同步發電機的數學模型發電機勵磁系統的數學模型原動機及調速系統的數學模型負荷的數學模型7發電機和負荷的動態模型1同步發電機的數學模型7同步電機的數學模型

電力系統中的電源是同步發電機。同步發電機的動態特性或者說動態數學模型是研究電力系統動態行為的基礎。在研究建立同步電機的數學模型的近百年歷史中有兩個重要的里程碑。一個是20世紀20年代的雙反應理論的建立另一個是20世紀30年代提出的Park變換。帕克在合適的理想化假設條件下，利用電機的雙反應原理推導出了采用dq坐標系的同步電機基本方程。1基本前提2同步電機的原始方程3dq0坐標系的同步發電機方程同步電機方程的實用化暫態電勢與暫態電抗轉子運動方程同步電機實用模型2同步發電機的數學模型幾個概念一、法拉第電磁感應定律

若回路為多匝，上式改為：

式中ψ

為鏈過整個回路的磁鏈．ψ＝ωφ，ω為回路的匝數．二、磁路歐姆定律（安培全電流定律）磁路中的磁通等于作用在磁路上的磁勢除以磁路的總磁阻．

磁勢F=ωI,磁阻R,磁導Λ（磁阻的倒數）三、電感L=ψ/i四、旋轉磁場與電樞反應（雙反應理論）3同步發電機的數學模型1基本前提一、理想同步電機二、假定正方向的選取4同步發電機的數學模型一、理想同步電機不計磁路飽和、磁滯、渦流等的影響，即假定電機的導磁系數為常數；疊加原理。電機轉子在結構上關于dq軸分別對稱；定子abc三相繞組在空間互差120°，在氣隙中產生正弦分布的磁動勢；電機空載，轉子恒速旋轉時，轉子繞組的磁動勢切割定子繞組所感應的空載電勢為時間的正弦函數；不計定子和轉子的槽和通風溝對其電感的影響。5同步發電機的數學模型具有阻尼繞組的凸極機繞組布置定子側：a、b、c三個繞組；轉子側：勵磁繞組f、縱軸阻尼繞組D和橫軸阻尼繞組Q。說明：水輪發電機：阻尼繞組模擬阻尼條阻尼作用；汽輪發電機：模擬實心轉子渦流所起的阻尼作用。除了D、Q繞組外，有時在交軸上再增加一個等值阻尼繞組，記為g繞組。g繞組和Q繞組分別用于反映阻尼作用較強和較弱的渦流效應。g繞組位置角6同步發電機的數學模型二、假定正方向的選取同步發電機的定子、轉子各繞組的回路電壓電流正方向7同步發電機的數學模型同步發電機各繞組軸線的正方向各繞組磁軸線正方向同該繞組磁鏈的正方向；對本繞組產生正向磁鏈的電流為該繞組的正電流；定子電流的正方向為從繞組的中性點流向端點的方向；各相感應電勢的正方向同相電流的方向；電壓的正方向為向外電路送出正向電流的方向；轉子各繞組感應電勢的正方向同本繞組電流的正方向；向勵磁繞組提供正向勵磁電流的電壓方向為勵磁電壓的正方向；D、Q阻尼繞組的外加電壓為零。轉子橫(q)軸落后于縱(d)軸90度8同步發電機的數學模型2同步發電機的原始方程一、電勢方程和磁鏈方程二、電感系數9同步發電機的數學模型10同步發電機的數學模型一、電勢方程和磁鏈方程1.回路電勢方程：根據以上假定正方向，可得定轉子各繞組的電勢矩陣方程式為式中，v為各繞組端電壓，i各繞組電流，r定子各相繞組電阻，ψ各繞組總磁鏈。11同步發電機的數學模型相應的分塊矩陣為式中，分別為定子和轉子的電阻矩陣。12同步發電機的數學模型式中，Laa為繞組的自感系數；Lab繞組a和繞組b之間的互感系數；其余類推．２．繞組的磁鏈方程（ψ＝Li）總磁鏈＝本繞組電流產生的磁鏈＋其它繞組電流產生的與本繞組交鏈的磁鏈用矩陣形式表示為13同步發電機的數學模型轉子旋轉時，定、轉子繞組的相對位置不斷變化，電機的許多自感、互感系數也隨之變化，因而也是轉子位置的函數。也可用分塊矩陣表示為14同步發電機的數學模型二、電感系數⒈定子各相繞組的自感系數以a相為例分析如下：a相繞組電流正弦分布的磁勢(d軸分量)(q軸分量)α角為d軸與a相繞組軸線的夾角15同步發電機的數學模型如果用λad和λaq分別表示沿d軸和q軸方向氣隙磁通路徑的磁導，則由定子磁勢Fa沿兩個軸向產生的氣隙磁通為Fa產生的定子繞組漏磁通為16同步發電機的數學模型由電流ia產生的與a相繞組交鏈的磁鏈為于是有17同步發電機的數學模型式中由此可見，定子繞組的自感系數是轉子位置角α的周期函數，其周期為π。自感系數有最大值和最小值的轉子位置。18同步發電機的數學模型19同步發電機的數學模型由于定子三相繞組對稱，同理可得⒉定子繞組間的互感系數由定子a相電流產生的磁通交鏈到b相繞組的部分也是由氣隙磁通和漏磁通兩部分組成。若假定漏磁通路徑的磁導為λmσ，則a、b相繞組間的漏磁通為20同步發電機的數學模型“-”號是因為兩相繞組軸線互差120°，a相正電流產生的磁通將從反方向穿入b相繞組。取b相繞組的等效匝數為wb，則由a相電流產生交鏈于b相繞組的磁鏈為21同步發電機的數學模型假定wa=wb=w，則定子a、b相間的互感系數為式中22同步發電機的數學模型23同步發電機的數學模型同理可得⒊轉子上各繞組的自感系數和互感系數⑴自感系數

