1、穩(wěn)定驗(yàn)算的重要性設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度演算剛度演算最基本的必不可少穩(wěn)定性演算：2、平衡狀態(tài)的三種情況穩(wěn)定平衡：在某個(gè)平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，恢復(fù)原位。不穩(wěn)定平衡：在某個(gè)平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，不能恢復(fù)原位，繼續(xù)偏移。中性平衡：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)。§16-1兩類穩(wěn)定問題概述

高強(qiáng)度材料應(yīng)用、結(jié)構(gòu)形式的發(fā)展，結(jié)構(gòu)趨于輕型、薄壁化，更易失穩(wěn)，穩(wěn)定計(jì)算日益重要。

失穩(wěn)造成的工程事故時(shí)有發(fā)生。1922華盛頓鎳克爾卜克爾劇院倒塌；1983社科院科研樓施工過程中，腳手架整體穩(wěn)定性破壞……穩(wěn)定是指：假設(shè)對(duì)結(jié)構(gòu)施加一微小干擾使偏離其原位置，當(dāng)干擾去除后，結(jié)構(gòu)能恢復(fù)到原來的平衡位置第1頁/共61頁C3、失穩(wěn):隨著荷載的逐漸增大,結(jié)構(gòu)的原始平衡位置由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡.這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性.⑴分支點(diǎn)失穩(wěn)：（第一類失穩(wěn)）完善體系（或稱理想體系）：直桿（無初曲率），中心受壓（無初偏心）。Pl/2l/2PΔOP1<Pcr=1<PcrABP1Pcr原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的是唯一的P2>PcrΔⅠ(穩(wěn)定)Ⅰ(不穩(wěn)定)Ⅱ(大撓度理論)Ⅱ(小撓度理論)DD′P2原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。存在兩種不同形式的平衡狀態(tài)(直線、彎曲）。分支點(diǎn)B將原始平衡路徑Ⅰ

分為兩段。在分支點(diǎn)B出現(xiàn)平衡的二重性。原始平衡由穩(wěn)定轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定。臨界荷載、臨界狀態(tài)2>Pcr由于荷載自Pcr至壓潰歷程極短，故Pcr就成了失穩(wěn)的標(biāo)志。而大撓度理論和小撓度理論求出的臨界荷載十分貼近，可采用簡單的小撓度理論求Pcr。第2頁/共61頁

Pcr

Pcrqcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合

Pcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合原始平衡：平面彎曲新平衡形式：斜彎曲加扭轉(zhuǎn)

結(jié)構(gòu)的變形產(chǎn)生了質(zhì)的改變。即原來的平衡形式成為不穩(wěn)定而可能出現(xiàn)新的與原來平衡形式有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式，同時(shí)，這種現(xiàn)象帶有突然性。分支點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：其它結(jié)構(gòu)的分支點(diǎn)失穩(wěn)第3頁/共61頁⑵極值點(diǎn)失穩(wěn)：（第二類失穩(wěn)）非完善體系：具有初曲率的壓桿承受偏心荷載的壓桿PPPΔOPcr(大撓度理論)(小撓度理論)PePe接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載穩(wěn)定問題與強(qiáng)度問題的區(qū)別：強(qiáng)度問題是在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下：當(dāng),小變形，進(jìn)行線性分析（一階分析）。當(dāng),大變形，進(jìn)行幾何非線性分析（二階分析）。重點(diǎn)是求內(nèi)力、應(yīng)力穩(wěn)定問題重點(diǎn)是研究荷載與結(jié)構(gòu)抵抗力之間的平衡；找出變形急劇增長的臨界點(diǎn)及相應(yīng)的臨界荷載。在變形后的幾何位置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。非線性分析，疊加原理不再適用。

極值點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：結(jié)構(gòu)一開始受壓就處于壓彎狀態(tài)，失穩(wěn)與穩(wěn)定無明顯的界限，只是當(dāng)接近失穩(wěn)時(shí)，荷載增加很小，而撓度迅速增加。P-Δ曲線具有極值點(diǎn)。由于結(jié)構(gòu)的變形過大，結(jié)構(gòu)將不能正常使用。第4頁/共61頁P(yáng)lk1、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)EI=∞1）按大撓度理論分析PθRAPθOAPcrBⅠ(穩(wěn)定)Ⅰ(不穩(wěn)定)Ⅱ(大撓度理論)不穩(wěn)定平衡Ⅱ(小撓度理論)隨遇平衡

