認知心理學研究對數學教育啟示Overthepast20years,agreatdealofcognitivescienceresearchhasfocusedonmathematicslearning.Themajorityofthisresearchhasexaminedbasiccapabilitiessuchascounting,understandingofnumericalmagnitudes,arithmetic(bothwordproblemsandpurelynumericalproblems),andpre-algebra.somewhatsmaller,bodyofresearchhasbeendevotedtostudents'understandingof,andlearningabout,algebra,geometry,andcomputerprogramming.7/22/20231主要領域1)學前兒童的數學認識2)數學學習錯誤3)認知策略的多樣性與策略選擇4)個體差異5)發現與頓悟6)概念性知識與程序性知識之間的關系7)合作學習8)分析性思維與遷移7/22/202321)MathematicalUnderstandingBeforeChildrenEnterSchool思考問題兒童學前的數學經驗重要嗎？兒童在學前已經具有了什么樣的數學知識基礎?7/22/20233兒童的數學學習是以他們進入學校教育之前獲得的數學認識為基礎的.兒童已經獲得的一些知識可能是非常廣泛,而其他的一些知識的獲得與他們生活的環境相關.兒童在較小的時候實際上已經獲得一些具體或相對抽象的數字和數學概念的知識7/22/20234其它的一些實驗結果：5歲（有些研究為3歲兒童）掌握所有數子系統的五個原理(一一對應、順序計數、順序無關、總數、計數意識）.12或18個月兒童已經掌握了序數概念7/22/20235不同環境下兒童學前有關數學知識差異盡管多數中等收入的家庭的兒童在他們上學前已經擁有個位數的知識,但是多數低收入家庭則相反.(至少在美國是如此).對阿拉伯數字理解的匱乏導致這些兒童在進入學校后數學學習,特別是簡單算術運算的困難.7/22/202362)數學學習中的錯誤從學前兒童開始,兒童要學習抽象的數學概念和法則,程序和知識.然而,他們常常不能理解數學概念、蘊含在程序中數學原理，或者他們理解數學概念和原理，但是他們并不能將它們與程序聯系起來。對數學概念和原理缺乏理解通常會產生一些系統性的錯誤類型.下面我們分析一些學生常常出現的數學學習系統性錯誤.7/22/20237錯誤減法BrownandBurton(1978)對兒童多位數減法的獲得過程進行了研究。他們應用錯誤分析方法對兒童首次利用錯誤法則導致特殊錯誤進行分析，然后檢驗考察每個兒童正確答案和錯誤類型，以驗證兒童錯誤類型是否是應用錯誤法則而產生的.7/22/202387/22/20239初看起來,我們很難從這個兒童的答案中得出什么結論,除了我們會認為他夠正確完成減法之外.

但認真分析,他的操作就變得容易理解了.其中的三個錯誤發生在被減數為零的情況下,這說明他的困難在于不能理解進行減去零的運算.對這個兒童的(第一、三和四個問題的錯誤）和答案，我們會發現，兩個錯誤算法是產生特殊答案的真正原因。7/22/202310一個典型的錯誤當問題是否需要0-x時，他只是簡單地將兩個數換位進行相應減法。如307-182,他將0-8變成8-0,然后寫出答案“8”.7/22/202311錯誤分式運算l/2+1/3=2/5多數兒童在分數運算的困難是由于它們不能理解分數所表示的數量大小造成的。如在進行分析估算的錯誤：7/22/2023127/22/202313另一個類似的符號與它所表示的數量大小的聯系的錯誤理解則更加明顯。考慮兒童判斷小數大小，如2.86,2.357,發現4、5年級兒童通常用位數來判斷它們的大小.也就是說因為2.357有四個數字，比2.86多一個，所以2.357大。顯然這種錯誤是將小數和整數進行了錯誤類比。也就是說，既然數字個數越多的整數越大,那么小數也應該是這樣的.7/22/202314另外一組兒童正好出現相反的錯誤.如小數點右邊的數字越少小數越大.如2.43比2.897.這些兒童認為:0.897涉及千分,0.43涉及百分，百分比千分要大，所以0.43比0.897大.小數理解困難不會很快消失，有研究表明6年級和9年級的學生中有三分之一會出現上述錯誤中的一種。小數和多位數減法一樣，兒童不能理解數字系統，或不能將正確的理解與具體的程序聯系起來，是導致系統和持續的錯誤的主要原因7/22/202315Algebraicequations對符號運算表面理解導致錯誤.許多這樣的錯誤是因為正確法則不適當地擴張應用.如，既然分配律可以表示為a×(b+c)=(a×b)+(a×c),那么a+(b×c)=(a+b)×(a+c).7/22/2023163)認知策略的多樣性與策略選擇兒童在某一個階段利用一種方法解決問題，然后再選擇更高級的方法，后來又會采用更為高級的方法.例如，兒童開始上學時，兒童利用從1開始計數的方法來獲得加法的答案。在一年級某個階段，他們會用從大數開始計數的策略。到三年級或四年級，他們會用提取策略來獲得問題的答案.7/22/202317然而,最新的研究表明:在一段時間內兒童可能應用多種策略,而不是一種策略.如早期獲得的策略和較高級的策略在一段時間內同時并存.

