第二篇重點專題分層練，中高檔題得高分第12練數(shù)列的綜合問題[中檔大題標(biāo)準(zhǔn)練]第二篇重點專題分層練，中高檔題得高分第12練數(shù)列的綜合問明晰考情1.命題角度：考察等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明；以an，Sn的關(guān)系為切入點，考察數(shù)列的通項、前n項和等；數(shù)列和函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用；一般位于解答題的17題位置.2.題目難度：中等偏下難度.明晰考情核心考點突破練欄目索引模板答題標(biāo)準(zhǔn)練核心考點突破練欄目索引模板答題標(biāo)準(zhǔn)練考點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法核心考點突破練(2)中項公式法.(3)通項公式法.考點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧判斷等差(比1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù).(1)證明：an＋2－an＝λ；證明由題設(shè)知，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.證明1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，ana(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.解由題設(shè)知，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得數(shù)列{a2n－1}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；數(shù)列{a2n}是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列.解答(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由.解由2.數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，n∈N*.解把an＝2nbn代入到an＋1＝2an＋2n＋1，得2n＋1bn＋1＝2n＋1bn＋2n＋1，兩邊同除以2n＋1，得bn＋1＝bn＋1，即bn＋1－bn＝1，∴bn＝n(n∈N*).解答2.數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＋1＝2an＋2n＋1，(2)在(1)的條件下，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.∴Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，∴2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，兩式相減，得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)×2n＋1＋2(n∈N*).解答(2)在(1)的條件下，求數(shù)列{an}的前n項和Sn.∴Sn3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且首項a1≠3，an＋1＝Sn＋3n(n∈N*).(1)求證：{Sn－3n}是等比數(shù)列；證明∵an＋1＝Sn＋3n，∴Sn＋1＝2Sn＋3n，∴Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n).∵a1≠3，∴數(shù)列{Sn－3n}是首項為a1－3，公比為2的等比數(shù)列.證明3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且首項a1≠3，an＋1解答(2)假設(shè){an}為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍.解由(1)得，Sn－3n＝(a1－3)×2n－1.∴Sn＝(a1－3)×2n－1＋3n.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1.∵{an}為遞增數(shù)列，∴當(dāng)n≥2時，(a1－3)×2n－1＋2×3n>(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∴a1>－9.∵a2＝a1＋3>a1，∴a1的取值范圍是(－9，＋∞).解答(2)假設(shè){an}為遞增數(shù)列，求a1的取值范圍.解由(考點二數(shù)列的通項與求和方法技巧

(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項的常用方法①累加(乘)法形如an＋1＝an＋f(n)的數(shù)列，可用累加法；考點二數(shù)列的通項與求和方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求②構(gòu)造數(shù)列法(2)數(shù)列求和的常用方法①倒序相加法；②分組求和法；③錯位相減法；④裂項相消法.②構(gòu)造數(shù)列法(2)數(shù)列求和的常用方法4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＝2Sn＋1(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解當(dāng)n＝1時，a1＝2S1＋1＝2a1＋1，解得a1＝－1.當(dāng)n≥2時，由an＝2Sn＋1，得an－1＝2Sn－1＋1，兩式相減得an－an－1＝2an，化簡得an＝－an－1，所以數(shù)列{an}是首項為－1，公比為－1的等比數(shù)列，那么可得an＝(－1)n.解答4.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＝2Sn＋1(n(2)假設(shè)bn＝(2n－1)·an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解由(1)得bn＝(2n－1)·(－1)n，當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－(2n－3)＋(2n－1)＝2×＝n，當(dāng)n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)，Tn＝Tn＋1－bn＋1＝(n＋1)－(2n＋1)＝－n.所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝(－1)n·n.解答(2)假設(shè)bn＝(2n－1)·an，求數(shù)列{bn}的前n項和(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；解答(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；解答(通用版)2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二篇第12練數(shù)列的綜合問題課件文解答(2)設(shè)Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1，求Sn.所以Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1解答(2)設(shè)Sn＝a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan6.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解由，當(dāng)n≥2時，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.所以an＝22n－1，而a1＝2，也滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝22n－1.解答6.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－解答(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解由bn＝nan＝n·22n－1知，Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，

