課題：均值不等式及其應用科目：數(shù)學教學對象：高一學生課時：1課時提供者：單位：一、教學內容分析

本節(jié)課《均值不等式及其應用》是人教B版第二章第二節(jié)的內容，主要內容是通過現(xiàn)實問題進行數(shù)學實驗猜想，構造數(shù)學模型，得到均值不等式；并通過在學習算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義基礎上，理解均值不等式的幾何解釋；與此同時在推導論證的基礎上進行公式的推廣并學會應用.均值不等式是這一章的核心，對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等應用問題都起到了工具性作用。有利于學生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值、值域進一步拓展與研究，起到承前啟后的作用.二、教學目標1、知識與技能：通過“從生活中發(fā)現(xiàn)問題，實驗中分析問題，設計中解決問題、總結問題，論證后延拓問題”五個環(huán)節(jié)使學生深刻理解均值不等式，明確均值不等式的使用條件，能用均值不等式解決簡單的最值問題.2、過程與方法：通過情境設置提出問題、揭示課題，培養(yǎng)學生主動探究新知的習慣；引導學生通過問題設計，模型轉化，類比猜想實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn)，體驗知識與規(guī)律的形成過程；通過模型對比，多個角度、多種方法求解，拓寬學生的思路，優(yōu)化學生的思維方式，提高學生綜合創(chuàng)新與創(chuàng)造能力.3、情感態(tài)度與價值觀：通過問題的設置與解決使學生理解生活問題數(shù)學化，并注重運用數(shù)學解決生活中的實際問題，有利于數(shù)學生活化、大眾化；同時通過學生自身的探索研究領略獲取新知的喜悅.三、學習者特征分析1、從學生知識層面看：學生對不等式的概念和性質有了感性的認識，在探究學習和應用實習的過程中，會解決最簡單的關于不等式的問題.2、從學生素質層面看：我所教的班級都是平行班，部分學生數(shù)學基礎較差；學生的理解能力，運算能力，思維能力等方面參差不齊；但學生有學好數(shù)學的自信心，有一定的學習積極性。四、教學策略選擇與設計本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導式的教學策略.通過設計問題引出課題，通過啟發(fā)引導解決問題、總結問題、論證問題、延拓問題等環(huán)節(jié)讓學生領悟科學的探究方法，增強學生的探究能力.在教學中指導學生展開聯(lián)想，大膽探索，以訓練和培養(yǎng)學生的思維能力.五、教學重點及難點重點：用均值不等式求解最值問題的思路和基本方法。難點：均值不等式的使用條件，合理地應用均值不等式．六、教學過程教師活動學生活動設計意圖情景激疑1.風車是我們小時候經(jīng)常玩的玩具，風車不僅帶給我們童年的樂趣，還在數(shù)學上有著重要的應用。如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客.你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？將圖中的“風車”抽象成如圖，教師發(fā)下講義讓學生思考.并提出問題：在正方形ABCD中有4個全等的直角三角形.設直角三角形的兩條直角邊長為a，b那么正方形的邊長為____________.這樣，4個直角三角形的面積的和是___________，正方形的面積為_________.由于4個直角三角形的面積______正方形的面積，我們就得到了一個不等式：.能否由此推出均值不等式的內容和條件。1、通過引導，讓學生主動地解決定理的證明，并形成猜想證明的嚴謹思維。2、通過提問進一步加深對基本不等式的理解，明確不等式成立的條件

二、引入概念結論：一般的，如果，我們有，當且僅當時，等號成立.特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得，通常我們把上式寫作：語言敘述：兩個正實數(shù)的算術平均值不小于它的幾何平均值.兩個正數(shù)的等差中項不小于他們的等比中項。

大屏幕展示問題，學生分組討論，合作交流，小組匯報，其它小組給展示的小組查缺補漏以便使所有的學生都能形成一個完備的知識體系小組討論，提出多種解決方法.讓學生拓寬思路，培養(yǎng)團結協(xié)作的習慣.三、深化理解

在圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD.結論：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”

