湖南省衡陽市致公中學高三數學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．則∠C=（）A．30° B．135° C．45°或135° D．45°參考答案：D【考點】正弦定理；余弦定理．【專題】解三角形．【分析】利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式進行化簡即可．【解答】解：由1+=．得1+=．即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（A+B）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，即A=，∵a=2，c=2，∴a＞c，即A＞C，由正弦定理得，即，∴sinC=，即C=45°，故選：D【點評】本題主要考查解三角形的應用，根據正弦定理以及兩角和差的正弦公式進行化簡是解決本題的關鍵．2.的定義域為（）A．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0] B．（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，1] C．（﹣3，0] D．（﹣3，1]參考答案：C【考點】函數的定義域及其求法．【專題】計算題；函數思想；數學模型法；函數的性質及應用．【分析】由根式內部的代數式大于等于0，分母中根式內部的代數式大于0聯立不等式組得答案．【解答】解：由，解得：﹣3＜x≤0，∴的定義域為（﹣3，0]．故選：C．【點評】本題考查函數的定義域及其求法，考查了指數不等式的解法，是基礎題．3.設變量滿足條件則點所在區域的面積為（

）A．4

B．6

C．8

D．10參考答案：C4.為考察A、B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物試驗，分別得到如下等高條形圖：

根據圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是A.藥物B的預防效果優于藥物A的預防效果B.藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果C.藥物A、B對該疾病均有顯著的預防效果D.藥物A、B對該疾病均沒有預防效果參考答案：B5.數列滿足，則其前10項和是(

)A．200

B.150

C.100

D.50參考答案：答案:D6.若變量滿足約束條件，，則取最小值時，二項展開式中的常數項為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.等比數列中，，則數列的前8項和等于

（

）A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C略8.執行如圖所示的程序框圖,輸出的M的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示△ABC的面積，若，，則B=A．30°

B．45°

C．60°

D．90°參考答案：B10.已知冪函數的圖像過點，令，，記數列的前項和為，則=10時，的值是(

)A.110

B.120

C.130

D.140參考答案：120

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數的定義域為[﹣1，2）．參考答案：考點：函數的定義域及其求法．專題：函數的性質及應用．分析：根據使函數的解析式有意義的原則，我們可以根據偶次被開方數不小于0，對數的真數大于0，構造關于x的不等式組，解不等式組即可得到函數的定義域．解答：解：要使函數的解析式有意義，自變量x須滿足：解得：﹣1≤x＜2．故函數的定義域為[﹣1，2）．故答案為：[﹣1，2）．點評：本題考查的知識點是函數的定義域及其求法，對數函數的定義域，其中根據使函數的解析式有意義的原則，構造關于x的不等式組，是解答本題的關鍵．12.是虛數單位，若，則的值是___

．參考答案：213.曲線在點（0,1）處的切線方程為

。參考答案：略14.已知直線與曲線切于點，則的值為__________.參考答案：315.已知等差數列的公差為，是與的等比中項，則首項_,前項和__.參考答案：8；

16.如圖放置的邊長為1的正方形沿軸滾動.設頂點的軌跡方程是，則在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區域的面積為

．參考答案：17.某校高一開設4門選修課，有4名同學，每人只選一門，恰有2門課程沒有同學選修，共有__________種不同選課方案（用數字作答）。參考答案：84 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.《選修4-4：坐標系與參數方程》在直角坐標系中，曲線C的參數方程為為參數），以該直角坐標系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系下，曲線的方程為。（Ⅰ）求曲線C的普通方程和曲線的直角坐標方程； （Ⅱ）設曲線C和曲線的交點為、，求。參考答案：解：（Ⅰ）曲線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為． ……5分

（Ⅱ）曲線可化為，表示圓心在，半徑的圓，

則圓心到直線的距離為，所以．……10分

略19.(本小題滿分13分)在等差數列中，，其前n項和為，等比數列的各項均為正數,,,比為q，且

(Ⅰ)求通項公式與；

(Ⅱ)設數列滿足，求的前n項和參考答案：20.如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標準方程；（Ⅱ）過B1作直線交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面積．參考答案：考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質．專題：綜合題；壓軸題．分析：（Ⅰ）設橢圓的方程為，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2為直角，從而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求橢圓標準方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韋達定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，進而可求△PB2Q的面積．解答： 解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2為直角，從而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴橢圓標準方程為；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my﹣2代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①設P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2當m=±2時，①可化為9y2±8y﹣16﹣0，∴|y1﹣y2|==∴△PB2Q的面積S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=．點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查三角形的面積計算，綜合性強．21.已知函數f(x)＝x2＋alnx.(1)當a＝－2時，求函數f(x)的單調區間和極值；(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是單調增函數，求實數a的取值范圍．參考答案：解：(1)易知函數f(x)的定義域為(0，＋∞)．當a＝－2時，f(x)＝x2－2lnx，f′(x)＝2x－＝.當x變化時，f′(x)和f(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)遞減極小值遞增由上表可知，函數f(x)的單調遞減區間是(0,1)，單調遞增區間是(1，＋∞)，極小值是f(1)＝1.(2)由g(x)＝x2＋alnx＋，得g′(x)＝2x＋－.若函數g(x)為[1，＋∞)上的單調增函數，則g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x－＋≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x)＝－2x2，則φ′(x)＝－－4x.當x∈[1，＋∞)時，φ′(x)＝－－4x＜0，∴φ(x)＝－2x2在[1，＋∞)上為減函數，∴φ(x)max＝φ(1)