①22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1，

②①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，解答(2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解考點三數(shù)列的綜合問題方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象進(jìn)展轉(zhuǎn)化，得出數(shù)列的通項或遞推關(guān)系.(2)數(shù)列是特殊的函數(shù)，解題時要充分利用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問題，如數(shù)列中的最值問題.(3)解決數(shù)列與不等式綜合問題的常用方法有比較法(作差法、作商法)、放縮法等.考點三數(shù)列的綜合問題方法技巧(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題7.f(x)＝2sinx，集合M＝{x||f(x)|＝2，x＞0}，把M中的元素從小到大依次排成一列，得到數(shù)列{an}，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答解

因為|f(x)|＝2，又因為x>0，所以an＝2n－1(n∈N*).7.f(x)＝2sinx，集合M＝{x||f(x)|＝證明證明由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.當(dāng)q＝1時，不滿足②式，舍去；當(dāng)q＝2時，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.故所求數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n(n∈N*).8.等比數(shù)列{an}滿足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中項.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意，解答由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.8.等比數(shù)列{即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10(舍).因為n∈N*，所以使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整數(shù)n的最小值為10.解答(2)假設(shè)bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值.所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10(舍).解答(29.數(shù)列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*).(1)寫出a2，a3的值(只寫出結(jié)果)，并求出數(shù)列{an}的通項公式；解a2＝6，a3＝12，當(dāng)n≥2時，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2×2＋2×3＋…＋2n＝2(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1).因為當(dāng)n＝1時，a1＝2也滿足上式，所以an＝n(n＋1).解答9.數(shù)列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥解答解答所以bn＋1<bn，那么數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，所以bn＋1<bn，那么數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列，解得t<0或t>2，所以實數(shù)t的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞).解得t<0或t>2，模板答題標(biāo)準(zhǔn)練模板體驗典例(12分)單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足：a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中項.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)假設(shè)bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n×2n＋1＞30成立的正整數(shù)n的最小值.模板答題標(biāo)準(zhǔn)練模板體驗典例(12分)單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a審題路線圖審題路線圖標(biāo)準(zhǔn)解答·評分標(biāo)準(zhǔn)解(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q.由題意知2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，可得a3＝8，所以a2＋a4＝20，又?jǐn)?shù)列{an}單調(diào)遞增，所以q＝2，a1＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n.

5分標(biāo)準(zhǔn)解答·評分標(biāo)準(zhǔn)又?jǐn)?shù)列{an}單調(diào)遞增，所以q＝2，a1＝(2)因為bn＝

＝－n×2n，

6分所以Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n×2n)，2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1]，兩式相減，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1.

8分又Sn＋n×2n＋1＞30，可得2n＋1－2＞30，即2n＋1＞32＝25，

10分所以n＋1＞5，即n＞4.所以使Sn＋n×2n＋1＞30成立的正整數(shù)n的最小值為5. 12分(2)因為bn＝構(gòu)建答題模板[第一步]

求通項：根據(jù)題目條件，列方程(組)求解，得到數(shù)列的通項公式.[第二步]

巧求和：根據(jù)數(shù)列的類型，選擇適當(dāng)方法求和或經(jīng)適當(dāng)放縮后求和.[第三步]

得結(jié)論：利用不等式或函數(shù)性質(zhì)求證不等式或解決一些最值問題.構(gòu)建答題模板1.(2021·全國Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項公式；標(biāo)準(zhǔn)演練解設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*).解答1.(2021·全國Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝(2)記Sn為{an}的前n項和，假設(shè)Sm＝63，求m.解答由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解.假設(shè)an＝2n－1，那么Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.(2)記Sn為{an}的前n項和，假設(shè)Sm＝63，求m.解答∴b2＝2，∴d＝1，∴bn＝1＋(n－1)·1＝n.2.(2021·上饒模擬)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝1－，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且a2(b2＋2)＝1，a1b1＝(1)分別求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；解答∴b2＝2，∴d＝1，∴bn＝1＋(n－1)·1＝n.2.((2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.解答(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.解答3.等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數(shù)列的第2項、第3項、第4項.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答解由題意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，d>0，∴d＝2.∴an＝2n－1(n∈N*).3.等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第解答解答(通用版)2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二篇第12練數(shù)列的綜合問題課件文