教師提問：問題一：圖中，的長度是多少；問題二：與的大小關系如何？問題三、等號何時成立（讓學生分組討論，然后提問）

通過展示均值不等式的幾何直觀解釋，培養(yǎng)學生的數(shù)形的意識，并使抽象的問題更加直觀、形象，使學生的理解一進步加深四、變形應用

讓學生對定理形式進行變形.使學生能更靈活的應用公式五、定理鞏固已知ab>0,求證，并推導出等號成立的條件。[練習：判斷下列不等式是不是正確？AAAAA()(1).因為，所以最小值為。,思考：均值不等式應用的條件是什么？學生先練習后討論，自己總結。之后提問并讓學生指出錯誤，最后讓學生總結三條，一正、二定、三相等，并板書.讓學生注意定理的應用條件，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維.利用均值不等式求最值已知x>2,則的最小值為（）2B.4C.D.6已知x＞0，y＞0，且eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.逐步引導學生進行求解，在求解時適時引入求最值的方法。.學生正確理解均值定理應用的條件“正、定、等”,掌握均值定理的正用及拓展應用.通過變式使學生對試題進行深層的探索，激發(fā)興趣，培養(yǎng)能力.進一步體會均值不等式應用的“定”的條件，逐步學會均值定理的逆用和變用.同一道數(shù)學題，從不同的角度思考可得到多種解題思路，廣泛尋求多種解法，有助于拓寬解題思路，發(fā)展觀察、想象、探索、思維等能力.七、課堂總結理解均值不等式及其成立的條件均值不等式的使用條件會識別并應用均值不等式方法上學會分類討論和數(shù)形結合讓同學總結，其他同學補充.學生總結能讓學生對所研究問題有個總體的認識.八、布置作業(yè)學案A、B組習題鞏固知識

