第2講概

率專題七 概率與統計高考真題體驗熱點分類突破高考押題精練欄目索引高考真題體驗1

2

3

41.(2015·廣東)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球.從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為(B

)A.

5

B.21

2110

11C.21

D.115解析

從袋中任取

2

個球共有

C2

＝105

種取法，10

5其中恰好1

個白球1

個紅球共有C1

C1＝50

種取法，所以所取的球恰好1

個白球1

個紅球的概率為50

＝10105

21.1

2

3

42.(2015·課標全國Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為()A.0.648

B.0.432

C.0.36

D.0.312解析

3次投籃投中2次的概率為3P(k＝2)＝C2×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，1

2

3

4所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)3＝C2×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A.答案

A1

2

3

43.(2015·湖北)在區間[0,1]上隨機取兩個數x，y，記p1

為事件2“x＋y≥2”的概率，p

為事件“|x－y|1

13≤2”的概率，p

為事1件“xy≤

”的概率，則(

)2A.p1<p2<p3C.p3<p1<p2B.p2<p3<p1D.p3<p2<p11

2

3

4解析

如圖，滿足條件的x，y

構成的點(x，y)在21正方形OBCA

及其邊界上.事件“x＋y≥”對應1的圖形為圖①所示的陰影部分；事件“|x－y|≤2”對應的圖形為圖②所示的陰影部分；1

2

3

41事件“xy≤2”對應的圖形為圖③所示的陰影部分.對三者的面積進行比較，可得p2<p3<p1.答案

B1

2

3

44.(2015·浙江)已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機抽取i(i＝1,2)個球放入甲盒中.放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數記為ξi(i＝1,2)；放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1,2).則(

)A.p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)C.p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)B.p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)1

2

3

4解析

隨機變量ξ1，ξ2的分布列如下：ξ112Pnm＋nmm＋nξ2123PC2nC2m＋nC1

C1m

nC2m＋nC2mC2m＋n1

2

3

41所以E(ξ

)＝n＋

2m

＝2m＋nm＋n

m＋n m＋n

，E(ξ2)＝C2n2Cm＋n＋C2m＋n2C1

C1

3C2Cm＋nm

n＋

2

m

＝3m＋nm＋n，所以E(ξ1)<E(ξ2).1因為p

＝m＋n·2m＋n

m＋n

2(m＋n)1＝

2m＋n

，1

2

3

4p2＝C2m2Cm＋n＋mC2m＋nC1

C1

23n·

＋C2n2Cm＋1n

3·

＝3m＋n3(m＋n)，p1－p2＝n6(m＋n)>0，所以p1>p2.答案

A考情考向分析以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型及相互獨立事件的概率；二項分布、正態分布的應用是考查的熱點；以解答題形式考查離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題目.熱點分類突破熱點一

古典概型和幾何概型1.古典概型的概率mP(A)＝

n

＝A中所含的基本事件數基本事件總數.2.幾何概型的概率構成事件A的區域長度(面積或體積)P(A)＝試驗的全部結果所構成的區域長度(面積或體積.)例1

(1)(2015·江蘇)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其

中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為.6解析

這兩只球顏色相同的概率為1，故兩只球顏色不同的概率為1－1＝56

6.56(2)(2015·福建)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數f(x)＝x2，若在矩形ABCD內隨機取12

2S＝?

(4－x

)dx＝34x－

x3

211

53|

＝

，∴所求概率P＝SS矩形ABCD＝531×412＝

5

.5一點，則此點取自陰影部分的概率等于

12

.解析

由題意知，陰影部分的面積思維升華解答有關古典概型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，這常用到計數原理與排列、組合的相關知識.在求基本事件的個數時，要準確理解基本事件的構成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件個數的求法與基

本事件總數的求法的一致性.當構成試驗的結果的區域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解.跟蹤演練1

(1)(2014·廣東)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是6的概率為.解析

從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個不同的數，10基本事件總數共有C7

＝120(個)，記事件“七個數的中位數為6”為事件A，6

3則事件A

包含的基本事件的個數為C3C3＝20，故所求概率P(A)＝

20

＝1120

6.16x2(2)在區間[1,5]和[2,4]分別取一個數，記為a，b，則方程a2－y2b2＝1

表示離心率大于5的雙曲線的概率為

.解析

由題意，a2＋b2ab>

5，整理得a>2，即b>2a，從區間[1,5]和[2,4]分別取一個數，記為a，b，則對應的點(a，b)在矩形ABCD內部(含邊界)，作直線b＝2a，矩形ABCD內部滿足b>2a的點在△ABM內部(不含線段AM)，則所求概率為P＝SABCDS△ABM＝21×2×12×4＝18.答案18熱點二

相互獨立事件和獨立重復試驗1.條件概率在A發生的條件下B發生的概率：P(B|A)＝P(AB)P(A).2.相互獨立事件同時發生的概率P(AB)＝P(A)P(B).3.獨立重復試驗、二項分布如果事件A在一次試驗中發生的概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率為nPn(k)＝Ckpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.一般地，在n

