切線問題割線的極限位置——如圖,如果割線MN繞點MNfi0,NMTfi Mx0y0Nx,割線MN的斜率為tanfy

=f(x)-f(x0)

fiM,xfix0

x- x-

k=tana=limf(x)-f(x0)yy=f(yy=f(NCToaMfxx瞬時速度vlimstfit-t

x-定義設(shè)函數(shù)yfx)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量xx0處取得增量Dxx0Dx仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)地函數(shù)y得增量Dy=fx0Dx)fx0);如果Dy與Dx之比當(dāng)Dxfi0時的極限存在,則稱函數(shù)y=fx)x0處可導(dǎo),并稱這個極限為函0數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù) 記為y￠x= 0

或df(

y￠=limDy=limf(

+Dx)-f(x0dxx=

x

x=

Dxfi0

f(x)=

f(

+h)-f(x0).

(x)=

f(x)-f(x0)瞬時速度：vlims(t瞬時速度：vlims(ts(t0tfit-

xfi

x-x0y￠=limDy=limf(

+Dx)-f(x0x=

Dxfi0

f(x0+h)-f(x0

f(x)=

f(x)-f(x0)f(x0)=hfi

xfi

x-★導(dǎo)數(shù)是因變量在點x0處的變化率,它慢程度.★yfx)Ix?I,fx數(shù)值.這個函數(shù)叫做原來函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)y,fxdydfx). y￠limfxDxfDxfi fx)limfxhfxhfi f(x0)=f(

x= 0y￠=limDy=limf(

+Dx)-f(x0★

x=

Dxfi0

f(x)=

f(x)-f(x0)=

f(

+Dx)-f(x0); xfix0-

x-

f(x)=

f(x)-f(x0)=

f(x0+Dx)-f(x0); xfix0

x-

Dxfi ★fx)在點x0f-x0)和右f(x0)都存在且相等.,+(a)(b0設(shè)函數(shù)fx)f0

x?x0

可導(dǎo)性

x< limf

+Dx)-f(x0)=limy(

+Dx)-f(x0

=f(x

Dxfi- Dxfi- limf

+Dx)-f(x0)=limf(

+Dx)-f(x0

fx存在Dxfi

Dxfi 若f-(x0)=f(x0)= 則f(x)在點x0可導(dǎo)，且f(x0)=步驟:(1

Dy=f(x+Dx)-f(Dy=f(x+Dx)-f(x); 求極限y￠limDyDxfi0例1fxC(C為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)fxlimfxhfx)limCChfi

hfi

例2fx)sinx求(sinx)及(sinx)￠px=(sinx)￠limsinxhsinhfi

sin=limcos(x+h) 2=coshfi 2 \(sinx)￠p=cos4

224

=2例3yxn(n為正整數(shù)的導(dǎo)數(shù)xn)￠hfi

(x+h)n-xnh=lim[nxn-1+n(n-1)xn-2h+L+hn-1]=nxn-

(m? x)￠=2

x x x

=-1x

例4fx)ax(a0,a1的導(dǎo)數(shù)解(ax)￠

hfi

hfi =axln 例5ylogax(a0a1的導(dǎo)數(shù)解y￠limlogaxhlogahfi

log(1+ hfi1

xh =limloga(1xhfi

x)h

xloga 例6討論函數(shù)fx)x在x0處的可導(dǎo)性yy=ox解Qf(0hf(0)yy=ox limf(0+h)-f(0)=limh=hfi hfi0+limf(0+h)-f(0)=lim-h=-hfi hfi0-f(0)(0), \函數(shù)y=f(x)在x=0點不可導(dǎo) fx0)yfx)在點Mx0,fx0))處的切線的斜率,即

y=f(TMa0f(x)=tana 0

y-y0=f(x0)(x-x0

y-y0=

f(x0

(x-x0(xm)=mxm-1 (m?例7y1在點(1,2) 解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,k=

1 =-

x=12

(x

x2

x=12x所求切線方程為y24xx2

即4xy4

y-2=1(x-

即2x8y15非均勻變化量的瞬時變化率v(t)=

Ds

dsDtfi0 i(t)=limDq=dqDtfi0 定理凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo),limDy=f(x Dy=f(x)+Dxfi0

afi

(Dxfi

Dy=f(x0)Dx+limDy=lim[f(x0)Dx+aDx]=Dxfi Dxfifx)x0注意:該定理的逆定理不成立.★fx)f-x0(x0)yf(x)

￡

y=

y= x> fx)x0連續(xù),limDy=limf(

+Dx)-f(x0)=￥,Dxfi0 Dxfi yy=3x-01xyy=3x-01xf(x)=3x-x1處不可導(dǎo),(不可導(dǎo)點

yyyy=f(oxyy=f(ox3xy3x

y=2-3x-x0(指擺動不定x0點不可導(dǎo)y1y10x f(x)=xsinx x? x=在x0處不可導(dǎo)fx)fx)

1x?例8fx)xsinx

x=在x0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性解Qsin1

\limxsin1= xfi Qf(0)=limf(x)=

fx)在x0處連續(xù)xfi但在x0處有Dy

(0+Dx)

=sin 當(dāng)Dxfi0時Dy在1和1之間振蕩而極限不存在fx)在x0處不可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):增量比的極限f(x0)= f-(x0)=(x0)=導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù)

2fx)在某點x0fx0(f(x)fx)在某區(qū)間I上每一點都可導(dǎo)而定義在I上的一個新函數(shù)，即x?Ifx)與之對應(yīng)，所以兩者的聯(lián)系是：在某點x0fx0即是導(dǎo)fx)在x0處的函數(shù)值．2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的近1fxxx0fx0)limf(Dxfilimf(Dxfi

+Dx)-f(x0) -Dx)-f(x0) 3、設(shè)y1

(x)

1,

它們的導(dǎo)數(shù)分別為dy1 dy2 ，dy3 4、設(shè)f(x)=x2,則ff( ff( 5yex(01.二、在下列各題中均假定f(x0)存在，按照導(dǎo)數(shù)的定 A表示什么？1、limfxfx0xfi

x-2、limf(h)Af(00且f(0) 3、limf

+h)-f(x0-h)=h(0)(0)xksin1,x? fx)在x0(1（2）x2,x￡

axb,x1,為了使函數(shù)fx)在x1處連續(xù)且可導(dǎo)，abx,x?fxsinxxx,x?的坐標(biāo)為x[0,1]上細(xì)棒的質(zhì)mxmm(x)