斂于F(x).該定理是運用樣本推斷總體的理論依據.定理的數學表達為:第4頁，課件共66頁，創作于2023年2月

隨機樣本的均值函數和方差函數都是一個隨機變量.樣本數據的樣本均值x是隨機變量X的觀測值；樣本數據的樣本方差s2

是隨機變量S2

的觀測值.隨機樣本的均值函數：隨機樣本的方差函數：三、統計量與統計量的分布統計量定義：統計量是不含未知參數的，隨機樣本X1，X2，···,

Xn的函數。第5頁，課件共66頁，創作于2023年2月統計量的值的定義:統計量的值是不含未知參數的,樣本觀測值x1，x2，···，xn的函數.四、由標準正態分布N（0，1）的隨機樣本所引出的幾個重要統計量分布：2、t與F分布1、2（n）分布的構成設隨機變量X服從N（0，1）分布，X1，X2，···,

Xn為X樣本，則

2=

X2i=X21+X22+···

X2n

服從自由度為n的2分布，記為2~2（n）。2（n）分布的均值E（2）=n，方差D（2）=2n。第6頁，課件共66頁，創作于2023年2月n=1n=4n=102（n）分布圖2（n）密度函數：其中，n為自由度。（n/2）為珈瑪函數，是一個含參數n/2的積分，為：第7頁，課件共66頁，創作于2023年2月2、t分布自由度為n的t分布，記為t（n），是由N（0，1）分布和2（n）分布組成的，其表達式為：其中，X服從N（0，1），Y服從2（n）分布，且X與Y相互獨立。密度函數為：第8頁，課件共66頁，創作于2023年2月t分布圖3、F分布F分布是由兩個2分布之比組成的：服從F（m，n）。其中，U服從2（m），V服從2（n）。第9頁，課件共66頁，創作于2023年2月m=100，n=20m=15，n=20重要性質：密度函數形式為：第10頁，課件共66頁，創作于2023年2月五、由一般正態分布的隨機樣本所構成的若干重要統計量的分布定理：若X1，X2，···,

Xn是正態總體N（，2）的一個隨機樣本，則樣本均值函數和樣本方差函數，滿足如下性質：（1）X服從N（，2/n）分布。(2)X與S2相互獨立。（3）

服從N（0，1）分布；（4）服從2（n-1）分布；第11頁，課件共66頁，創作于2023年2月（5）服從t（n-1）分布；（1）服從N（0，1）。（6）服從2（n）分布；定理：若X1，X2，···,

Xn1和Y1，Y2，···,Yn2分別是正態總體N（1，12）和N（2，22）的一個隨機樣本，且它們相互獨立，則滿足如下性質：第12頁，課件共66頁，創作于2023年2月（3）服從F（n1-1，n2-1）。其中，S12是容量為n1的X的樣本方差，S22是容量為n2的Y的樣本方差。（2）服從t（n1+n2-2），（1=2）。（4）服從F（n1，n2）。第13頁，課件共66頁，創作于2023年2月六、任意分布的隨機樣本均值函數的均值與方差設：隨機變量X服從任何均值為，標準差為的分布，X是隨機樣本X1，X2，···,

Xn的均值函數。記隨機變量X的分布函數的均值為X，標準差為X,則有如下結論成立：X=;(2)X=/n或2X=2/n注:一個應用廣泛的樣本均值函數的均值和方差:0-1分布的樣本均值函數均值和方差。反映總體中某類個體的比例的隨機變量X,可以簡單地用0-1分布B(1,p)表示.E(X)=p,D(X)=p(1-p).p是總體中某類個體的比例.由樣本X1，X2，···,

Xn產生均值函數X的均值X

=p,第14頁，課件共66頁，創作于2023年2月方差的均值也是總體中某類個體的比例p.所以,常用x來估計p.七、大樣本均值函數的分布：中心極限定理設：隨機變量X服從任何均值為，標準差為的分布，X是隨機樣本X1，X2，···,