這樣,即使是一年級的兒童在某些時間可能同時使用上述三種策略.即使當兒童掌握的策略既快有準確,他們還會繼續應用既慢又易出錯的舊策略.這種現象不僅在兒童身上發生,實際上,青少年和成年人也一樣.7/22/202318認知的多樣性是兒童思維的自發性特征,想改變它往往不能獲得成功.

但是我們的教師通常并不這樣認為。例如，在一項研究中（Siegler,1984)，對一年級到三年級教師進行訪談，內容是他們對于學生算術策略的認識和學生使用多種策略是不是好事進行了訪談。所有的教師都認為兒童確實使用多種策略解決問題，但是多數人認為這是一件壞事。一位教師說她對學生應用手指計數策略感到氣餒。但是這位老師和其他教師都承認：即使清楚告訴學生不要用他們的手指來計數，但是學生會將手指放在桌子里，腿下或背后悄悄地進行計數.7/22/202319實際上，允許學生選擇他們喜歡應用的策略，兒童會學習得更好。當兒童用有更多知識來解決問題時,通常他們會自動放棄不成熟的策略即使基本策略也能夠獲得正確的答案,但是如果強迫學生放棄這種策略將會導致更多的錯誤.能夠應用多種不同策略解決問題通常趨向于學得更好.允許兒童應用不同策略，可以幫助他們理解表面上完全不同的策略為什么得到正確答案，以及為什么表面上合理的策略是錯誤的。在此基礎上，他們通過比較和分析，可以加深對各種策略的理解。7/22/202320兒童應用不同的策略實質上是他們根據情景便量和問題變化來選擇適當策略的過程。其中，情景變量包括時間限制、教學指導和任務得重要性。允許兒童在多種策略中進行選擇，有助于兒童根據問題的不同特點來調節策略的應用。如當兒童面對的是簡單問題時，通常會執行較快得策略，因為這樣的策略足于解決所有的問題。當他們面對更復雜問題時,他們可能需要采用更耗時和更需要意志努力的策略來獲得正確的答案.7/22/2023214)個體差異（individualdifferences)Differencesinknowledgeanddifferencesincognitivestyle.Siegler（1988），theirstrategychoicesinarithmetic，firstgrade:goodstudents,not-so-goodstudents,andperfectionists.7/22/202322Goodstudent,andnot-so-goodstudent:Thegoodstudentsarefaster,moreaccurate,usemoreadvancedstrategies,andperformbetteronstandardizedmathachievementtests.7/22/202323完美主義者（perfectionists)與其他兩組兒童的差異更有趣.完美主義者與好學生（goodstudents)同樣準確，他們的數學成績和IQ分數沒有顯著差異，在后來的學習成績也沒有顯著差異。但是，完美主義者應用速度慢和需要努力的策略的頻率較高.一般情況下，他們不使用提取策略，除非他們能夠非常肯定答案的正確性。完美主義者通常為給出答案設置了一個很高的置信標準.它們只在最簡單的問題中提取答案,相反,好學生應用提取策略的頻率要高得多.7/22/202324not-so-goodstudents執行支持性策略（backupstrategy)和提取正確答案均存在困難.當他們在一年級時,他們通常應用不成熟的計數的策略(如從1開始計數而不是從大數開始計數),執行策略的速度較慢,錯誤率較高.到2年級時，他們用略微復雜的計數程序（如從大數開始計數），他們的計數速度和正確率有所改善。然而,他們仍然難易提取正確答案,即使幾年過后,也是如此.當他們通過學習取得了進步后,他們又在其他技能上出現困難,如多位數加法和代數。