次獨立重復試驗中，用X

表示事件A

發生的次數，設每次試驗中事件A

發生的概率為p，則P(X＝k)＝nCkpkqn－k，其中0<p<1，p＋q＝1，k＝0,1,2，…，n，稱X

服從參數為n，p

的二項分布，記作X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).例

2

某居民小區有兩個相互獨立的安全防范系統(簡稱系統)A

和B，系統A

和系統B

在任意時刻發生故障的概率分別為1

和p.5010(1)若在任意時刻至少有一個系統不發生故障的概率為49，求p

的值；解

設“至少有一個系統不發生故障”為事件C，那么1－P(C

)＝1－1

·p＝49，解得p＝110

50

5.(2)求系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數大于發生故障的次數的概率.解

設“系統A在3次相互獨立的檢測中不發生故障的次數大于發生故障的次數”為事件D.“系統A在3次相互獨立的檢測中發生k次故障”為事件Dk.則D＝D0＋D1，且D0、D1互斥.0依題意，得P(D

)＝03C

(1－101)

，P(D

)3

11

1＝C

(1－1310

102)

，0

1所以

P(D)＝P(D

)＋P(D

)＝

729

＋

243

＝2431

000 1

000

250.所以系統A

在3

次相互獨立的檢測中不發生故障的次數大于發生故障的次數的概率為243250.思維升華求相互獨立事件和獨立重復試驗的概率的注意點：(1)求復雜事件的概率，要正確分析復雜事件的構成，分析復雜事件能轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發生的積事件，然后用概率公式求解.(2)注意辨別獨立重復試驗的基本特征：①在每次試驗中，試驗結果只有發生與不發生兩種情況；②在每次試驗中，事件發生的概率相同.跟蹤演練2

(1)從混有5張假鈔的20張一百元鈔票中任意抽取2張，將其中一張在驗鈔機上檢驗發現是假鈔，則這兩張都是假鈔的概率為(A

)A.

2

B.

2

C

1

D.

317

15

.5

10解析

記“抽到的兩張中至少一張是假鈔”為事件A，記“抽到的2張都是假鈔”為事件B，則P(A)＝5C2＋C1C15

152C20，P(B)＝C25C220＝P(AB)，P(A)17∴P(B|A)＝P(AB)＝

2

.(2)箱中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球.從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數，則獲獎.現有4人參與摸獎(每人一次)，則恰好有3人獲獎的概率是()A.

16

B.

96

624

D.

4625

625

C.625

625解析

若摸出的兩球中含有4，必獲獎，有5種情形；若摸出的兩球是2,6，也能獲獎.C26故獲獎的情形共6

種，獲獎的概率為6＝25.現有4人參與摸獎，恰有3人獲獎的概率是C34

52

3

963·

＝

.5

625答案

B熱點三

離散型隨機變量的分布列1.設離散型隨機變量X可能取的值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi的概率為P(X＝xi)＝pi，則稱下表：Xx1x2x3…xi…xnPp1p2p3…pi…pn為離散型隨機變量X的分布列.2.E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為X的均值或數學期望(簡稱期望).D(X)

＝(x1

－

E(X))2·p1

＋(x2

－

E(X))2·p2

＋…

＋(xi

－

E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做隨機變量X的方差.例3

(2015·天津)為推動乒乓球運動的發展，某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員

3名，其中種子選手2名；乙協會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設A為事件“選出的4人中恰有2

名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協會”，求事件A發生的概率；解

由已知，有

P(A)＝C2C2＋C2C22

3

3

34C8＝635.35所以，事件A

發生的概率為6

.(2)設X為選出的4人中種子選手的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望.P(X＝k)＝解

隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.CkC4－k5

3C48(k＝1,2,3,4).X1234P1143737114所以隨機變量X的分布列為隨機變量X

的數學期望E(X)＝1×

1

＋2

3＋3×3＋4×

1

＝514

×7

7

14

2.思維升華解答離散型隨機變量的分布列及相關問題的一般思路：明確隨機變量可能取哪些值.結合事件特點選取恰當的計算方法，并計算這些可能取值的概率值.根據分布列和期望、方差公式求解.跟蹤演練3

(1)有三位同學過節日互贈禮物，每人準備一件禮物，先將禮物集中在一個袋子中，每人從中隨機抽取一件禮物，設恰好抽到自己準備的禮物的人數為ξ，則ξ的數學期望E(ξ)＝

1

.2×13×2×16解析

ξ

的可能取值為

0,1,3，P(ξ＝0)＝

＝2；P(ξ＝1)＝3×2×16＝3；P(ξ＝3)＝3

13×2×16＝1；E(ξ)＝0×63

12＋1×

＋3×

＝1.6

6(2)某畢業生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷.假定該畢業生得到甲公司面試的概率為2，3得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的，記

X

為該畢業生得到面試的公司個數.若

P(X＝0)＝

1

，則隨機變量

X

的數學期望

E(X)＝

.12解析

由題意知

P(X＝0)＝1121

13(1－p)2＝

，∴p＝2.隨機變量X的分布列為X0123P11213512161

5E(X)＝0×

1

＋1×

＋2×

＋312

3

121＝5×6

3.答案53高考押題精練1

2

31.某校在

2015

年的中學數學挑戰賽中有

1

000

人參加考試，數學考試成績

ξ～N(90，σ2)(σ>0，試卷滿分

150

分)，統計結果顯示數學考試成績在70

分到110

分之間的人數約為總人數的35則此次數學考試成績不低于

110

分的考生人數約為(

)A.200

B.400

C.600

D.800押題依據

正態分布多以實際問題為背景，有很強的應用價值，應引起考生關注.1

2

3解析

依題意得P(70≤ξ≤110)＝0.6，P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2，于是此次數學考試成績不低于110分的考生約有0.2×1

000＝200(人).答案

A1

2

32.位于坐標原點的一個質點P

按下述規則移動：質點每次移動一個單位，移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移2動的概率都是1.質點

P

移動五次后位于