高等數(shù)學(xué)殷錫鳴極限第1頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月2o數(shù)列與收斂數(shù)列定義數(shù)列是以自然數(shù)集N

為定義域的函數(shù),若記此函數(shù)關(guān)系為f,則就稱為數(shù)列

,記為

{an}

,而an

稱為數(shù)列的通項(xiàng)有界數(shù)列:對于數(shù)列如果存在M>0,使對一切n

有則稱數(shù)列{an}為有界數(shù)列

,否則稱為無界數(shù)列

第2頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月單調(diào)數(shù)列:(1)若對一切n,有則稱數(shù)列{an}為單調(diào)增數(shù)列

.(2)若對一切n,有則稱數(shù)列{an}為單調(diào)減數(shù)列

本段我們討論數(shù)列{an}的極限第3頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定義對任意的正數(shù)>0,存在N>0,當(dāng)n>N

時,有則稱當(dāng)n

時,an

以A為極限,記作我們稱有極限的數(shù)列{an}為收斂數(shù)列

,而不存在的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列第4頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)列極限的幾何意義

當(dāng)n>N

時,有第5頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月解當(dāng)時,我們證明:如果r=0,則rn

=0下設(shè)對任意的>0,要使只需故取則當(dāng)n>N時,就有例對于數(shù)列,證明:當(dāng)時為收斂數(shù)列

第6頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:(1)當(dāng)r=1時,為收斂數(shù)列

(2)當(dāng)r=-1時,由于其輪番地取-1或1,不接近于任何常數(shù),故知為發(fā)散數(shù)列定理（數(shù)列收斂的必要條件）若則是有界數(shù)列,即存在M>0,使對任意n

都有第7頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月證明由則對=1,存在N>0,使當(dāng)n>N時,有于是有取則對任意的自然數(shù)n,有第8頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月構(gòu)成一數(shù)列定義在已給數(shù)列中,任意取出無限多項(xiàng)排成一列我們稱為的子數(shù)列

定理對的任一子數(shù)列有說明:對于數(shù)列取則取則發(fā)散第9頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理證明設(shè)則對任意>0,存在N>0,使當(dāng)n>N時,有由于2N>N,2N+1>N,故可取K=N,使當(dāng)k>K

時,就有2k>2K>N,2k+1>N,從而有即第10頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)則對任意>0,分別存在K1>0,K2>0,使當(dāng)k>K1

時,有當(dāng)k>K2

時,有取N=max{2K1,2K2+1},則當(dāng)n>N

時,必有即第11頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月30

自變量趨于有限值時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)f(x)

在x0的某個鄰域N(x0)(點(diǎn)x0可以除外)內(nèi)有定義,A是一常數(shù),若對任意給定的正數(shù)ε>0,使當(dāng)時,有則稱當(dāng)時,f(x)以A為極限,記作總可找到一,第12頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：（1）為什么x0可以除外？（2）ε為什么要任意給定而不是給定一個？（3）存在一的意義是什么？是否唯一？極限定義的幾何解釋：

顯然,在找到一個后,比其小的數(shù)都可作為定義中的

當(dāng)x在x0的去心鄰域時，函數(shù)y=f(x)圖形完全在以直線y=A為中心線，寬為2的帶區(qū)域第13頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例證明：因?yàn)楫?dāng)時，只要取的正數(shù)，此時當(dāng)就有所以第14頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例證明：證明由于，故只需在x=2的鄰近考慮問題不妨設(shè)由于為使只需讓即可，因此可取則當(dāng)就有所以證得第15頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例

證明：證明注意到及于是有所以可取由此證得第16頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例證明：證明由于所以證得故取第17頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例證我們證明不存在的點(diǎn)使可知在x=0的鄰近,函數(shù)f(x)在-1與1之間無限震蕩,不趨向于任何常數(shù),所以極限不存在f(x)在x=0的鄰近無限震蕩引起極限不存在第18頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例證我們先證：對任取的,f(x)在上無界選取N>0,使,f(x)在x=0的鄰近無界引起極限不存在第19頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月30單側(cè)極限右極限：如果保持x>x0,且

(簡記為第20頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月左極限：如果保持,且

(簡記為第21頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（左、右極限與極限的關(guān)系）關(guān)于左極限、右極限與極限有以下的結(jié)論：極限存在，而且證明有第22頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月由此證明了所以有第23頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例解第24頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月40

自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問題：當(dāng)自變量x

趨向無窮遠(yuǎn)處時，研究函數(shù)y=f(x)的變化趨勢自變量x

趨向無窮遠(yuǎn)處可分為以下三種情況：

-101xy

-101xy10x

y第25頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定義：說明：(1)

