第三章扭轉材料力學第三章扭轉§3-1扭轉的概念和實例§3-2扭轉內力的計算§3-3薄壁圓筒的扭轉

§3-4圓軸扭轉的應力分析及強度條件§3-5圓桿在扭轉時的變形·剛度條件

§3-1扭轉的概念及實例扭轉變形是材料的基本變形形式之一。一、工程實例1：攻絲絲錐

D力偶矩(momentofcouple)實例2：鉆床的鉆桿實例3：汽車轉向器實例4對稱扳手擰緊螺帽MeMe

二、受力特點桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶.三、變形特點桿件的任意兩個橫截面都發生繞軸線的相對轉動.§3-2扭轉的內力的計算從動輪主動輪從動輪一、外力偶矩的計算(已知功率和轉速)Me—作用在軸上的力偶矩(N·m)P—軸傳遞的功率(kW)n—軸的轉速(r/min)nMe2Me1Me3Me在n–n截面處假想將軸截開取左側為研究對象二、內力的計算1、求內力--截面法TMeMeMex??nnMeMe?xTMe?xT采用右手螺旋法則,當力偶矩矢的指向背離截面時扭矩為正，反之為負.2、扭矩符號的規定3、扭矩圖用平行于桿軸線的坐標x表示橫截面的位置；用垂直于桿軸線的坐標T表示橫截面上的扭矩，正的扭矩畫在x軸上方，負的扭矩畫在x軸下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例題一傳動軸如圖所示，其轉速n=300r/min，主動輪A輸入的功率為P1=500kW.若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW.試做扭矩圖.解:計算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n計算CA段內任橫一截面2-2截面上的扭矩.假設T

2為正值.結果為負號，說明T

2應是負值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222同理，在BC段內BCxMe2Me3T2Me4Me2xABCD同理，在BC段內在AD段內1133注意：若假設扭矩為正值，則扭矩的實際符號與計算符號相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩圖4780N·m9560N·m6370N·m+_從圖可見，最大扭矩在CA段內.§3-3薄壁圓筒的扭轉1.實驗前1）畫縱向線，圓周線；2）施加一對外力偶.一、應力分析薄壁圓筒：壁厚（r—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.實驗后①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉動；②各縱向線均傾斜了同一微小角度

；3、推論周線和縱向線沒有伸長橫截面上無正應力，只有切應力；切應力方向垂直半徑或與圓周相切.dxδ圓周各點處切應力的方向與圓周相切，且數值相等，近似的認為沿壁厚方向各點處切應力的數值無變化.MeMeABDC③所有矩形網格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.此式為薄壁筒扭轉時橫截面上切應力的計算公式.4、推導公式薄壁筒扭轉時橫截面上的切應力均勻分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉向一致.Tττxdyδdxyz二、切應力互等定理

ττ1、在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應力，其方向于y軸平行.可知，兩側面的內力元素

δdy

大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程其矩為(δ

dy)dxMeMexydyδzdxττ2、要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩數量相等而轉向相反，從而可得(

δdy)dx3、切應力互等定理單元體兩個相互垂直平面上的切應力同時存在，且大小相等，都指相（或背離）該兩平面的交線.純剪切單元體：單元體平面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切單元體.xydyδzdxττMeMel式中，r為薄壁圓筒的平均半徑.三、剪切胡克定律由圖所示的幾何關系得到圖中：γ為縱向線變形后的傾角

φ為圓筒兩端面的相對扭轉角

l為圓筒的長度彈性模量E，剪切彈性模量G與泊松比μ的關系TO從T與之間的線性關系，可推出與

間的線性關系.該式稱為材料的剪切胡克定律.G–剪切彈性模量O薄壁圓筒的扭轉試驗發現，當外力偶Me在某一范圍內時，轉角φ與Me（在數值上等于T）成正比.思考題：指出下面圖形的切應變2切應變為切應變為0變形幾何關系物理關系靜力關系

觀察變形提出假設變形的分布規律應力的分布規律建立公式§3-4圓桿扭轉的應力分析·強度條件1、變形現象1)軸向線仍為直線，且長度不變；2)橫截面仍為平面且與軸線垂直；一、變形幾何關系（圓桿半徑為R）3)縱向線保持為直線，只是繞軸線旋轉.2、平面假設變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面.結論：圓軸扭轉時，軸向和周向均無正應變，即不產生正應力。橫截面上的點，在垂直于半徑的方向上，存在剪切應力。圓軸受純扭轉外載荷時，處于純剪切狀態。3、幾何關系