Xn的均值函數。中心極限定理：當n充分大時，X近似地服從均值為，標準差為/n的正態分布。在實際問題中n多大？但一般n30。第15頁，課件共66頁，創作于2023年2月

對于一個學生而言,來參加家長會的家長人數是一個隨機變量.設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05、0.8、0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數相互獨立,且服從同一分布.(1)求參加會議的家長數X超過450的概率;(2)求有1名家長來參加會議的學生數不多于340的概率.解中心極限定理例題解析第16頁，課件共66頁，創作于2023年2月根據中心極限定理第17頁，課件共66頁，創作于2023年2月中心極限定理可得：第18頁，課件共66頁，創作于2023年2月對比總體參數和樣本統計量§4.2點估計在實際問題中，人們常常判斷總體分布的參數，這就需要用樣本來推斷總體分布的這些參數，這就是參數估計。參數估計分為：點估計和區間估計兩種方法。1、點估計概念設是總體分布中一個需要估計的參數，現從總體中抽取一個隨機樣本X1，X2，···,

Xn，記估計的統計量為

則稱為的估計量。第19頁，課件共66頁，創作于2023年2月若得到一組樣本觀測值x1，x2，···，xn，就可得出的估計值，記：。注：在選取樣本統計量作為點估計時，必須考慮到“無偏差性”，這一點很重要。如果樣本統計量的期望值（或均值）與打算估計的總體參數值相同，則估計值不存在偏差。總體分布參數的點估計，就是求出的估計值。第20頁，課件共66頁，創作于2023年2月對比總體參數和樣本統計量

點估計

–第21頁，課件共66頁，創作于2023年2月2、矩法估計就是用樣本矩來估計總體矩。矩的一般形式：

E（Xk）表示k階原點矩（以原點為中心）；

E（X-）k表示k階中心矩（以為中心）；3、極大似然估計法設：總體X的（累積）概率分布函數為F（x,）,概率密度函數f(x,),其中為未知參數(也可以表示未知參數向量).若X為離散型隨機變量,則由離散型與連續型的對應關系,f(x,)對應于離散情況下的概率P(X=x).第22頁，課件共66頁，創作于2023年2月X為連續型隨機變量時,X的隨機樣本X1，X2，···,

Xn的聯合概率密度函數為

稱為的極大似然估計函數.當X為離散隨機變量時,L表示概率:L關于的極大值如果存在,極大值就是的極大似然估計值.其含義是:一組觀測值x1，x2，···，xn在一次實驗中出現了,其聯合概率就應當是最大的,所以選擇使聯合密度L最大的那個

.第23頁，課件共66頁，創作于2023年2月例:設x1，x2，···,xn是正態總體N（，2）的一個樣本觀測值，求與2的極大似然估計值.解:極大似然函數為取對數,分別對與2求偏導,并令偏導為0,可求出與2的極大似然估計值如下:如果將上述xi換成Xi,上式成為極大似然估計量.第24頁，課件共66頁，創作于2023年2月例:設X服從區間[a,b]上的均勻分布，a、b是求知參數，（x1，x2，···,xn）是來自總體X的樣本，求a、b的矩估計量解:X的密度函數第25頁，課件共66頁，創作于2023年2月第26頁，課件共66頁，創作于2023年2月§4.3判別點估計的優劣標準1、無偏估計量如果，則稱為的無偏估計量。2、最小方差性若總體參數為，的估計量的方差Var（）小于等于其他所有對的估計量的方差，即則稱的估計量具有最小方差性。3、有效估計量如果一個估計量滿足（1）無偏性；（2）最小方差性。第27頁，課件共66頁，創作于2023年2月那么，該估計量為有效估計量。4、漸近無偏估計量如果：，（n為樣本容量）則稱為漸近無偏估計量。5、一致估計量如果滿足：則稱為的一致估計量。一致估計量的另一等價定義：（1）漸進無偏的；（2）第28頁，課件共66頁，創作于2023年2月9、漸進有效性如果一個估計量滿足：（1）是一致估計量；（2）比其它的估計量更小的漸進方差。注：在實踐中廣泛應用的準則：（1）小樣本準則a、無偏性；b、有效性。（2）大樣本準則一致估計量。漸進方差定義：第29頁，課件共66頁，創作于2023年2月例:設（x1，x2，···,xn）是來自具有有限數學期望的任一總體X的一個樣本，記E（X）=a,證明：是a的無偏估計。第30頁，課件共66頁，創作于2023年2月第31頁，課件共66頁，創作于2023年2月§4.4區間估計1、置信區間若總體分布含有一個未知參數，找出了2個依賴于樣本X1，X2，···,