定義中的M不是唯一的,與ε有關(guān),重要的在于存在性在方向的水平漸近線的水平漸近線第26頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月在方向的水平漸近線與單側(cè)極限類似有以下定理定理說明：y=A是曲線

y=f(x)的水平漸近線的充要條件是y=A既是方向的又是方向的水平漸近線第27頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例證明：解對任給的要使只需又于是讓即取則當(dāng)時，就有所以第28頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月50

極限的性質(zhì)定理（唯一性定理）如果極限存在，則此極限值是唯一的證明用反證法設(shè)時,函數(shù)f(x)有兩個不同的極限,即且不妨設(shè)的情形類似證明)對于存在第29頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣地,存在取

同時有不等式成立

即矛盾,假設(shè)不成立,證畢于是得第30頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（局部有界性定理）時,有證明由根據(jù)極限的定義,對于,存在有于是結(jié)論成立第31頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

(局部保序性定理)證明由故對存在有可得第32頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月又由存在有即有現(xiàn)取有定理證畢第33頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月若定理中的g(x)=0,

則有以下的推論注意：局部保號性的逆定理未必成立反例但是推論

(局部保號性定理)則存在

x0的某去心鄰域使得

f(x)在此鄰域內(nèi)與A

保持同號,

即存在第34頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月盡管如此,仍有以下結(jié)論推論

且在x0

的某去心鄰域內(nèi)恒有,則有證明利用反證法及局部保號性定理即可證得說明：以上三個定理及推論對x

的其他趨限過程：及數(shù)列極限繼續(xù)成立第35頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月60無窮小(量)無窮大(量)我們注意到：因此以零為極限的量具有特殊的重要性無窮小(量)的定義：若則稱函數(shù)f(x)在時是一無窮小(量)第36頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：（1）無窮小并不是一個可任意小的量，它只是當(dāng)時可任意小，即無窮小是和自變量的某趨限過程聯(lián)系在一起的（2）定義中的可換成其它的趨限過程：定理（極限基本定理）其中是時的無窮小說明：定理對其它趨限過程及數(shù)列仍然成立(3)定義也適用于數(shù)列的情況第37頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮小的運(yùn)算性質(zhì)：定理有限個無窮小量的和也是無窮小量(同一趨限過程中)證明我們僅對的過程給出證明,其余過程同理可證.而且只需對兩個的情形加以證明就夠了(剩余用數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)令,要證第38頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)橛蓪θ我獾姆謩e存在故取第39頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月從而證明了定理若是時的無窮小,而f(x)

在上有界,則也是時的無窮小,即有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個無窮小的乘積是無窮小.第40頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：以上定理中的“有限個”不能換成“無窮多個”.“有限”與“無限”是有本質(zhì)區(qū)別的

無窮大(量)的定義：(1)設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義,如果對任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時,有則稱f(x)為時的無窮大(量)

,記為第41頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)如果對任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時,有則稱f(x)為時的正無窮大(量)

,記為(3)如果對任意的正數(shù)M>0,存在使當(dāng)時,有則稱f(x)為時的負(fù)無窮大(量)

,記為第42頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：（1）無窮大并不是一個可任意大的量，它只是當(dāng)時可任意大，即無窮大是和自變量的某趨限過程聯(lián)系在一起的.（2）定義中的可換成其它的趨限過程：(3)定義也適用于數(shù)列的情況第43頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮大量的運(yùn)算性質(zhì)：（1）

若在x

的某趨限過程中f(x)是無窮大,則是無窮小（2）

若在x

的某趨限過程中f(x)是無窮小,且則是無窮大（3）在

x

的某趨限過程中,若f(x)是無窮大,g(x)是有界量,則f(x)+g(x)是無窮大,即,有界量加無窮大是無窮大第44頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）在x的某趨限過程中,若f(x)是無窮大,g(x)滿足,則f(x)g(x)是無窮大說明：（1）有界量乘無窮大未必是無窮大!反例：（2）若或或則稱直線x=x0為曲線y=f(x)的垂直漸近線第45頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)無窮大量無窮大量無窮大量反例：

（4）反例：第46頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例（1）寫出的定義；

(2)證明：在的過程中，

為一無窮大解(1)(2)

我們證明：對任給的不妨設(shè)G>1(不然可取來證)要使只需即故取則當(dāng)時,有使當(dāng)時,有所以第47頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月70極限的運(yùn)算法則定理(極限的四則運(yùn)算法則)證明我們僅就的趨限過程證明結(jié)論(3),其余趨限過程類似可證第48頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月其中記則有由于是無窮小,故為證r是無窮小,只需證是有界量即可第49頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月由是無窮小且