微體的截取方法：兩橫截面相距dx，兩徑向縱截面夾角無限小。MMMM單位長度扭轉角，是常數同一圓周上各點剪應力

均相同，且其值與成正比，

與半徑垂直.二、物理關系由剪切胡克定律

距離軸線越遠，切應力越大。實心圓軸扭轉切應力分布空心圓軸扭轉切應力分布TTrOdAdAρρT三、靜力關系

1、公式的建立結論ρρ代入物理關系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應力的點到圓心的距離IP—為橫截面對圓心的極慣性矩Wt

稱作抗扭截面系數，單位為mm3或m3.2、的計算rOTdAdAρρρmax極慣性矩的計算方法參閱附錄1.2（1）實心圓截面dO3、極慣性矩和抗扭截面系數的計算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面其中例題2圖示空心圓軸外徑D=100mm，內徑d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切彈性模量G=80GPa.(1)畫軸的扭矩圖；(2)求軸的最大切應力，并指出其位置.M1M2ABCll（1）畫軸的扭矩圖M1M2ABCllBC段1M2CT1T1+M2=02M2CM1BT2T2+M2-M1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩發生在BC段Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求軸的最大切應力，并指出其位置max最大切應力發生在截面的周邊上，且垂直于半徑.M1M2ABCllmax1、數學表達式四、強度條件2、強度條件的應用強度校核設計截面確定許可核載荷ABC解：作軸的扭矩圖MAMBMC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強度例題3圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm，BC段的直徑

d2=100mm.扭轉力偶矩為MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m.已知材料的許用切應力[]=80MPa，試校核該軸的強度.因此，該軸滿足強度要求.例題4實心圓軸１和空心圓軸２（圖a、b）材料、扭轉力偶矩m和長度l均相等，最大切應力也相等.若空心圓軸的內外徑之比為

=0.8，試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)分析：設實心圓截面直徑為d1，空心圓截面的內、外徑分別為d2、D2;又扭轉力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設為T.已知：dd2D2因此解得兩軸材料、長度均相同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面面積之比，在最大切應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節省材料.減速器的高速軸較細,而低速軸較粗。為什么？1、圓軸扭轉時的變形是用相對扭轉角來度量的

§3-5桿在扭轉時的變形·剛度條件一、扭轉變形其中d

代表相距為dx的兩橫截面間的相對扭轉角.長為l的一段桿兩端面間的相對扭轉角

可按下式計算[]稱作許可單位長度扭轉角3、剛度條件2、單位長度扭轉角—扭轉角GIP稱作抗扭剛度

當軸截面參數和材料參數確定時：例題5圖示等直桿，已知直徑d=40mm，a=400mm，材料的剪切彈性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應力；（2）扭轉角CA.aa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：畫扭矩圖計算外力偶矩MDB=CB+DC=1°Tmax=3Me（1）AD桿的最大切應力（2）扭轉角CAaa2aM2M3MABCD+M2M3M例題6某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉矩M=1.98kN·m,材料的許用剪應力

[]=100MPa，剪變模量為G=80GPa，軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強度和剛度.DdtMM解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉矩軸的內，外徑之比由強度條件

由剛度條件DdtMM將空心軸改為同一材料的實心軸，仍使max=96.1MPad=47.2mm實心軸的直徑為兩軸材料、長度均相同，故兩軸重量比等于兩軸的橫截面積比，

在最大切應力相等的情況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節省材料.其截面面積為空心軸的截面面積為在剛度相同的情況下，采用實心圓桿是否可以滿足強度要求？討論DdtMM例題7兩端固定的圓截面桿AB，在截面C處受一個扭轉力偶矩M的作用，如圖所示。已知桿的抗扭剛度

GIP，試求桿兩端的支反力偶矩.CMabABl解：去掉約束，代之以支反力偶矩這是一次超靜定問題，須建立一個補充方程.ACBMMAMBC截面相對于兩固定端A和B的相對扭轉角相等.桿的變形相容條件是CMabABlCMabABl（1）變形幾何方程（2）由物理關系建立補充方程解得ACBMMAMB?AC=BC例題8圖示一長為l的組合桿，由不同材料的實心圓截面桿和空心圓截面桿組成，內外兩桿均在線彈性范圍內工作，其抗扭剛度GaIPa、GbIPb.當此組合桿的兩端各自固定在剛性板上，并在剛性板處受一對矩為M的扭轉力偶的作用試求分別作用于內、外桿上的扭轉偶矩.MMlAB解：列平衡方程這是一次超靜定問題.變形相容條件是，內、外桿的扭轉變形應相同.變形幾何方程是物理關系是MMM