由于定子的內緣呈圓柱形，故對于凸極機和隱極機，不論其轉子的位置如何，其磁路的磁導總是不變的，因而轉子上各繞組的自感系數均為常數，記為Lf、LD、LQ24同步發電機的數學模型

以勵磁繞組為例分析，若勵磁繞組的等效匝數為wf，勵磁電流為if，則對勵磁繞組產生的磁鏈為⑵互感系數同理，轉子各繞組間的互感系數亦為常數，具體值為：25同步發電機的數學模型⑴兩個縱軸繞組（f繞組和D繞組）之間的互感系數LfD=LDf=常數；⑵縱軸和橫軸阻尼繞組之間的互感系數為零（因為兩繞組相互垂直），即LfQ=LQf=LDQ=LQD=0。26同步發電機的數學模型⒋定子繞組和轉子繞組間的互感系數無論是凸極機還是隱極機，這些互感系數都與定子繞組和轉子繞組的相對位置有關。下面以勵磁繞組和定子a相繞組間的互感為例分析如下：

當勵磁繞組有電流if時，其對定子a相繞組產生的互感磁鏈為因此有27同步發電機的數學模型式中同理可得28同步發電機的數學模型互感系數Laf與轉子位置角的關系如圖所示。當α=0°或180°時，互感系數Laf的絕對值最大；當α=90°或270°時，互感系數Laf為零。29同步發電機的數學模型同理可得定子各相繞組與縱軸阻尼繞組間的互感系數為由于轉子橫軸落后于縱軸90°，故定子各相繞組與橫軸阻尼繞組間的互感系數為30同步發電機的數學模型磁鏈方程中的許多電感系數都與α角有關，而α角又是時間的函數，因而許多自感系數和互感系數都隨時間周期性地發生變化；將磁鏈方程代入電勢方程后，電勢方程將成為一組以時間的周期函數為系數的變系數微分方程。31同步發電機的數學模型3dq0坐標系的同步電機方程一、坐標變換和dq0系統在原始方程中，定子各電磁變量是按三個相繞組也就是對于空間靜止不動的abc三相坐標系列寫的，而轉子各繞組的電磁變量是對于隨轉子一起旋轉的dq0坐標系列寫的。32同步發電機的數學模型磁鏈方程式中變系數產生的主要原因：⑴轉子的旋轉使定、轉子繞組間產生相對運動；⑵轉子在磁路上只是分別對于d、q軸對稱而不是隨意對稱。基于電機學的雙反應理論，消除同步電機穩態分析中出現變系數．

勃朗德(Blondel)提出：當電樞反應磁動勢Fa幅值的位置既不和縱軸又不和橫軸重合時，可將Fa分解為縱軸分量Fad和橫軸分量Faq兩個分量。Fad和Faq分別作用在d軸和q軸磁路上，從而有確定的磁路和磁阻(確定的氣隙和電機鐵心磁路)，這樣，作用在d軸和q軸上的電樞反應影響強弱，僅僅與該處磁動勢大小有關，然后再把二者的結果迭加起來。這種處理方法，為雙反應理論。33同步發電機的數學模型組合成變換abc坐標系（固定）dq0坐標系（旋轉）34同步發電機的數學模型或簡記為式中，為派克變換矩陣，其值為矩陣表示式為35同步發電機的數學模型由此可得則36同步發電機的數學模型上述變換稱為派克正變換和逆變換矩陣，逆變換矩陣的展開式為。三相零軸電流在氣隙中的合成磁勢為零，故不產生與轉子繞組相交鏈的磁通，它只產生與定子繞組相交鏈的磁通，其值與轉子的位置無關。

