3.3

冪函數高中數學人教A版（2019）必修第一冊學習目標觀察下面幾個例子(1)如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;(2)如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積s=a2;(3)如果立方體的棱長為b,那么立方體的體積V=b3;(4)如果一個正方形場地的面積為S,那么這個正方形的邊長c=(5)如果某人ts內騎車行進了1km,那么他騎車的平均速度v=km/s.

冪函數定義的抽象

這5個關系式都是函數關系，若將它們的自變量全部用x來表示,函數值用y來表示,則它們的函數關系式分別是冪的形式冪的底數是自變量冪的指數是常數共同特征問題1：觀察這五個函數的解析式，能不能找出它們的共同特征？能不能用一個通式來表示這一類函數？學習新知——冪函數的定義

一般地，函數叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.判斷下列函數是否為冪函數.(1)y=x4(3)y=-xe

(4)y=2x2(5)y=x3+2

判一判(6)y=(x-1)2冪函數中的α可以為任意實數，并且xα的系數為1，后面沒有常數項。因此要確定一個冪函數，需要一個條件就可以把常數α確定下來。【例1】已知冪函數y=f(x)的圖像過點(2,),求這個函數的解析式.

因為冪函數只有一個待定系數，所以只需要一個點的坐標就可以求出冪函數的表達式.

問題2

（1）對于一類新函數，我們需要從哪些方面入手去研究？（2）通常先根據函數解析式求出函數的定義域，畫出函數的圖象；再利用圖象和解析式，討論函數的值域、單調性、奇偶性等問題．新知探究

（2）你能根據以前研究函數的思路，提出研究冪函數的方法嗎？（1）函數的定義域、值域、單調性和奇偶性等．新知探究問題3

請你在同一坐標系中畫出函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝

和y＝的圖象，結合解析式觀察函數圖象，將你發現的結論填寫在表內．y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝定義域值域奇偶性單調性小組合作完成，完成后展示成果。xyo11223344-4-1-1-2-3-3-2(1,1)五個常用冪函數的圖象：(2,4)(-2,4)(-1,-1)x01234…011.411.732…y=x3…-3.38-1-0.1300.1313.38…x…-101…

y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域值域奇偶性單調性

公共點奇函數偶函數奇非奇非偶圖象都過點(1,1)RR［0,+∞）R［0,+∞）［0,+∞）增函數在(-∞，0)和(0，+∞)上單調遞減增函數在(-∞，0]單調遞減［0，+∞)單調遞增增函數RR{x|x≠0}{y|y≠0}奇函數(1)圖像都過點（1，1)；(2)y=x、y=x3、y=x-1是奇函數，y=x2是偶函數；(3)在（0，+∞)上，y=x、y=x3、y=x2、y＝

單調遞增，y=x-1單調遞減；(4)在第一象限內，y=x-1的圖像向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近。性質總結【例2】證明冪函數是增函數.

【證明】函數的定義域是[0，+∞).

因為，，所以

即冪函數是增函數.

【知識小結】回憶本節課的內容，請你回答以下幾個問題：1.什么是冪函數？說一說本節課所學的5個冪函數的性質.2.結合對五個冪函數的研究過程，你能歸納一下函數的研究內容和方法嗎？歸納小結

作業：教科書3.