高二數學不等式的性質及其應用通用版【本講主要內容】不等式的性質及其應用【知識掌握】【知識點精析】不等式的概念和性質是不等式進行變形的基礎，是解(證)不等式的主要依據。實數比較大小的理論依據：a—b>0€a>b；a—b=0€a=b；a—bvO€a<b；實數比較大小的方法：作差比較法不等式的基本性質：對每一條性質，一定要弄清條件和結論，尤其是要記準每一條性質的條件，注意條件放寬后，條件和結論之間發生的變化；避免由于忽略某些限制條件而造成解題失誤。掌握證明不等式性質的方法，可以進一步提高邏輯推理能力。【解題方法指導】例1.選擇題：(1)若aVbVO,則下列各式不成立的是()11A.> B.a2>ab C.a2>b2 D.ab<b2ab解析：由不等式的性質知A成立，aVbVO,aVO,則a2>ab，B成立，一a>—b>0,(—a)2>(—b)2，C成立，bVO，則ab>b2，D不成立，選D評析：準確地把握不等式性質成立的條件，是正確推理的關鍵。(2)OVxVyVaVl,則有( )A.loga(xy)VO B.OVloga(xy)VlC.1Vloga(xy)V2 D.loga(xy)>2解析：OVxVyVa,則有0VxyVa2,而aVl,loga(xy)>logaa2=2，故選D評析：本題是對不等式的性質與對數函數的單調性的綜合考查例2.已知a>b>c,比較a2b+b2c+c2a與ab2+bc2+ca2的大小解析：a2b＋b2c＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)=a2(b—c)+bc(b—c)+a(c2—b2)=(b—c)[a2—(b+c)a+bc]=(b—c) (a—b) (a—c)>0a2b+b2c+c2a>ab2+bc2+ca2評析：比較法是比較兩實數大小的最基本的方法,又分作差比較法,作商比較法,以上兩例均是利用作差比較法,其步驟是：“作差(商)——變形——判斷”,其中變形是關鍵,常用的變形方法有配方法,分解因式法,分子或分母有理化等。同學們要注意體會與積累變形時的常用技巧。另外選擇題比較大小,還常用特值法,排除法,單調性,圖象法等。例3.已知a,b,c,d是互不相等的正數，且滿足OVW-、：b<vc—yd,a+b=c+d,則下列不等式正確的是( )A.ab>cd，a>c>d>b B.ab>cd，c>a>b>dC.ab<cd，a>c>d>bD.ab<cd，a>b>c>d解析：0<Ja—\b<\''c-寸d,a>b,c>d且(斗a—、；b)2<( —、d)2,即a+b——2ab<c+d——2\：cda+b=c+d,?ab>cd，排除C、D,令a=3,b=2,c=4,d=1,滿足0<Ja—^b<Vc—Jd,a+b=c+d,排除A,選B點評“由已知想性質”是轉化已知的思想方法,條件中根式應轉化為有理式,因此需平方,另外解選擇題常常利用特值淘汰。【考點突破】【考點指要】近幾年的高考試題對不等式概念和性質的考查,大部分以選擇題和填空題的形式出現。考查通常分為三個層次：層次一：利用不等式的性質與實數的性質、函數性質的結合,進行數值大小的比較。層次二：根據給定條件,利用不等式的性質,判斷不等式或與之有關的不等式是否成立。層次三：判斷不等式中條件與結論之間的關系,是充分條件或必要條件,或充分必要條件。

典型例題分析】1例4.（06年某某卷）若a>0,b>0,則不等式一bV<a等價于（ ）x11A.— <x<0或0<x<—1B.— <x<a11C.x1B.— <x<a11C.x<——或x>—ab11D.x<——或x>—ba解析：當x>0時,1 1 1—b< <aO <aOx>x x a1當x<0時，一b< <aO—b<x11x<—，故選Doxb…1—<ax評析：本題可以解分式不等式組?1 ，但不如分類討論，利用不等式性質做簡單->—b、x11例5.（05年某某卷）已知實數a,b滿足等式（2）a=（3）b，下列五個關系式①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中可能成立的關系式有（）A.1個 B.2個 C.3個D.4個解析：（2）a=（3）b二lg（2）a=lg（3”即alg2=blg3,可知a,b同號，b一a=alg2 lg2一a=a（一1）,a<0時b>a,a>0時b<a,a=0時，b=a,故可能成立的有lg3 lg3①②⑤，選C例6.（2000年某某卷）若已知二次函數y=f（x）的圖象過原點，且1Wf（—1）W2,3Wf（1）W4求f（—2）的X圍。錯解：y=f(x)過原點，設f(x)=ax2+bxf(—1)=a—b f(1)=a+b132<a<3,_<b<-又f(—2)=4a—2b,8<4a<12,1<2b<3,—3<—2b<—122???5<4a—2b<11…1<a—b<2 1 3辨析= 7 =2<a<3,—<b<―,反之不成立如[3<a<b<4 2 213滿足2<a<3,1<b<3不滿足不等式組22正解1：利用解方程思想