分支點(diǎn)A處的臨界平衡也是不穩(wěn)定的。對(duì)于這種具有不穩(wěn)定分支點(diǎn)的完善體系，一般應(yīng)當(dāng)考慮初始缺陷的影響，按非完善體系進(jìn)行穩(wěn)定性演算。2）按小撓度理論分析

θ<<1

小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載,但不能反映當(dāng)θ較大時(shí)平衡路徑Ⅱ的下降(上升)趨勢。隨遇平衡狀態(tài)是簡化假設(shè)帶來的假象。注:1）平衡方程是對(duì)變形以后的結(jié)構(gòu)新位置建立的。

2）建立平衡方程時(shí)方程中各項(xiàng)應(yīng)是同量級(jí)的，主要力項(xiàng)（有限量）要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的微量變化，次要力項(xiàng)（微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。⑶兩類穩(wěn)定計(jì)算簡例第5頁/共61頁P(yáng)lk2、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)EI=∞1）按大撓度理論分析PθRAεP/klθOε=0ε=0.1ε=0.210.6950.380.5360.421.371.47π/2P/klεO10.20.5360.10.6950.30.415這個(gè)非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn).Pcr隨ε增大而減小.第6頁/共61頁P(yáng)lkEI=∞2）按小撓度理論分析PθRAεP/klθO設(shè)：ε<<1，θ<<1ε=0ε=0.1ε=0.2ε=00.40.81.21.610.80.60.40.2各曲線都以水平直線P/kl=1為漸近線,并得出相同的臨界荷載值Pcr=kl對(duì)于非完善體系，小撓度理論不能得出隨著ε的增大Pcr會(huì)逐漸減小的結(jié)論.。第7頁/共61頁3、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)1）一般說來，完善體系發(fā)生分支點(diǎn)失穩(wěn)，非完善體系生極值點(diǎn)失穩(wěn)。2）分支點(diǎn)失穩(wěn)的特征是存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點(diǎn)出現(xiàn)平衡形式的二重性，極值點(diǎn)失穩(wěn)只存在一個(gè)平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點(diǎn)。3）只有按大撓度理論才能得出穩(wěn)定問題的精確結(jié)論，但小撓度理論比較簡單適用，特別是在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中通常也能得出臨界荷載的正確值。但也要注意它的某些結(jié)論的局限性。4）在實(shí)際結(jié)構(gòu)中難以區(qū)分這兩類失穩(wěn)問題。但分支點(diǎn)失穩(wěn)問題更具有典型性，就失穩(wěn)的突發(fā)性而言，更有必要首先加以研究；另外，在許多情況下，分支點(diǎn)臨界荷載可作為臨界荷載的上限考慮。

以下只討論完善體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問題，并由小撓度理論求臨界荷載。第8頁/共61頁§16-2有限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法和能量法穩(wěn)定計(jì)算最基本最重要的方法靜力法：考慮臨界狀態(tài)的靜力特征。（平衡形式的二重性）能量法：考慮臨界狀態(tài)的能量特征。（勢能有駐值，位移有非零解）PlABk要點(diǎn)是利用臨界狀態(tài)平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外尋找新的平衡位置，列平衡方程，由此求臨界荷載。lθ=0，原始平衡θ≠0，新平衡形式特征方程（穩(wěn)定方程）臨界荷載MA=kθ

確定體系變形形式(新的平衡形式)的獨(dú)立位移參數(shù)的數(shù)目即穩(wěn)定體系的自由度.PAB轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)kB′λθEI=∞1、靜力法

對(duì)于具有n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)，新的平衡形式需要n個(gè)獨(dú)立的位移參數(shù)確定，在新的平衡形式下也可列出n個(gè)獨(dú)立的平衡方程，它們是以n個(gè)獨(dú)立的位移參數(shù)為未知量的齊次代數(shù)方程組。根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征，該齊次方程組除零解外（對(duì)應(yīng)于原有平衡形式），還應(yīng)有非零解（對(duì)應(yīng)于新的平衡形式），故應(yīng)使方程組的系數(shù)行列式為零，D=0即為穩(wěn)定方程，從穩(wěn)定方程求出的最小根即為臨界荷載Pcr。第9頁/共61頁

