PAGE5-立體幾何一、高考預測立體幾何由三部分組成，一是空間幾何體，二是空間點、直線、平面的位置關系，三是立體幾何中的向量方法．高考在命制立體幾何試題中，對這三個部分的要求和考查方式是不同的．在空間幾何體部分，主要是以空間幾何體的三視圖為主展開，考查空間幾何體三視圖的識別判斷、考查通過三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計算等問題，試題的題型主要是選擇題或者填空題，在難度上也進行了一定的控制，盡管各地有所不同，但基本上都是中等難度或者較易的試題；在空間點、直線、平面的位置關系部分，主要以解答題的方法進行考查，考查的重點是空間線面平行關系和垂直關系的證明，而且一般是這個解答題的第一問；對立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進行考查，而且偏重在第二問或者第三問中使用這個方法，考查的重點是使用空間向量的方法進行空間角和距離等問題的計算，把立體幾何問題轉化為空間向量的運算問題．2。線面關系中三類平行的共同點是“無公共點”；三類垂直的共同點是“成角90°”.線面平行、面面平行，最終化歸為線線平行；線面垂直、面面垂直，最終化歸為線線垂直.3。直線與平面所成角的范圍是；兩異面直線所成角的范圍是.一般情況下，求二面角往往是指定的二面角，若是求兩平面所成二面角只要求出它們的銳角（直角）情況即可.4。立體幾何中的計算主要是角、距離、體積、面積的計算.兩異面直線所成角、直線與平面所成角的計算是重點.求兩異面直線所成角可以利用平移的方法將角轉化到三角形中去求解，也可以利用空間向量的方法，特別要注意的是兩異面直線所成角的范圍.當求出的余弦值為時，其所成角的大小應為.特別需要注意的是：兩向量所成的角是兩向量方向所成的角，它與兩向量所在的異面直線所成角的概念是不一樣的.本題中的向量與所成的角大小是兩異面直線DE與BD1所成角的補角.7。長方體、正方體是最基本的幾何體，要熟練掌握它們中的線面關系.長方體的長、寬、高分別為，對角線長為，則.利用這一關系可以得到下面兩個結論：（1）若長方體的對角線與三棱所成角分別為，則；（2）若長方體的對角線與三面所成角分別為，則.10.關注正棱錐中的幾個直角三角形：（1）高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形；（2）側棱、斜高、底面棱長的一半組成的直角三角形；（3）底面上的邊心距、底面外接圓半徑、底面棱長的一半組成的直角三角形.（4）高、側棱、底面外接圓半徑組成的直角三角形.進一步關注的是：側棱與底面所成角、側面與底面所成二面角的平面角都體現在這些直角三角形中.11。特別注意有一側棱與底面垂直且底面為正方形、直角梯形、菱形等四棱錐，關注四個面都是直角三角形的三棱錐.它們之間的線面關系也是高考命題的熱點內容.12。對平面圖形的翻折問題要有所了解：翻折后，在同一半平面內的兩點、點線及兩線的位置關系是不變的，若兩點分別在兩個半平面中，兩點之間的距離一般會發生變化.要認清從平面圖形到空間圖形之間的聯系，能夠從平面圖形的關系過渡到空間圖形的關系，根據問題畫出空間圖形.【知識點歸類點拔】高考對用一平面去截一立體圖形所得平面圖形的考查實質上對學生空間想象能力及對平面基本定理及線面平行與面面平行的性質定理的考查。考生往往對這一類型的題感到吃力，實質上高中階段對作截面的方法無非有如下兩種：一種是利有平面的基本定理：一個就是一條直線上有兩點在一平面內則這條直線上所在的點都在這平面內和兩平面相交有且僅有一條通過該公共點的直線（即交線）（注意該定理地應用如證明諸線共點的方法：先證明其中兩線相交，再證明此交點在第三條直線上即轉化為此點為兩平面的公共點而第三條直線是兩平的交線則依據定理知交點在第三條直線；諸點共線：即證明此諸點都是某兩平面的共公點即這此點轉化為在兩平的交線上）據這兩種定理要做兩平面的交線可在兩平面內通過空間想象分別取兩組直線分別相交，則其交點必為兩平面的公共點，并且兩交點的連線即為兩平的交線。另一種方法就是依據線面平行及面面平行的性質定理，去尋找線面平行及面面平行關系，然后根據性質作出交線。一般情況下這兩種方法要結合應用2.（1）正方體ABCD—A1B1C1D1中，p、q、r、分別是AB、AD、B1C（A）三角形（B）四邊形（C）五邊形（D）六邊形(答案：D)（2）在正三棱柱-中，P、Q、R分別是、、的中點，作出過三點P、Q、R截正三棱柱的截面并說出該截面的形狀。答案：五邊形。【知識點分類點拔】解決異面直線所成角的問題關鍵是定義，基本思想是平移，同時對本題來說是解決與兩異面直線所成的等角的直線條數，將兩異面直線平移到空間一點時，一方面考慮在平面內和兩相交直線成等角的直線即角平分線是否滿足題意，另一方面要思考在空間中與一平面內兩相交直線成等角的直線的條數，此時關鍵是搞清平面外的直線與平面內的直線所成的角與平面內的直線與平面外的直線在平面內的射影所成的角的關系，由公式（其中是直線與平面所成的角）易知，（最小角定理）故一般地，若異面直線a、b所成的角為，L與a、b所成的角均為，據上式有如下結論：當時，這樣的直線不存在；當時，這樣的直線只有一條；當時，這樣的直線有兩條；當時這樣的直線有3條；當時，這樣的直線有四條2.