f(x)=ax2,bx,.…f(1)f(x)=ax2,bx,.…f(1)=a,bf(-1)=a-b2 f(-2)=4a-2b=3f(-1),f(1),b=2[f(1)-f(-1)]1<f(-1)<2,3<f(1)<4?…6<f(-2)<10正解2：待定系數法€f(1)=a，b1f(-1)=a-b設f(—2)=4a—2b=m(a+b)+n(a—b)=(m+n)a+(m—n)b€m,n=4 €m=1…{ …?{ ?…f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1)…Im-n=-2 In=31Wf(—1)W2,3Wf(1)W4?：6Wf(—2)W10達標測試】、選擇題：(2004年卷)已知a,b,c滿足cVbVa,且acVO,那么下列選項中一定成立的是()A.ab>ac B.c(b—a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a—c)>011已知a>b，則不等式①a2>b2②<〒③ac2>bc2中不成立的個數是()abA.0 B.1 C.2D.3a三b,可以推出()1 1 a bA.—三B.ac2三bc2C. >D.(ac)2三(be)2a b c2 c2“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件已知x>2,貝y()A.x3＋2>2x2＋x B.x3＋2<2x2＋x C.x3＋2<2x2＋xD.以上都不對TOC\o"1-5"\h\z設a>b>c>0,貝9下列不等式成立的是( )abA.lb—al±1B.2a<2bC.lg<0D.0<<1ba設a<0,—1<b<0,則a,ab,ab2三者的大小關系為( )A.a<ab<ab2B.ab<a<ab2C.a<ab2<abD.ab2<ab<a已知f(x)在R上是增函數且a+b>0,貝9( )f(a)＋f(b)>f(—a)＋f(—b)f(a)＋f(b)<f(—a)＋f(—b)f(—a) ＋f(a)>f(—b)＋f(b)f(—a)＋f(a)<f(—b)＋f(b)

9.（2005年全國III,6）若9.（2005年全國III,6）若a=ln2Tln3ln5b=丁,c=，則（A.aVbVc B.cVbVaC.cVaVbD.bVaVc二、填空題：已知?，?t,0?P?€，則，E的取值范圍是222a,b…R,那么“a2+b2<l”,是“ab+l>a+b”的 條件cd已知三個不等式(1)ab>0；(2)；(3)bc>ad，以其中兩個作為條件，ab余下一個作為結論，則可以組成 個正確命題。設1VxV10,則lg2X,lgX2和lg(lgx)的大小關系為 三、解答題：已知x>3，比較X3+11x與6x2+6的大小比較a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小【綜合測試】一、選擇題：TOC\o"1-5"\h\z若a,b為實數，則“a>b>0”是“a2>b2”的( )A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件€€若角,，卩滿足—2v，?卩?2，則，—卩的取值x圍是( )A.-€?，—P?0B.—兀V，—P?0C.一€V,—PV兀D.—€?，—P?€3.若aM0或bM0,貝9( )A.a2+b2>abB.a2+b2?ab C.a2+b2<abD.a2+b2?ab已知x<a<0,則一定成立的不等式是( )A.x2VaxV0B.x2>ax>a2C.x2Va2V0D.x2>a2>ax若xM2或yM—1,M=x2+y2—4x+2y,N=—5, 則M與N的大小關系是( )A.M>N B.M<N C.M=ND.不能確定若a,b是任意實數，且a>b,貝9()b 1 1A.a2>b2B. <1C.lg(a—b)>0D.()a<G)ba 2 2117.(2004年某某卷)若一<〒<0,則下列不等式：(1)a+b<ab； (2)lal>lbl； (3)abbaa<b； (4) +->2中，正確的個數是( )abA.1 B.2 C.3 D.48.已知函數f(x)=x3+x,x.,x2,x3…R,x+X<0,X+X<0,X+X<0,1 2 3 1 2 2 3 1 3