例1：圖示體系中AB、BC、CD各桿為剛性桿。使用兩種方法求其臨界荷載。lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）靜力法設(shè)變形狀態(tài)求支座反力列變形狀態(tài)的平衡方程（a）如果系數(shù)行列式≠0y1，y2為零，對(duì)應(yīng)原始平衡形式。如果系數(shù)行列式=0y1，y2不為零，對(duì)應(yīng)新的平衡形式。ABCD1-1對(duì)稱問題可利用對(duì)稱性做。P第10頁/共61頁2、能量法靜力法對(duì)等截面壓桿的穩(wěn)定分析較為簡單，而對(duì)變截面桿、有軸向分布荷載作用的桿就較為麻煩。也可從穩(wěn)定與能量的關(guān)系來分析穩(wěn)定性。剛性小球運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性與能量的關(guān)系設(shè)靜止點(diǎn)A、B、C點(diǎn)Π=0ABCA點(diǎn)為穩(wěn)定平衡，偏離A點(diǎn)δΠ＞０其勢能將增加，故知穩(wěn)定平衡位置的勢能為最小。B點(diǎn)為隨遇平衡，偏離B點(diǎn)δΠ=０勢能不變。C點(diǎn)為不穩(wěn)定平衡，偏離C點(diǎn)δΠ＜０其勢能將減小，故知不穩(wěn)定平衡位置的勢能為最大。第11頁/共61頁

對(duì)于彈性變形體系，其穩(wěn)定性與能量的關(guān)系與剛性小球情況相似。設(shè)原始平衡狀態(tài)為零勢能點(diǎn)，讓體系微小偏移，荷載在位移上做功W（外力勢能UP=－W）使體系偏移，內(nèi)力在變形上產(chǎn)生變性能U，使體系恢復(fù)原位置。總勢能Π=U+UP即總勢能的增量δΠ。

如總勢能Π=U+UP>0（δΠ>0），體系能恢復(fù)原位置，平衡是穩(wěn)定的；如總勢能Π=U+UP=0（δΠ=0），體系能在任意位置平衡，平衡為中性的；如總勢能Π=U+UP<0（δΠ<0），體系不能恢復(fù)原位置，平衡是不穩(wěn)定的。

用能量法求臨界荷載，依據(jù)于臨界狀態(tài)的平衡條件，它等價(jià)于勢能駐值原理：彈性體系在臨界狀態(tài)，其總勢能為駐值，即δΠ=0或：Π=0（單自由度體系）（用于多自由度體系）PlABklMA=kθPABB′λθEI=∞Π=0第12頁/共61頁彈性體系的平衡方程勢能駐值原理：對(duì)于彈性體系，在一切微小的可能位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移（真實(shí)位移）使結(jié)構(gòu)的勢能Π為駐值，即：δΠ=0,Π=應(yīng)變能U+外力勢能UPMA=kθ22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=kθ彈性應(yīng)變能荷載勢能:應(yīng)用勢能駐值條件:位移有非零解得：PlABkB′λθEI=∞單自由度體系也可由Π=0解得：第13頁/共61頁

總勢能是位移θ的二次函數(shù)，1）P<k/l，當(dāng)θ≠0，Π恒大于零（Π為正定）(即U>UP表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，使壓桿恢復(fù)到原有平衡位置)當(dāng)θ=0，Π為極小值0。對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實(shí)的位移使Π為極小值2）P>k/l，當(dāng)θ≠0，Π恒小于零（Π為負(fù)定）(即U<UP表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置)

。當(dāng)θ=0，Π為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l，當(dāng)θ為任意值時(shí)，Π恒等于零(即U=UP)

。體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時(shí)的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l。θΠP<PcrθΠP>PcrθΠP=Pcr

結(jié)論：1）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢能為駐值δΠ=0

，且位移有非零解。即：在荷載達(dá)到臨界值前后，總勢能由正定過渡到非正定。3）如以原始平衡位置作為參考狀態(tài)，當(dāng)體系處于中性平衡P=Pcr

時(shí)，必有總勢能=0。對(duì)于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。第14頁/共61頁P(yáng)kky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位置各桿端的相對(duì)水平位移)(1222121+-=yyyyl])([212221221+-+=\yyyyllD點(diǎn)的水平位移彈性支座應(yīng)變能:)(22221+=yykU荷載勢能:)(222121+--=-=yyyylPPUPl體系總勢能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP勢能駐值條件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=??=??yyPP以后的計(jì)算步驟同靜力法能量法步驟:①給出新的平衡形式;②寫出總勢能表達(dá)式;③建立勢能駐值條件;④應(yīng)用位移有非零解的條件,得出特征方程;⑤解出特征值,其中最小的即臨界荷載Pcr。勢能駐值條件等價(jià)于以位移表示的平衡方程。第15頁/共61頁體系總勢能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP總勢能Π是位移y1、y2的對(duì)稱實(shí)數(shù)二次型。如果P<kl/3=Pcr，Π是正定的。如果kl/3<