7/22/202325思考與討論題目為什么一些兒童在算術學習會遇到這么大的困難呢?造成這一現象的原因是什么？7/22/202326一個原因是這些兒童在入學之前只有有限的數字經驗.許多數學學習不良兒童來自于缺乏足夠正規學校教育、收入水平不高的家庭.到他們入學之后,他們在計數技能、數量知識和算術知識上已經遠遠落后于其他孩子.另一個重要的原因,可能是工作記憶容量.算術知識的學習需要足夠的工作記憶容量,以便在計數的同時保持原問題的信息以便將問題和答案聯系起來.與同齡的兒童相比較，通常數學學習不良兒童不能保持太多的信息(Geary,Bow-Thomas,&Yao,1992;Koontz&Berch,1996.)7/22/202327算術運算概念的理解困難也增加了這些兒童學習算術的障礙(Hitch&McAuley,1991;Geary,1994).因此，數學學習不良是多種原因導致的，即有限的背景知識，有限的加工容量，有限的概念的理解，所有這些困難的解決才有可能改變這些兒童學習水平的狀況.7/22/2023285)發現與頓悟（DiscoveryandInsight）思考問題兒童能夠發現一些數學規律嗎？你能夠設計一個實驗來說明的你的結論嗎？7/22/202329一年級兒童能夠發現加上同時減一個數，原數不變（即，a+b-b=a）.那么是否所有兒童都能夠發現這一結論呢？如果不是，那么在具有什么樣的學生才能發現這一結論呢？7/22/2023306歲和9歲兒童，解決“a+b-b=？”的速度逐步加快。然而，9歲兒童與6歲兒童一樣，當b越大時，所用的時間越長.(Bisanz&LeFevre,1990;Stern,1992).速度改善似乎是加法和減法技能的提高所導致的到11歲時,多數兒童可以忽略b值大小，直接得到相應的值（即a）.7/22/202331兒童需要花費很長時間才能理解數學中的相等關系（mathematicalequality).三、四年級的學生通常不能理解等號的數學意義，即表示兩側的數值必須相等，而是將等號看成是執行算術運算的符號.如，3+4+5=____,對等號的錯誤解釋不會造成解決這個問題的困難.但是，在解非典型問題（如3+4+5=____+5)時，等號意義的錯誤理解將直接導致多數三、四年級學生將等號左邊的所有數字相加得到答案12，或將等號兩邊的數字相加得到答案“17”(Alibali&Goldin-Meadow;1993;Goldin-Meadow,Alibali,&Church,1993;Perry,Church,&Goldin-Meadow,1988;1992).7/22/202332近來許多研究表明：無論已有方法能夠成功解決問題還是不能解決問題，學生通常都能夠發現新的解決問題策略和概念（Karmiloff-Smith,1992;Kuhnetal.,1995;Miller&Aloise-Young,1996;Siegler&Jenkins,1989).我們常常認為需要是發明之母，有時確實如此.

然而，兒童在利用原有方法能夠解決問題的情況下，通常也能發現新方法.這種觀點的意義在于兒童的發現不一定只在發現學習產生.同樣，成年人會在淋浴、游泳、或在解決毫不相關的問題時產生新想法，兒童也如此.7/22/202333

6)概念性知識（conceptualknowledge)

和程序性知識之間的關系以前，教學改革在強調程序知識和概念理解之間振蕩，(Hiebert&Lefevre,1986).今天，幾乎沒有人會再認為只教其中一種知識的同時排除另一種知識.然而，這并意味著教學中就沒有爭論了.如關于兩種知識的平衡問題？7/22/202334研究概念性知識和程序性知識之間關系最有成果的領域是.如，兒童必須學習加法的進位程序和減法的借位程序.