如果異面直線a、b所在的角為,P為空間一定點，則過點P與a、b所成的角都是的直線有幾條？A、一條B二條C三條D四條(答案：C)【易錯點4】求異面直線所成的角，若所成角為，容易忽視用證明垂直的方法來求夾角大小這一重要方法1、在三棱柱中，若，則所成角的大小為（）A、B、C、D、【易錯點分析】忽視垂直的特殊求法導致方法使用不當而浪費很多時間。解析：如圖分別為中點，連結，設則AD為在平面上的射影。又而垂直?！局R點歸類點撥】求異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角時，對特殊的角，如時，可以采用證明垂直的方法來求之【易錯點5】對于經度和緯度兩個概念，經度是二面角，緯度為線面角，二者容易混淆1、如圖，在北緯的緯線圈上有B兩點，它們分別在東經與東經的經度上，設地球的半徑為R，求B兩點的球面距離。解析：設北緯圈的圓心為，地球中心為O，則連結，則。故A、B兩點間的球面距離為?！局R點歸類點撥】數學上，某點的經度是：經過這點的經線與地軸確定的平面與本初子午線（經線）和地軸確定的半平面所成的二面角的度數。某點的緯度是：經過這點的球半徑與赤道面所成的角的度數。如下圖：圖（1）：經度——P點的經度，也是的度數。圖（2）：緯度——P點的緯度，也是的度數（III）由II知，平面，是在平面內的射影.是的中點，若點是的重心，則、、三點共線，直線在平面內的射影為直線.，即.反之，當時，三棱錐為正三棱錐，在平面內的射影為的重心.方法二:平面,以為原點，射線為非負軸，建立空間直角坐標系(如圖)，設則,,.設,則(I)D為PC的中點，＝，又,＝-平面.【知識點分類點拔】解決關于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質的認識.二是向量的坐標運算體現了數與形互相轉化和密切結合的思想.向量的數量積常用于有關向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：①要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？②所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉化成的向量直接表示？③所需要的向量若不能直接用已知條件轉化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉化的向量有何關系？④怎樣對已經表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結論【易錯點7】常見幾何體的體積計算公式，特別是棱錐，球的體積公式容易忽視公式系數，導致出錯1如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=8，AD=，側面PAD為等邊三角形，并且與底面成二面角為。求四棱錐P—ABCD的體積。解析：如圖，去AD的中點E，連結PE，則。作平面ABCD，垂足為O，連結OE。根據三垂線定理的逆定理得，所以為側面PAD與底面所成二面角的平面角。由已知條件可，所以，四棱錐P—ABCD的體積?！局R點歸類點撥】計算簡單幾何體的體積，要選擇某個面作為底面，選擇的前提條件是這個面上的高易求2、如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側棱AA1=2，D、E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G.（Ⅰ）求A1B與平面ABD所成角的大?。ńY果用反三角函數值表示）；(Ⅱ）求點A1到平面AED的距離.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）.【易錯點9】二面角平面角的求法，主要有定義法、三垂線法、垂面法等1.如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1＝A1C1＝a，E為BB若截面A1EC⊥側面AC1．求截面A1EC與底面A1B1C1所成銳二面角度數．解法1∵截面A1EC∩側面AC1＝A1C．連結AC1，在正三棱ABC－A1B1C∵截面A1EC⊥側面AC1，就是所求二面角的度數．易得∠A1AC1＝45°，故所求二面角的度數是45°解法2如圖3所示，延長CE與C1B1交于點F，連結AF，則截面A1EC∩面A1B1C＝AF．∵EB1⊥面A1B1C1，∴過B1作B1G⊥A1F交A1F于點G，連接EG，由三垂線定理知即所求二面角的度數為45°．【知識點歸類點撥】二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根據平面角的定義，作垂直于棱的平面，通過這個平面和二面角兩個面的交線得出平面角。