P<kl，Π是不定的。如果P=kl/3=Pcr，Π是半正定的（當(dāng)y1=—y2

時(shí)，Π=0）。如果P=kl，Π是半負(fù)定的（當(dāng)y1=y2

時(shí)，Π=0）。如果P>kl，Π是負(fù)定的。由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢能Π由正定過渡到非正定。（或說：勢能達(dá)駐值，位移有非零值）非正定第16頁/共61頁P(yáng)PllABCk例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。1、靜力法：兩個(gè)自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：求失穩(wěn)曲線：實(shí)際失穩(wěn)曲線只是理論上存在的失穩(wěn)曲線第17頁/共61頁2、能量法：外力勢能：PPllABCk2qk()21qq-kλ應(yīng)變能：總勢能：根據(jù)勢能駐值條件：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：以下計(jì)算同靜力法。第18頁/共61頁例3：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP第19頁/共61頁例3：用能量法求圖示體系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。求變形能和外力勢能：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP當(dāng)桿件上無外荷載作用時(shí)，桿端力的功=變形能。第20頁/共61頁P(yáng)例4：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個(gè)自由度，取Δ1Δ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’第21頁/共61頁1-1P

用能量法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個(gè)自由度，取Δ1Δ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’求變形能和外力勢能：第22頁/共61頁Dl/2EPlCEl/2DlP利用對(duì)稱性求

EI=∞1、正對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖：取θ1為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。PAlllBCDC’1qk02、反對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖：取θ1為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。C)(21qq+k0C’第23頁/共61頁靜力法的解題思路:

先對(duì)變形狀態(tài)建立平衡方程，然后根據(jù)平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出臨界荷載。與有限自由度體系不同的是，平衡方程是代數(shù)方程（有限自由度體系）微分方程（無限自由度體系）xRxylPEI§16-3彈性壓桿（無限自由度）的穩(wěn)定——靜力法1、等界面壓桿yx公式中取負(fù)號(hào)yx公式中取正號(hào)

在彈性桿的近似微分方程式中的正負(fù)號(hào)確定:當(dāng)由彎矩M引起的曲線凸向y軸時(shí)取負(fù)號(hào)，反之取正。第24頁/共61頁23p2paly4.493先由圖解法求出近似解：αl=4.5再由試算法求更準(zhǔn)確的值：22)7.0(lEIp=219.20lEI=22)493.4(lEI=22)(lEIla=2EIPcra=第25頁/共61頁剛性支承上等截面直桿的穩(wěn)定EIμ=1μ=0.7μ=2μ=0.5μ=1材力已導(dǎo)出幾種簡單支承情況下的軸壓桿的臨界荷載：長度系數(shù)μ=2、1、0.7、0.5約束加強(qiáng)，臨界荷載提高。ll/2l0=2ll0=0.7ll0=ll0=ll0=0.5l第26頁/共61頁具有彈性支承的等截面直桿的穩(wěn)定PABkB′xyPABkB′xyPABkxyllP3i3ik=6i本節(jié)雖以單根壓桿為研究對(duì)象，但是，單根壓桿可以看成是某些實(shí)際結(jié)構(gòu)中抽象出來的力學(xué)模型。第27頁/共61頁可能發(fā)生反對(duì)稱失穩(wěn)的計(jì)算簡圖考慮下端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度特性的計(jì)算簡圖EI1=∞EI1=∞PPPEIEIEIPEIkPEI第28頁/共61頁P(yáng)PEIEI1EI1lPEIEI1l/2PEI1反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)PPEIEI1EI1l或：正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)PEIEI1l/2PEI1PPEI1PP或：第29頁/共61頁注意：在某些結(jié)構(gòu)中，不受軸向壓力的部分可視為壓桿的彈性支撐，將結(jié)構(gòu)簡化為具有彈性支撐的壓桿計(jì)算。彈性支撐的剛度系數(shù)k是失穩(wěn)時(shí)，非受壓部分發(fā)生單位位移時(shí)所需施加的力（或力矩）。PABlDE柱、CA梁不存在軸向荷載作用下的失穩(wěn)問題，對(duì)AB柱的約束作用可用彈性支座代替EIEIEA=∞EIllPABDEC第30頁/共61頁P(yáng)Bk例6試求圖示排架的臨界荷載和柱子AB的計(jì)算長度。PI1I2=nI1BADCEA=∞A解：CD桿的作用用彈簧來代替xyBPxyΔR=kΔ1）I2=0，k=0相當(dāng)于懸臂柱，計(jì)算長度為l0=2l第31頁/共61頁2）I2=∞，k=∞相當(dāng)于上端鉸支、下端固定柱，計(jì)算長度為l0=0.7l22)7.0(lEIp=219.20lEIPcr=3）當(dāng)0<k<∞當(dāng)I2=I1π/2<αl<4.493試算法求解:計(jì)算長度為l0=1.426l第32頁/共61頁θyxPl2l1EI例5：求圖示壓桿的穩(wěn)定方程。解：1）選坐標(biāo)系，取圖示曲線的平衡形式，建立平衡微分方程。M=Py2）求解平衡微分方程3）由邊界條件，可得一組與未知數(shù)（A、