從學生知識層面看：學生已經(jīng)學習“不等式的性質”、“不等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎上對不等式的進一步研究．知曉不等式證明以及函數(shù)求最值的某些方法.對不等式的概念和性質有了感性的認識，在探究學習和應用實習的過程中，會解決最簡單的關于不等式的問題.從學生素質層面看：我所教的班級都是平行班，部分學生數(shù)學基礎較差；學生的理解能力，運算能力，思維能力等方面參差不齊；但學生有學好數(shù)學的自信心，有一定的學習積極性。需要教師加以鼓勵和引導。在動手和動腦等方面有待加強。教學內容：本節(jié)課主要內容是均值不等式。使學生在學習了不等式性質的基礎上的深入，屬于本章和這本書的重點內容。2.效果方面學生在不等式基礎上掌握的還可以，對預習也做得很充分。整個教學環(huán)節(jié)都很充實，但在積極主動性上還有所欠缺。這些需要教師及時適時鼓勵和引導。3.在學生掌握程度上，通過本堂課的教學，了解到大部分學生都能掌握本堂課的重點內容。但部分學生對均值不等式的應用還有所欠缺，需要教師課后進行鞏固。再就是對重難點的掌握，部分學生在課堂上掌握的不是很好，還需要多加練習。這個需要在后續(xù)課堂上繼續(xù)強調。主要措施：針對學生對重難點的掌握問題，需要課后及時鞏固和練習。尤其是對求最值這一難點的掌握，鑒于課堂時間原因，沒有做過多的深入探討，都需要在今后的例題習題中及時指導和鞏固。因材施教，分層要求，針對先進生及時挖掘其潛力，針對后進生側重基礎知識和能力的訓練。《均值不等式及其應用》是人教B版第二章第二節(jié)的內容，主要內容是通過現(xiàn)實問題進行數(shù)學實驗猜想，構造數(shù)學模型，得到均值不等式；并通過在學習算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定義基礎上，理解均值不等式的幾何解釋；與此同時在推導論證的基礎上進行公式的推廣并學會應用.均值不等式是這一章的核心，對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等應用問題都起到了工具性作用。有利于學生對后面不等式的證明及前面函數(shù)的一些最值、值域進一步拓展與研究，起到承前啟后的作用.在這之前學生已經(jīng)學習“不等式的性質”、“不等式的解法”及“線性規(guī)劃”的基礎上對不等式的進一步研究．知曉不等式證明以及函數(shù)求最值的某些方法.“均值不等式”是本章的重點內容，在不等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應用。求最值又是高考的熱點。同時本節(jié)知識又滲透了分類討論、化歸等重要數(shù)學思想，有利于培養(yǎng)學生良好的思維品質.為了幫助學生構建知識體系，教科書分三個層面來展現(xiàn)：第一層面，從簡單的不等式證明入手，在降低難度的基礎上讓學生體會基本不等式在證明不等式總中的作用；第二層面，通過應用題，體現(xiàn)基本不等式在實際問題的應用，以及讓學生體會簡單的基本不等式的應用；第三層面，通過分母是一次函數(shù)，分子是二次函數(shù)的分式形式，循序漸進的增加難度，讓學生學會判斷條件學會拼湊或者添項轉化為公式所需要的條件.本課正處于第一、第二個層面以及第三層面的初級階段.本節(jié)內容體現(xiàn)了數(shù)學的工具性、應用性，同時也滲透了轉化與化歸、數(shù)形結合、分類討論思想等數(shù)學思想.課時作業(yè)均值不等式及其應用1.不等式(x－2y)＋eq\f(1,x－2y)≥2成立的條件為()A.x≥2y，x－2y＝1 B.x＞2y，x－2y＝1C.x≤2y，x－2y＝1 D.x＜2y，x－2y＝12.已知x＞0，若x＋eq\f(81,x)的值最小，則x為()A.81 B.9C.3 D.163.小王從甲地到乙地往返的速度分別為a和b(a<b)，其全程的平均速度為v，則()A.a<v<eq\r(ab) B.v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D.v＝eq\f(2ab,a＋b)4.將一根鐵絲切割成三段做一個面積為2m2，形狀為直角三角形的框架，在下列四種長度的鐵絲中，選用最合理(夠用且浪費最少)的是()A.6.5m B.6.8mC.7m D.7.2m5.若x>0，y>0，則2x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,2y)的最小值是________6.某公司生產(chǎn)電飯煲，每年需投入固定成本40萬元，每生產(chǎn)1萬件還需另投入16萬元的變動成本，設該公司一年內共生產(chǎn)電飯煲x萬件并全部銷售完，每一萬件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝eq\f(4400,x)－eq\f(40000,x2)(10＜x＜100)，該公司在電飯煲的生產(chǎn)中所獲年利潤為W(萬元)，(注：利潤＝銷售收入－成本)(1)寫出年利潤W(萬元)關于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式，并求年利潤的最大值；(2)為了讓年利潤W不低于2360萬元，求年產(chǎn)量x的取值范圍.1.已知a＞0，b＞0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋2eq\r(ab)的最小值是()A.2 B.2eq\r(2)2.若0＜a＜1,0＜b＜1，且a≠b，則a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一個是()A.a2＋b2 B.2eq\r(ab)C.2ab D.a＋b3.若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________.4.森林失火，火勢以每分鐘100m2的速度順風蔓延，消防站接到報警后立即派消防員前去，在失火5分鐘到達現(xiàn)場開始救火，已知消防員在現(xiàn)場平均每人每分鐘可滅火50m2，所消耗的滅火材料、勞務津貼等費用平均每人每分鐘125元，所消耗的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而每燒毀1m2的森林損失費為60元，設消防隊派x名消防隊員前去救火，從到達現(xiàn)場開始救火到把火完全撲滅用n分鐘.(1)求出x與n的關系式；(2)求x為何值時，才能使總損失最少.通過本節(jié)課的教學，我做出了以下幾點反思：1.在教學環(huán)節(jié)的設置上還有所欠缺，引入不是很生動，當然這也與本節(jié)課的內容有關系。需要老師深挖資料。深化知識體系。再就是在課程資源的運用上，需要多運用各種資源，研究教學方法，提高課堂教學實效。多借鑒一些好的有用的課件，圖片，案例等資源更好地服務于教學。數(shù)學課難以理解比較抽象的資料能夠借助直觀教具，學具加強操作演示。2.因材施教，分層要求，培養(yǎng)優(yōu)生和輔導后進學生。課堂教學中，作業(yè)批改中，練習設計中，課后輔導中，對兩種類型的學生要區(qū)別對待。優(yōu)生側重挖掘潛力，激發(fā)學習探究的興趣，增強進一步學習的強烈欲望。后進生側重基礎知識和基本技能的掌握和訓練。中間學生側重鼓勵，向優(yōu)生看齊。學校教研組組織學生競賽等活動，培養(yǎng)學生的各種的潛力，挖掘學生的各種潛力。3.對學生的積極主動性上需要多鼓勵，多做出適時的引導。在課堂上更有效地把學生調動起來才能更好的完成這節(jié)課的任務。本節(jié)選自人教b版高中數(shù)學第一冊第二章等式與不等式。根據(jù)新課標要求，強調對基本概念、基本思想的理解和掌握，重視基本技能的訓練與時俱進地審視基礎知識和基本技能。對于不等式的教學要關注它的幾何背景和應用。為此我確定了本節(jié)課的知識與技能目標，通過“從生活中發(fā)現(xiàn)問題，實驗中分析問題，設計中解決問題、總結問題，論證后延拓問題”五個環(huán)節(jié)使學生深刻理解均值不等式，明確均值不等式的使用條件，能用均值不等式解決簡單的最值問題.根據(jù)新課程標準，在教學中，應鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與。既要有教師的講授和指導，又要有學生的自主探索與合作交流。教師要創(chuàng)設問題情境，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。所以過程與方法方面，通過情境設置提出問題、揭示課題，培養(yǎng)學生主動探究新知的習慣；引導學生通過問題設計，模型轉化，類比猜想實現(xiàn)定理的發(fā)現(xiàn)，體驗知識與規(guī)律的形成過程；通過模型對比，多個角度、多種方法求解，拓寬學生的思路，優(yōu)化學生的思維方式，提高學生綜合創(chuàng)新與創(chuàng)造能力.新課標要求關注數(shù)學的文化價值，促進學生科學觀的形成。數(shù)學是人類文化的重要組成部分，是人類社會進步的產(chǎn)物，也是