Park變換對電勢、磁鏈和電壓均適用。37同步發電機的數學模型二、dq0系統的電勢方程派克變換只是對定子各量實施變換。定子的電勢方程為全式左乘可得38同步發電機的數學模型由此可得式中由于，兩邊分別對時間求導，可得39同步發電機的數學模型40同步發電機的數學模型由此可得dq0軸分量表示的電勢方程為相應的展開式為41同步發電機的數學模型說明：式中的第一項為磁鏈對時間的導數，稱為變壓器電勢；第二項為磁鏈同轉速的乘積，稱為發電機電勢；式中的第三個方程是獨立的，從磁的意義上講，表示零軸繞組對其他繞組是隔離的。42同步發電機的數學模型三、dq0系統的磁鏈方程和電感系數磁鏈方程可展開為派克變換只需對定子側進行，對上式左乘，通過矩陣演算可得：43同步發電機的數學模型44同步發電機的數學模型由此可得dq0坐標系的磁鏈方程展開式為45同步發電機的數學模型說明：dq0坐標系磁鏈方程中的電感系數均為常數；Ld、Lq分別是dd、qq等效繞組的電感系數，它們不但包含定子一相繞組的漏自感，還包含另兩相繞組的漏互感；穿過氣隙的電感系數為一相繞組單獨作用的3/2倍縱軸同步電感:橫軸同步電感:零軸電感:46同步發電機的數學模型4同步電機方程的實用化一、基本方程的實用化假定：⑴轉子轉速恒定且為額定轉速。⑵電機縱軸向三繞組（d、f、D）只有一個公共磁通，而不存在只同兩個繞組交鏈的漏磁通。

47同步發電機的數學模型同步發電機通常帶感性負載，定子端電壓和電流相量落后電勢相量，因而定子電壓和電流的d軸分量將位于d軸的反方向。調整后的各量實用正方向48同步發電機的數學模型采用實用正向后:d軸電壓、電流分量變號；兩項假設電勢方程49同步發電機的數學模型磁鏈方程：選擇合適的參考基準，可以使轉子與定子之間的互感系數變為相等，同時，在標幺制中，當ω*=1時，電抗與電感系數數值相等，習慣上直接用電抗代替電感。50同步發電機的數學模型其中：51同步發電機的數學模型二、穩態運行的電勢方程式電勢方程式同步電機穩態運行的特點：⑴定子電流為幅值恒定的三相正序電流；轉速恒定且與轉子保持同步；常數52同步發電機的數學模型

電勢方程（不計定子電阻）（2）等效阻尼繞組中的電流為零；（3）勵磁電流等于常數。（4）53同步發電機的數學模型

分別代表勵磁電流對定子繞組產生的互感磁鏈（即有用磁鏈）和相應的感應電勢（即空載電勢）。定子電壓和電流的d、q軸分量是三相交流系統中電壓和電流通用相量在旋轉坐標軸上的投影。若選q軸為虛軸，落后q軸90°的d軸負方向為實軸，則有：54同步發電機的數學模型相量形式電勢方程式55同步發電機的數學模型相應的等值電路如圖所示。56同步發電機的數學模型令：則有：定義：則有：虛擬電勢57同步發電機的數學模型相量圖：58同步發電機的數學模型dq坐標系與復平面xy坐標系間的變換

在電力系統潮流計算完成以后，已知的是復平面下x-y坐標系下的同步電機的機端電壓和電流。欲得到同步電機d-q坐標系下的機端電壓電流分量，需確定這兩個坐標系之間的變換關系，即確定二者之間的夾角。可以由虛擬電勢確定。式中的A可以是電壓、電流、磁鏈或電勢。59同步發電機的數學模型

一、磁鏈平衡方程式和等值電路1、磁鏈平衡方程----以磁鏈守恒原則為基礎5暫態電勢與暫態電抗60同步發電機的數學模型61同步發電機的數學模型2、等值電路62同步發電機的數學模型

二、暫態電勢、暫態電抗1、Eq’、xd’的定義從磁鏈等值電路或從磁鏈平衡方程中消去勵磁電流可得63同步發電機的數學模型定義：則有：

暫態電勢

暫態電抗Eq’：同勵磁繞組的總磁鏈ψf成正比，在運行狀態突變瞬間，勵磁繞組的磁鏈守恒，ψf不能突變，暫態電勢也就不能突變．Xd’:如果沿縱軸把同步電機視做雙繞組變壓器，當副方繞組即勵磁繞組短接時，從原方定子繞組看進去的電抗．64同步發電機的數學模型２、等值電路65同步發電機的數學模型適用范圍：穩態分析變壓器電勢忽略時的暫態分析。３、定子電勢方程當變壓器電勢時，由于，定子磁鏈平衡方程便變為定子電勢方程66同步發電機的數學模型67同步發電機的數學模型二、次暫態電勢和次暫態電抗1、磁鏈平衡等值電路68同步發電機的數學模型縱軸向的等值電路可簡化為２、Eq’’Xd’’69同步發電機的數學模型應用戴維南定理得縱軸次暫態電抗：理解為三繞組變壓器橫軸次暫態電勢：運行狀態突變瞬間，不能突變。70同步發電機的數學模型式中σD為縱軸阻尼繞組的漏磁系數；σeq為代替勵磁繞組和縱軸阻尼繞組的等