（2）垂線法：是指在二面角的棱上取一特殊點，過此點在二面角的兩個半平面內作兩條射線垂直于棱，則此兩條射線所成的角即為二面角的平面角；（3）三垂線法：是指利用三垂線定理或逆定理作出平面角易錯點10三視圖一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：）為()（A）（B）（C）（D）解析:棱錐的直觀圖如右，則有PO＝4，OD＝3，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6，全面積為：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12，故選.A。2、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，∠ADB＝90°，AB＝2AD．（Ⅰ）證明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值．【解析】（Ⅰ）由∠ADB＝90°，可得BD⊥AD．因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．又PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD，因為PA?平面PAD，所以BD⊥PA．………（4分）（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，設AD＝a，則A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，a，0），P（0，0，a），＝（－a，a，0），＝（－a，0，0），＝（－a，0，a），＝（－a，a，－a）．設平面PAB的法向量為n＝（x，y，z），所以可得設y＝，則x＝z＝3，可得n＝（3，，3）．同理，可求得平面PBC的一個法向量為m＝（0，－1，－）．所以cos＜m，n＞＝＝－．由圖形知，二面角A-PB-C為鈍角，因此二面角A-PB-C的余弦值是－．………（12分）第18題圖3、如圖，四棱柱的底面是平行四邊形，分別在棱上，且．（1）求證：；（2）若平面，四邊形是邊長為的正方形，且，，求線段的長,并證明：第18題圖【說明】本題主要考察空間點、線、面位置關系，考查線線、線面平行的性質和判定，線線垂直的性質和判定，考查空間想象能力、運算能力、把空間問題轉化為平面問題的意識以及推理論證能力．平面平面.平面平面13分平面 14分4、已知四棱柱中，,，，.⑴求證：；⑵求二面角的正弦值;（3）求四面體的體積.【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面的垂直關系、二面角的求法、空間向量在立體幾何中的應用以及幾何體體積的求法.(3)設所給四棱柱的體積為V,則，又三棱錐的體積等于三棱錐的體積，記為，而三棱錐的體積又等于三棱錐的體積，記為.則由于，，所以所求四面體的體積為.(12分)5、如圖，在四面體ABCD中，二面角的平面角為，且點、分別是、的中點.(Ⅰ)求作平面，使，且∥平面∥平面；（Ⅱ）求證：.6、已知四棱錐中，⊥平面，四邊形是直角梯形，，∥，，，為重心，為的中點，在上，且.（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：⊥.【解析】(Ⅰ)連接交于點因為，所以,又平面，平面所以平面……6分.8、三棱錐O-ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，P為OC中點，PQ垂直BC于Q，OA=OB=OC=2，過PQ作一個截面，交AB、AO于R、S，使PQRS為梯形。（1）求、的值；（2）求五面體ACPQRS的體積?！窘馕觥浚?）因PQRS為梯形，只能是∥，于是得到∥∥因P為OC中點，所以因PQ垂直BC，所以而所以即：（2）連OA，OR，PR所以五面體ACPQRS的體積9、如圖，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，點E為AB上一點(I) 當點E為AB的中點時,求證；BD1//平面A1DE(II)求點A1到平面BDD1的距離；www.xk(III) 當時，求二面角D1-EC-D的大小.解法二：（I）同解法一．…3分（II）由面ABCD⊥面ADD1A，且四邊形AA1D1D為正方形，四邊形ABCD為矩形，可得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．于是以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、zA1D1ADEBCFyxz由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，∴=(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．