理解這些程序，兒童需要先理解位值概念。而且需要理解多位數不同的表示方法，如23可以表示為1個10和1個13.許多兒童理解位值（placevalue)存在困難，它們常常會錯誤地應用程序.例如，二年級學生在完成多位數加法問題時，常常不能正確地近位(Fuson&Briars,1990).7/22/202335他們常常同列的兩個數字的和寫在該列的下方.如，568+778=121316，or丟掉近位值，568+778=1236.7/22/202336思考問題概念性知識和程序性知識之間存在什么關系？7/22/202337盡管也有些例外，概念性知識和程序性知識通常是高度相關的.一個實驗證據來自于跨文化研究.例如，比較美國和韓國小學生的多位數加法和減法的概念性知識發現，這兩個國家的小學生的概念性知識和程序性知識具有相同的差別.7/22/202338FusonandKwon(1992)要求韓國二、三年級學生解決兩位數和三位數，而且需要進位的加法和需要借位的減法問題.然后，對兒童進行概念理解的測量：加式和減式的判斷;正確程序基礎的解釋，指出數中數字的位值.幾乎所有韓國學生都能夠應用正確程序解決問題，也成功完成了后續測試任務.StevensonandStigler(1992)對中國和日本的一到五年級學生進行比較研究同樣發現類似韓國學生的程序和概念能力.7/22/202339然后，Fuson(1990)對美國的二到五年級學生進行的研究表明：美國兒童通常缺乏多位數加法和減法的概念性知識和程序性知識.如,幾乎三年級中的一半學生不能正確確定多位數中的數字的位值.(Kouba,Carpenter&Swafford,1989;Labinowicz,1985),多數二年級到五年級學生不能解釋進位的意義(Ross,1986).7/22/202340這些年級的兒童通常計算多位數加法和減法問題時出錯(Brown&Burton,1978;Fuson&Briars,1990;Koubaetal.,1989;Labinowicz,1985;StevensonandStigler,1992).綜合起來，這些結果說明概念性知識和程序性知識是相互關聯的.亞洲國家兒童擁有兩種知識，而美國兒童兩種知識都缺乏.7/22/202341討論題目概念性知識和程序性知識是否存在因果關系呢?即,概念的理解可能促進兒童生成適當的計算程序,或者掌握正確的程序是否可以促進概念的理解(如通過反思為什么正確程序是正確的)?7/22/202342Hiebert&Wearne(1996)證明一定比例的兒童是首先獲得概念性知識，然后再獲得程序性知識，但是也有一定比例的兒童正好相反.一些旨在提高多位數加法和減法教學效率的研究特別強調將程序步驟與相關概念聯系起來.一般而言，這種教學方法既增加了學生的概念性知識，同時也增加了程序性知識。7/22/202343盡管目前沒有肯定的結論，但是研究者建議同時強調概念和程序性的教學比只對程序性知識的指導的教學方法更加有效.(Fuson&Briars,1990;Hiebert&Wearne,1996).7/22/202344思考問題仍然有一個問題沒有解決:我們的數學教學到底應該先強調哪一種知識？7/22/202345對這個問題的解答有多種觀點,直到今天，仍然沒有一個實驗提供了直接的實驗證據來支持這些觀點.近來，Rittle-JohnsonandAlibali(inpress),提供了這樣的證據.

它們對五年級兒童解決a+b+c=_____+c的數學相等關系問題進行了教學干預研究.7/22/202346一些學生被隨機分成三組：概念指導組和程序指導組，控制組.其中控制組的被試不進行任何指導.

對學生進行指導后，要求所有學生進行解決問題的練習，隨后進行概念性知識和程序性知識后測.

結果發現：概念指導組的兒童獲得了兩種知識，而程序指導組的兒童在程序性知識上獲得了提高，而概念知識的獲益較小.

