數學解題思維高中數學組思維的變通性數學問題千變萬化，要想既快又準的解題，總用一套固定的方案是行不通的，必須具有思維的變通性

——善于根據題設的相關知識，提出靈活的設想和解題方案。觀察—聯想—轉化一、思維變通性相關概念1.善于觀察觀察是認識事物最基本的途徑，它是了解問題、發現問題和解決問題的前提。任何一道數學題，都包含一定的數學條件和關系。要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題思路，找到解題方法。

但每項都是兩相鄰自然數的積的倒數，2.善于聯想

聯想是問題轉化的橋梁。稍具難度的問題和基礎知識的聯系，都是不明顯的、間接的、復雜的。因此，解題的方法怎樣、速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，做出相應的聯想，將問題打開缺口，不斷深入。3.善于將問題進行轉化

數學解題是命題的連續變換——數學家G.波利亞解題過程是通過問題的轉化才能完成的

轉化是解數學題的一種十分重要的思維方法。那么怎樣轉化呢？概括地講，就是把復雜問題轉化成簡單問題，把抽象問題轉化成具體問題，把未知問題轉化成已知問題。例如

思維定勢

思維變通性的對立面是思維的保守性，即思維定勢。思維定勢是指一個人用同一種思維方法解決若干問題以后，往往會用同樣的思維方法解決以后的問題。它表現就是記類型、記方法、套公式，使思維受到限制，它是提高思維變通性的極大的障礙，必須加以克服。小結善于觀察、善于聯想、善于進行問題轉化，是數學思維變通性的具體體現。要想提高思維變通性，必須作相應的思維訓練。

二、思維訓練實例1.觀察能力的訓練

雖然觀察看起來是一種表面現象，但它是認識事物內部規律的基礎。所以，必須重視觀察能力的訓練，學會能用常規方法解題外，還能根據題目的具體特征，采用特殊方法來解題。

例1

思路分析

從題目的外表形式觀察到，要證的結論的右端與平面上兩點間的距離公式很相似，而左端可看作是點到原點的距離公式。根據其特點，可采用下面巧妙而簡捷的證法，這正是思維變通的體現。思維障礙

很多同學看到這個不等式證明題，馬上想到采用分析法、綜合法等，而此題利用這些方法證明很繁。未能從外表形式上觀察到它與平面上兩點間距離公式相似的原因，是對這個公式不熟，進一步講是對基礎知識的掌握不牢固。因此，平時應多注意數學公式、定理的運用練習。

例2思維障礙

思路分析

最有些問題的觀察要從相應的圖像著手

（數難想形）例3思路分析

xyO2圖1－2－2思維障礙

2.聯想能力的訓練

例4

思路分析

思維障礙

有的同學可能覺得此題條件太少，難以下手，原因是對三角函數的基本公式掌握得不牢固，不能準確把握公式的特征，因而不能很快聯想到運用基本公式。

例5思路分析

證明：

思維阻礙

由于這是一個關于自然數的命題，一些同學會想到用數學歸納法來證明，難以進行數與形的聯想，原因是平時不注意代數與幾何之間的聯系，單純學代數，學幾何，因而不能將題目條件的數字或式子特征與直觀圖形聯想起來。

3.問題轉化的訓練

我們所遇見的數學題大都是生疏的、復雜的。在解題時，不僅要先觀察具體特征，聯想有關知識，而且要將其轉化成我們比較熟悉的，簡單的問題來解。恰當的轉化，往往使問題很快得到解決，所以，進行問題轉化的訓練是很必要的。

（1）轉化成容易解決的明顯題目例6思路分析

思維障礙

很多同學只在已知條件上下功夫，左變右變，還是不知如何證明三者中至少有一個為1，其原因是不能把要證的結論“翻譯”成數學式子，把陌生問題變為熟悉問題。因此，多練習這種“翻譯”，是提高轉化能力的一種有效手段。

例7思路分析

AO′L將（2）代入（1）得：

(2)逆向思維的訓練

逆向思維不是按習慣思維方向進行思考，而是從其反方向進行思考的一種思維方式。當問題的正面考慮有阻礙時，應考慮問題的反面，從反面入手，使問題得到解決。

(正難想反）例8思路分析

反證法被譽為“數學家最精良的武器之一”，它也是中學數學常用的解題方法。當要證結論中有“至少”等字樣，或以否定形式給出時，一般可考慮采用反證法。

(3)一題多解訓練

由于每個同學在觀察時抓住問題的特點不同、運用的知識不同，因而，同一問題可能得到幾種不同的解法，這就是“一題多解”。通過一題多解訓練，可使同學們認真觀察、多方聯想、恰當轉化，提高數學思維的變通性。

例9在平面坐標系中，在y軸的正半軸上（坐標原點除外），給定兩點A、B，試在x軸正半軸上求點C，使∠ACB取得最大值。1.求∠ACB的三角函數的表達式方法1:聯想二角和差公式

tanθ=tan(α-β)或sinθ=sin(α-β)方法2:聯想余弦定理方法3：聯想面積公式設∠OCB=

α，∠OCA=β，∠ACB=θ2.應用平面幾何性方法4：過A、B作與x軸正半軸相切的圓，