B、θ）數(shù)目相等的齊次方程，位移有非零解系數(shù)行列式應(yīng)等于零，得出特征方程。特征方程：代入邊界條件展開：第33頁/共61頁xyl1l2lI1I2PPcr兩段的彈性曲線微分方程：解方程：由系數(shù)行列式等于零得穩(wěn)定方程：y1y22、階梯形壓桿的穩(wěn)定第34頁/共61頁2）解平衡微分方程；靜力法解題思路：1）對(duì)新的平衡形式列平衡微分方程；3）代入邊界條件，得到包含待定參數(shù)的齊次方程組；能量法解題思路：1）對(duì)于滿足位移邊界條件的任意可能位移求出總勢能Π；2）由勢能駐值條件δΠ=0，

得到包含待定參數(shù)的齊次方程組；3）令系數(shù)行列式等于零，得到特征方程。4）令齊次方程組的系數(shù)行列式等于零，由此得到特征方程。λPl設(shè)變形曲線為：dxdx§16-4彈性壓桿的穩(wěn)定——能量法對(duì)變截面桿、沿軸向有分布?jí)毫r(shí)用能量法方便。1、按單參數(shù)體系計(jì)算滿足邊界條件的已知函數(shù)第35頁/共61頁有勢能駐值條件，即或由：要求位移有非零解，a≠0第36頁/共61頁例16-5能量法求臨界荷載.解：位移邊界條件為：當(dāng)x=0和x=l時(shí)，y=0lPEIxy1）設(shè)撓曲線為拋物線(純彎下的撓曲線)

.123166423lEIllEI==01Pacr?10)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=ò￠-=,32)(2132102lEIadxyEIUl=ò￠￠=:,01a=??得由P誤差為22%

因?yàn)樗O(shè)撓曲線不滿足力的邊界條件。甚至相差甚遠(yuǎn)，故精度較差。.22lEIPcrp=精確解：第37頁/共61頁另解：位移邊界條件為：當(dāng)x=0和x=l時(shí)，y=0lPEIxy2）設(shè)撓曲線為圖b(橫彎下的撓曲線)

.102lEIPcr==由PQ誤差為1.3%如取均布荷載作用下的撓曲線,精度會(huì)更高.如用某一橫向荷載引起的撓曲線作為失穩(wěn)曲線，則體系的應(yīng)變能也可用該荷載的實(shí)功來代替。第38頁/共61頁另解：位移邊界條件為：當(dāng)x=0和x=l時(shí)，y=0lPEIxy3）設(shè)撓曲線為正弦線)(4)(212202llPadxyPUlPp-=ò￠-=,)(442lEIlap=)(2102dxyEIUlò￠￠=.:22lEIPcrp=得由*正弦曲線是真實(shí)的失穩(wěn)變形曲線，所得結(jié)果是精確解。*拋物線不滿足彎矩邊界條件，精度最差。*橫向力撓曲線不滿足剪力邊界條件，精度稍好。*如果用某一橫向荷載引起的撓曲線作為失穩(wěn)曲線，則體系的應(yīng)變能也可用該荷載的實(shí)功來代替。第39頁/共61頁設(shè)變形曲線為：2、按多參數(shù)體系計(jì)算

