如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！余項(xiàng)及其應(yīng)用 如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿.但一般高數(shù)教材中僅介紹了如何用泰勒公式展開函數(shù)，而對(duì)泰勒公式的應(yīng)用方法并未深入討論，在教學(xué)過程中學(xué)生常因?qū)W用脫離而難.種類型的泰勒公式在求極限、估計(jì)無窮小(大)量的階、命題證明、定積分計(jì)算、近似計(jì)算中重要作用.如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！泰勒公式的知識(shí)可用于解決很多問題，它是研究代數(shù)、幾何等問題的重要工具.同時(shí)泰勒公式在定積分的計(jì)算、求近似值、求極限、判斷斂散性、估計(jì)無窮(小)大的泰勒公式在求近似值中的應(yīng)用.再如文[2]中帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式在判別極值方面的應(yīng)用等等.從大量的應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)很多問題用泰勒公式去解決很容易，也很簡(jiǎn)單，同時(shí)靈活巧妙的應(yīng)用泰勒公式卻不容易.當(dāng)然，不同余項(xiàng)的泰勒公式之間是可以轉(zhuǎn)換的，但是不同的余項(xiàng)在解決不同的類型的問題時(shí)都有各自的優(yōu)點(diǎn).定理[1]設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù)，則有0f(x)=f(x)+f(x)(x一x)+f(x)(x一x)2+...L+fn(x)0(x一x)n+o(x一x)n，002!0n!00注該定理說明當(dāng)xx時(shí)用泰勒多項(xiàng)式P(x)近似取代f(x)時(shí)，其誤差R(x)是0nn比(xx)n高階的無窮小.0xx如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！例1求limx2cosx-e-2x)0x4分析此題分母為x4，如果用洛比達(dá)法則，需連用4次，比較麻煩.而用帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式解求較簡(jiǎn)單.解cosx=1-1x2+1x4+o(x4)，(x)0)解2!4!22x)0x412帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個(gè)非常有力的工具,運(yùn)用得當(dāng)會(huì)使求函數(shù)的極限變得十分簡(jiǎn)單.周知，要使用比較判別法判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)xwu是否收斂，只要能找到一個(gè)相nnnnpx)wvnnnnnnnnnnnnn=1n=1||||1n1n=--||||1n1n=--如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！解由泰勒展開式得n11n11nn(1n(1)4|11(1)11(1)n3n3x)wax)w16n=1n=1n2n2n3nnnn=1n=1n2n=1n=12.2.3估計(jì)無窮(小)大量的階如何估計(jì)無窮(小)大量的階，對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)可以用估猜法，但對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)解因?yàn)?624如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！從例題可以看出用帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式可以很好的解決較為復(fù)雜的估計(jì)無窮(小)大量的階0如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！.證明與高階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的命題，同時(shí)又不需要討論其余項(xiàng)時(shí)，帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式是一種極為有效的工具.n!n!f(n+1)(x)才0，則lim9=1h)0n+1.定理[2]設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上有n-1階連續(xù)函數(shù)，Va，x=I，則有n!0n!0nn!0nn!0帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在解決一些復(fù)雜的定積分計(jì)算中能夠簡(jiǎn)單、巧妙的的將問題解決.jexxndx(n=N+)如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！0n!m!定理[3]設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間I上有直到n階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間I0內(nèi)有n+1階n!(n+1)!，n!(n+1)!，.拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式的應(yīng)用時(shí),即只能求出其近似值,這時(shí)泰勒公式是解決這種問題的最好方法.如不慎侵犯了你的權(quán)益，請(qǐng)聯(lián)系我們告知！ne1.3956.32!323!334!3423(1)n1xnR(x)，nnn其中R(x)(1)nxn1(在0與x之間).n(n1)(1)n1|R(x)|(0.2)n1(0.2)n10.0001(00.2)n(n1)(1)n1.則取n5即可.5泰勒公式的余項(xiàng)及其應(yīng)用的研究探討是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的課題，研究這個(gè)課題的學(xué)者很多，我從他們的文獻(xiàn)中獲益匪淺，他們的研究使我學(xué)習(xí)了解了很多關(guān)于泰勒公式的知識(shí)，使我能更好的完成這篇論文.本文主要介紹了帶積分型、拉格朗日型、皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式，并給出了它在計(jì)算定積分、求極限、估計(jì)無窮(小)大量的階、近似計(jì)算、命題證明中的應(yīng)用.領(lǐng)域中去，介紹泰勒公式在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用和解求