存在使當(dāng)時,有因此于是即是有界量,所以r是無窮小定理證畢故對第50頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：（1）定理結(jié)論成立的前提是：存在，否則定理不成立(2)結(jié)論(3)中不可缺條件否則結(jié)論不成立推論（1）若存在，c為常數(shù)，則有（齊次性）（2）若存在，則有其中k為正常數(shù)（3）定理結(jié)論對數(shù)列也成立第51頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)若為常數(shù),存在,則有上式說明：極限運(yùn)算具有線性運(yùn)算性質(zhì)例證明：解設(shè)，其中p>1.則利用及結(jié)論(3)

知結(jié)論成立所以得到：第52頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例計(jì)算解例計(jì)算解第53頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例計(jì)算解原極限第54頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（復(fù)合函數(shù)的極限法則）如果又存在某使對任意，有則有證明因?yàn)楣蕦θ我獯嬖谑巩?dāng)時,有第55頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月又因故對這一存在

使當(dāng)時,有取，則當(dāng)時，且從而有因此說明：定理給出了極限變量代換的條件有第56頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理（夾逼準(zhǔn)則）如果則有設(shè)在某上有成立，證明由定理知其中對任意由有從而有第57頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月即又因所以對任意，存在時,有使當(dāng)時,有當(dāng)故取，時,有則當(dāng)由此證得第58頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

(數(shù)列夾逼準(zhǔn)則)若存在N>0,使當(dāng)n>N時,有且則也收斂,并且第59頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例利用夾逼定理證明重要極限：解因?yàn)椋?/p>

不妨設(shè)作單位圓的切線AC，于是有因?yàn)?第60頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月從而有所以即，由及夾逼定理得即當(dāng)時，第61頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：與重要極限的區(qū)別利用重要極限計(jì)算極限舉例：例計(jì)算解第62頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例計(jì)算解第63頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例計(jì)算解由復(fù)合函數(shù)極限法則有令則

當(dāng)時,

有（習(xí)題(A)：4）.于是有第64頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

(單調(diào)有界準(zhǔn)則)若函數(shù)f(x)是(a,b)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)有界函數(shù),則極限與都存在.證明：（略）說明：結(jié)論對無窮區(qū)間或也成立第65頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定理

(單調(diào)數(shù)列收斂準(zhǔn)則)(1)如果單調(diào)增數(shù)列{an}有上界,即則極限存在(2)如果單調(diào)減數(shù)列{an}有下界,即則極限存在第66頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月說明:(1)定理可簡述為:單調(diào)有界數(shù)列必有極限(2)定理指出極限存在,但沒有指出a

的具體值等于多少解例如果計(jì)算顯然對一切nN,an>0下證:對一切nN,an<3第67頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)n=1時,下設(shè)

,則有所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知,對一切nN,an<3單調(diào)增有上界收斂設(shè)在兩邊取極限,知a

滿足第68頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月即解得a=3或者a=-1(不合題意舍去),所以解例已知計(jì)算考慮單調(diào)性第69頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)xn>xn-1,由xn>0,有根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知{xn}單調(diào)增.又單調(diào)增有上界收斂設(shè)第70頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月在兩邊取極限,有解得所以例設(shè)a>0,x1>0,定義計(jì)算第71頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月解因?yàn)榧磳σ磺衝N,

又所以單調(diào)減,據(jù)收斂準(zhǔn)則知收斂,

第72頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)取極限有(負(fù)根舍去)所以第73頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月利用單調(diào)有界準(zhǔn)則及夾逼定理可以證明重要極限先利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明數(shù)列情形的重要極限:解設(shè)

,則第74頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月比較xn

與xn+1

的對應(yīng)項(xiàng)可知:即是單調(diào)增數(shù)列.利用上式可得所以是單調(diào)增有上界數(shù)列,根據(jù)收斂準(zhǔn)則知收斂,記其極限值為e,于是有第76頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月再利用夾逼定理證明極限:對任意的x>0,總存在正整數(shù)n

使且時，，由于

第77頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月利用夾逼定理:當(dāng)時，令，則有根據(jù)極限性質(zhì)證得第78頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月若令則利用極限的變換定理可得重要極限的另一表達(dá)形式：第79頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月例計(jì)算解原極限第80頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月80

無窮小的階當(dāng)時,然而這些無窮小的比值的極限是不同的究其原因：無窮小趨于零的速度是其變化的關(guān)鍵因素第81頁，課件共93頁，創(chuàng)作于2023年2月定義設(shè)都是同一趨限過程中的無