滿足位移邊界條件的已知函數(shù)，ai是任意參數(shù)。由勢能駐值條件，即令：第40頁/共61頁展開是關(guān)于P的n次方程,其最小根即臨界荷載。

上述方法叫里茲法，將原來的無限自由度體系近似地化為有限自由度體系，不是求解微分方程得到位移的精確解，而是假設(shè)位移狀態(tài)，強(qiáng)令體系按所設(shè)的位移函數(shù)發(fā)生變形，這相當(dāng)于對(duì)體系施加了某種約束，所得臨界荷載的近似值是精確解的上限。減少自由度相當(dāng)于對(duì)體系施加約束，抗失穩(wěn)能力提高。第41頁/共61頁例16-6

求均勻豎向荷載作用下的臨界荷載.解:當(dāng)x=0時(shí)，

y=0：x=l時(shí)，2）按單參數(shù)體系計(jì)算設(shè)撓曲線為正弦線,)(64)(214202lEIladxyEIUlp=ò￠￠=lyxqEIxdx微段dx傾斜使該段以上荷載向下移動(dòng)，這部分荷載作功為：所設(shè)失穩(wěn)曲線能否滿足力的邊界條件？第42頁/共61頁另解:當(dāng)x=0時(shí)，

y=0：x=l時(shí)，設(shè)撓曲線為(b)中Q引起的撓曲線.微段dx傾斜使該段以上荷載向下移動(dòng)，這部分荷載作功為：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）第43頁/共61頁2）按兩個(gè)參數(shù)體系計(jì)算設(shè)滿足兩端位移邊界條件的撓曲線為)(2102dxyEIUlò￠￠=第44頁/共61頁§11-5剛架穩(wěn)定分析的有限單元法剛架的穩(wěn)定通常屬于第二類穩(wěn)定性問題,如圖.a所示,如果將橫梁上的豎向荷載等效為作用于結(jié)點(diǎn)上的集中荷載,如圖.b所示.這樣就把喪失第二類穩(wěn)定性的問題轉(zhuǎn)化為喪失第一類穩(wěn)定性的問題。ABCD(b)第一類穩(wěn)定性(a)ACDB第二類穩(wěn)定性第45頁/共61頁剛架穩(wěn)定分析的基本假設(shè):

剛架在失穩(wěn)前,只承受結(jié)點(diǎn)荷載,同時(shí)還忽略各桿的軸向變形的影響。在作剛架的穩(wěn)定分析時(shí),由于所受桿件的軸力很大,則需考慮軸力對(duì)剛度系數(shù)的影響。本節(jié)介紹基于能量原理的剛架穩(wěn)定性分析的有限單元法(矩陣位移法)1、壓桿單元的形狀函數(shù)

圖示為一壓桿單元e,兩端壓力為Fp。在單元坐標(biāo)系中,端點(diǎn)位移和端點(diǎn)力向量分別為e12yx(a)e12yx(b)第46頁/共61頁設(shè)單元位移插值函數(shù)表示為如下多項(xiàng)式

四個(gè)待定常數(shù)由四個(gè)結(jié)點(diǎn)位移表示為由此求得或?qū)憺榈?7頁/共61頁其中:

就是由單位桿端位移ai=1引起的撓度,稱為形狀函數(shù)(a)1(b)1(b)1(c)12、壓桿單元的剛度矩陣與幾何剛度矩陣壓桿單元的剛度方程為第48頁/共61頁壓桿單元的勢能由兩部分組成,即

單元的應(yīng)變能縱向力Fp引起的勢能根據(jù)勢能偏導(dǎo)數(shù)定理求桿端力得(a)(b)(c)Ke是通常的剛度矩陣,Se

表示軸力對(duì)剛度的影響,稱為幾何剛度矩陣,下面應(yīng)用勢能偏導(dǎo)數(shù)定理推導(dǎo)壓桿單元?jiǎng)偠确匠獭５?9頁/共61頁由(a)和(b)分別對(duì)ai

求導(dǎo)得:將它們代入(c)式得(d)其中:將式(d)中的四個(gè)方程合起來,寫成矩陣形式如下:(e)第50頁/共61頁6EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=或簡寫成(f)

將形狀函數(shù)代入(d)式,可求得和,由此得(g)

通常的單元?jiǎng)偠染仃嚨?1頁/共61頁

考慮縱向力影響時(shí)的附加剛度矩陣,或稱單元幾何剛度矩陣