Xn的估計量：使其中，01，一般取0.05或0.01,則稱隨機區間為的100(1-)%的置信區間.百分數100(1-)%稱為置信度.2、總體均值的置信區間（總體方差已知）設：總體X服從已知N（，2），2已知，抽取n個觀第32頁，課件共66頁，創作于2023年2月測值x1，x2，···，xn，求總體均值的100(1-)%（如=95%）的置信區間。首先構造：因為X服從N（，2/n）分布，所以Z服從N（0，1）分布。由：得置信區間：第33頁，課件共66頁，創作于2023年2月Z/2Z1-/21-/2/2例：設：總體X服從已知N（,0.09），抽取4個觀測值x1,x2,x3,x4，求總體均值的95%的置信區間。解:由已知:1-=0.95,=0.3,n=4根據:第34頁，課件共66頁，創作于2023年2月得到:查表得z0.025=1.96,于是置信區間為(X-0.294,X+0.294),置信度為95%.也就是說:總體均值以95%的概率在該區間內.第35頁，課件共66頁，創作于2023年2月3、總體均值的置信區間（總體方差未知）設：總體X服從已知N（，2），2未知，抽取n個觀測值x1，x2，···，xn，求總體均值的100(1-)%=95%的置信區間。首先構造：可得置信區間：第36頁，課件共66頁，創作于2023年2月由：將n個觀測值x1，x2，···，xn代入上式得到置信區間。4、總體方差的置信區間（未知總體均值）設：總體X服從已知N（，2），未知，抽取n個觀測值x1，x2，···，xn，求總體方差2的100(1-)%=95%的置信區間。首先構造：第37頁，課件共66頁，創作于2023年2月得到置信區間：由：將n個觀測值x1，x2，···，xn代入上式得到置信區間。5、總體比例的置信區間Letpdenotetheobservedproportionof“successes”inarandomsampleofnobservationsfromapopulationwithaproportionofsuccesses.Then,ifnislargeenoughthat(n)()(1-)>9,thena100(1-)%confidenceintervalforthepopulationproportionisgivenby第38頁，課件共66頁，創作于2023年2月orequivalently,wherethemarginoferror,thesamplingerror,orbound,B,isgivenbyandZ/2,isthenumberforwhichastandardnormalvariableZsatisfies第39頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體方差的區間估計

(例題分析)【例】一家食品生產企業以生產袋裝食品為主，現從某天生產的一批食品中隨機抽取了25袋，測得每袋重量如下表7所示。已知產品重量的分布服從正態分布。以95%的置信水平建立該種食品重量方差的置信區間25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3第40頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體方差的區間估計

(例題分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根據樣本數據計算得s2=93.21

2置信度為95%的置信區間為該企業生產的食品總體重量標準差的的置信區間為7.54克~13.43克第41頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的區間估計

(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態分布，現從一批燈泡中隨機抽取16只，測得其使用壽命(小時)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區間16燈泡使用壽命的數據1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470第42頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的區間估計