那么f(X)€f(X)€f(X)的值( )1 2 3A.一定大于0 B.一定小于0C.等于OD.正負都有可能9.若aVbVO,則下列結論中正確的是()A.不等式-)1和丄〉丄均不能成立ababB.亠〉B.亠〉1和n〉1均不能成立a一baa|b1\111?2<1?2C.一〉一和a€—〉b+—a一baLb丿La丿均不能成立D.1?D.1?2(1?2丄〉丄和…a€1丫〉…b€1?2均不能成立二、 填空題：若f(X)=3x2—x+1,g(x)=2x2+x—1,則f(x)與g(x)的大小關系是f(x) g(x)11有以下四個條件①b>O>a；②0>a>b；③a>O>b；④a>b>0。其中能使一〈〒成ab立的條件有 已知實數a,b滿足等式log2a=log3b,給出下列五個等式：①a>b>1；②b>a>1；③aVb<1；④bVaV1；⑤a=b其中可能成立的關系式是 ac若a,b,c,d均為實數，使不等式—>—>0和adVbc都成立的一組值(a,b,c,bdd)是 (只要寫出適合條件的一組值即可)三、 解答題：比較1+logx3與2logx2(x>0且xM1)的大小已知1Va—bV2,2Va+bV4,求4a—2b的X圍材懷熱叢生命嗎？那么別浪夷時間，因対時間是組成生y命的材料 富蘭克襪【達標測試答案】一、選擇題：A解析：由條件易知a>0,cV0,由b>c得ab>acD 3.B 4.A解析：a>2且b>2可得a+b>4且ab>4,反之，不成立，如a=10,b=1有a+b>4且ab>4則不滿足a>2且b>2。TOC\o"1-5"\h\zADa a b解析：a>b>0可得->1,lg>0,0VVI,C錯D對b b aC提示：可用特值法，也可用作差比較法A解析：a+b>0,則a>—b, b>—a, f (a) >f (—b),f (b) >f(—a),故選AC丄 ln2ln33ln2—2ln3 1o. ,解析：a—b= — = =7(ln8一ln9)V0aVb，同理可得cVa,2 3 6 6，cVaVb,選C二、 填空題：3k ?10一——<2a——<n2 2解析：ab+l>a+bOa(b—1)—(b—1)>0O(a—1)(b—1)>0,a2+b2<1=aV1,bV1=(a—1)(b—1)>0,反之，不一定成立。故a2+b2<l是ab+l>a+b的充分不必要條件cdcbcbe—ad小解析：- <-O-虧〉0O >0,顯然任意兩個作為條件，都可以推abad ab出第三個成立，故可以組成的正確命題有3個。解析：1VxV10,，0VlgxV1,，0Vlg2xV1,lg(lgx)V0,lg2x—lgx2=lg2x—2lgx=lgx(lgx—2)V0,，lg2xVlgX2，?lg(lgx)Vlg2xVlgx2三、 解答題：解:x+11齊一 -6=x-3^-3x+11^—6?°?x3<11x>6x2<615.解析：a2+b2+c2—(ab+bc+ca)1=—(a2—2ab+b2+a2—2ac+c2+b2—2bc+c2)2=2[(a—b)2+(b—c)2+(a—c)2]-0，a2+b2+c2、ab+bc+ca綜合測試答案、選擇題:

1.A3.A2.B解析：b 3b2a2+b2-ab=a2—ba+b2=(a—2)2+〒1.A3.A2.B解析：b 3b2a2+b2-ab=a2—ba+b2=(a—2)2+〒>°，故選A4.B7.B5.A6.D解析：1 1 b a由一<丁<0得bVaVO,故a+bVOVab；lalVlbl；—+〒>2,故(1)(4)正確,a b a b選B。8.B解析：由已知得x<-x,x<-x,- 2 2 3x-€-x3,(x),x3+x在R上為增函數，且為奇函數，???/(x-)</(-叮/(叮</(-X3)???/(X-)+/(X2)+/(X3)</(一X2)+/(一X3)+/(一X-)'從而得/(x)+/W)+/(U<0，故選B9.B解析：法一?~-b…-*.*aVbVO?aVa—bVO--故〉一不成立；TaVbVOa一ba?lal>lbl----,故〉芮不成立，故選B。lblbl另外A中-)-成立，C與D中|a+- b+丄丿2成立ab證明如下：aVbVO,???1(-〈0???a+-Vbab1b+ VO,a11.??la+l>lb+lba法二：令a=—2,b=—1,代入選擇支，易知B正確。注意本題可先證簡單不等式是否成立，而不要直接證明a+丁<b丿〉b