這說明,在對程序性知識教學之前應該進行概念指導.7/22/2023477)合作學習（CooperativeLearning）思考問題：如何對學生進行分組才有助學生的互相提高？7/22/202348在兒童自己解決問題過程中，兒童能夠發現新的策略，而且他們與具有共同目標的其他同伴共同學習同樣也能夠發現新的策略這樣的問題解決涉及絞索架情景（scaffoldingsituations），在這種情景中，知識豐富的個體可以為知識缺乏的個體的學習提供不同種類的幫助.7/22/202349這樣合作學習情景發生在父母幫助兒童、教師幫助他們的學生、教練幫助他們的隊員，更先進的學習者幫助不先進的學習者等各種背景中(Freund,1990;Gauvain,1992;Rogoff,Ellis,&Gardner,1984;Wood,Bruner,&Ross,1976).這樣合作學習的目的是為知識缺乏的學習者建構更先進的學習者已經擁有的策略.7/22/202350另一種合作學習方式是由知識水平相當的學習者在一起互相學習.相比較獨立學習的兒童而言，這樣的合作學習通常能夠提高問題解決和推理能力(Gauvain&Rogoff,1989;Kruger,1992;Teasley,1995;Webb,1991).7/22/202351一種特別有效的合作學習方式是相互講授,在這種情景中，講授者閱讀課文和模擬進行非常重要的元認知活動，如總結,提問，預測后續內容等.Rosenshine&Meister（1994)對16項相互講授的合作學習方式進行回顧表明：對于從四年級兒童到成年人的學生干預的結果是正面的,而且不同分組方法也有同樣的效果，如對低學業成績和中等學業成績的學生分組，2個到23個學生的分組方法.7/22/202352另一方面，合作學習通常不能促進學習，相比較自己獨立解決問題而言，合作學習有時會惡化學習(Levin&Druyan,1993;Russell,1982;Russell,Mills,&Reiff-Musgrove,1990;Tudge,1992).這說明，合作學習也不是一種靈丹妙藥.有效的合作學習情景至少要象課堂教學指導設計一樣進行精心設計.

沒有精心組織和規劃，合作學習將導致學習效率的降低.因此，創設有效的合作學習情景除分組和要求它們共同解決問題之外還有很多工作要做.7/22/202353思考問題：如何對學生進行分組，使得組中的每個學生都獲得最優學習效果呢？7/22/202354Damon&Phelps(1989)區分了三種合作安排：同伴助教、合作學習和同伴協作.Peertutoring:aknowledgeablechild,alessknowledgeablechild.Cooperativelearning:將班級分成若干小組，通常為3—6個人,而且小組的學生的能力是異質的，要求他們共同解決一個問題或完成一項任務.peercollaboration:由兩個新手組成，共同來解決問題，但是它們兩個人不能獨立解決這個問題.7/22/202355一種方法是研究影響成功和不成功交互作用的因素.

為了獲得這些信息，Ellis,Siegler,andKlahr(1993)考察了五年級學生解決小數比較大小問題（"Whichisbigger,.239or.47"?)7/22/202356Ellisetal.發現與伙伴在一起學習比單獨學習的學生獲益更大，但這種收益只有但實驗者提供答案是否正確的反饋的條件下才能獲得.

外部反饋對于組內同學是否從相同規則開始解決的小組而言反饋都是需要的.

他們還發現一些影響合作學習的社會特征.一個特別重要的因素就是伙伴對其他伙伴陳述反應的熱情程度.這里所說的是熱情是指興趣而不是指伙伴之間的想法是否一致.反應熱烈比冷淡的兒童在后測中正確解答問題的頻率要高.

7/22/202357分組方式、外在反饋、反應強度都是合作學習效率的預測指標.也就是說，需要注意認知變量和社會變量對合作學習效率的影響。7/22/202358討論問題：如何提高合作學習的效率？你能否設計一個研究方案來研究這個問題呢？7/22/2023598)分析性思維和遷移分析性思維是指確定事件原因的加工過程.Itisamongthecent