(例題分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根據樣本數據計算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區間為該種燈泡平均使用壽命的置信區間為1476.8小時～1503.2小時第43頁，課件共66頁，創作于2023年2月對比總體參數和樣本統計量區間估計–總體參數值很可能落在區間估計所包括的數值范圍內;使我們知道被估計值可能產生多大的誤差邊際;給出估計的信賴程度（或置信度）。第44頁，課件共66頁，創作于2023年2月對比總體參數和樣本統計量定義與區間估計相聯系的信賴程度，常常用(1–)100%來表示。置信水平

置信區間

指某一指定置信水平下的區間估計，該區間包括了總體參數的真值。置信水平高

置信區間就寬

第45頁，課件共66頁，創作于2023年2月對比總體參數和樣本統計量置信區間就寬

樣本統計量(點估計)置信界限(下限)置信界限(上限)第46頁，課件共66頁，創作于2023年2月對比總體參數和樣本統計量x

/2區間的較大數值在100(1-)%水平下，區間包含;在100%水平下，區間不包含;=

1-/2x_x__第47頁，課件共66頁，創作于2023年2月對比總體參數和樣本統計量解釋95%的置信區間表達了什么含義95%的置信水平意味著：如果從總體中隨機抽取容量為n的所有可能樣本，并相應計算這些樣本的置信區間，則在計算之后有95%的區間將包括總體參數的真值。第48頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間--已知(1)無論樣本容量為多少，原有總體服從正態分布;或者(2)原有總體不服從正態分布，但樣本容量n

30。

服從均值=、標準差為的正態分布而且第49頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間--已知(1–)100%水平下的置信區間即,因此,第50頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間--已知舉例:根據以前獲得的經驗，我們知道某臺機器在生產訓練用的鋼管時，其直徑的標準差為0.135厘米。如果從中抽取30根管子作為一個簡單隨機樣本，則這些管子的平均直徑為3.6厘米。請問在95%的置信水平下，這些管子的平均直徑的置信區間是多少？

n=30,=0.135cm,=3.6cm根據中心極限定理，近似服從正態分布第51頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間--已知在95%水平下的置信區間是而且=3.61.960.02465=(3.55,3.65)在95%的置信水平下，由這臺機器生產的訓練用管子，其平均直徑應當在3.55厘米至3.65厘米范圍之內。第52頁，課件共66頁，創作于2023年2月如果總體的未知，則的抽樣分布服從自由度為n–1的t分布，即如果樣本容量足夠大，我們可以用正態分布而不是t分布。總體均值的置信區間–未知第53頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間–未知如果是大樣本(n

30)，則在(1–)100%水平下，的置信區間是如果是小樣本(n<30)并且原有總體近似服從正態分布，則在(1–)100%水平下，的置信區間是第54頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間–未知一家郵購公司在圣誕節前的一周內會接聽大量的訂購電話。過去經驗表明，由于工作人員每天可能要接聽幾千個電話，因此為了及時處理打入的電話數量，有必要增加銷售人員人數。為此，這家公司記錄了75%的員工在每8小時之內接聽電話的數量，結果發現他們平均要接聽89.6個電話，而且標準差為17.32。請問在90%的置信水平下，被接聽電話的平均數量的置信區間是多少？

舉例:第55頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間–未知s=17.32, n=75(大樣本)的抽樣分布近似服從以下參數的正態分布在90%水平下，的置信區間而且=89.61.6452=(86.31,92.89)第56頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間–未知舉例:一家會計公司想要設立一項時間標準，以便其工作人員能及時完成某類審計工作。它抽取了18名初級審計員作為一個樣本并記錄了他們的審計時間，結果發現這些人員的平均審計時間為3.2個小時，標準差為1.6個小時。請問在95%的置信水平下，當完成某類審計工作時其平均審計時間的置信區間是多少？第57頁，課件共66頁，創作于2023年2月總體均值的置信區間–未知s=1.6, n=18(小樣本)的抽樣分布服從自由度為17的t分布