設面BDD1的一個法向量為n1A1D1ADEBCFyxz∴點A1到面BDD1的距離．…8分（III）由（II）及題意知：E(1，，0)，C(0，2，0)，，．設面D1EC的一個法向量為，則即可得．又易知面DEC的一個法向量是(0，0，1)，設D1-EC-D的大小為θ，則，得．即D1-EC-D的大小為點是的三等分點4分6分又且,面.7分（Ⅱ）設平面的法向量為，是平面的法向量，10分二面角的余弦值.12分11、如圖所示四棱錐中,底面,四邊形中,,,,,為的中點,為中點.（Ⅰ）求證:平面；（Ⅱ）求證:平面；（Ⅲ）求直線與平面所成的角的正弦值；【解析】（Ⅰ）因為底面,面,所以,又因為直角梯形面中,,所以,即,又,所以平面；………4分（Ⅱ）解法一:如圖,連接,交于,取中點,連接,則在中,,又平面,平面,所以平面,因為,所以,則,又平面,平面,所以平面,又,所以平面平面,因為平面,所以平面.………10分解法二:如圖,連接,交于,取中點,連接交于,連接,則,在中,,則,在底面中,,所以,所以,故,又平面,平面,所以平面.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,平面,所以為直線與平面所成的角,在中,,所以,所以直線與平面所成的角的正弦值為.………14分12、如右圖所示，四棱錐P—ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M為PB的中點．（1）求PA與底面ABCD所成角的大??；（2）求證：PA⊥平面CDM；（3）求二面角D—MC—B的余弦值．（3）由（2）知平面，則為二面角的平面角，在中，易得，,故，所求二面角的余弦值為.……12分解法二：(1)同解法一.……4分(2)由底面為菱形且，，有．建立空間直角坐標系如圖，則,,,,．由為中點，∴．∴,,．∴∴，．∴平面．……8分(3),.令平面的法向量，則，從而；……①,，從而．……②由①、②，取，則．∴可?。?2)知平面的法向量可取，∴．所求二面角的余弦值為.…12分【解析】（Ⅰ）,………………2分又，………………4分面．……5分AOBCD14、如圖，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D為線段AB的中點．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉而成的．記二面角B－AO－C的大小為AOBCD（1）當平面COD⊥平面AOB時，求的值；（2）當∈[，]時，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍．【解析】法一：（1）解：如圖，以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz，則A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)．設＝(x，y，z)為平面COD的一個法向量，由得取z＝sin，則＝(cos，－sin，sin)．因為平面AOB的一個法向量為＝(1，0，0)，由平面COD⊥平面AOB得＝0，所以cos＝0，即＝7分（2）設二面角C－OD－B的大小為，由（1）得當＝時，cos＝0；當∈(,]時，tan≤－，cos=＝＝－，故－≤cos＜0．綜上,二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍為[－，0]…15分法二：（1）解：在平面AOB內過B作OD的垂線，垂足為E，因為平面AOB⊥平面COD，平面AOB∩平面COD＝OD，所以BE⊥平面COD，故BE⊥CO．又因為OC⊥AO，所以OC⊥平面AOB，故OC⊥OB．又因為OB⊥OA，OC⊥OA，所以二面角B－AO－C的平面角為∠COB，即＝．……7分（2）解：當＝時，二面角C－OD－B的余弦值為0；當∈(,]時，過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連結CG，則∠CGF的補角為二面角C－OD－B的平面角．在Rt△OCF中，CF＝2sin，OF＝－2cos，在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cos，CG＝，所以cos∠CGF＝＝－．因為∈(,]，tan≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍為[－，0]15分15、如圖5，AB是圓柱ABFG的母線，C是點A關于點B對稱的點，O是圓柱上底面的圓心，BF過O點，DE是過O點的動直徑，且AB=2，BF=2AB.（1）求證：BE⊥平面ACD；（2）當三棱錐D—BCE的體積最大時，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值.16、如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，．（Ⅰ）求直線與平面所成的角；（Ⅱ）設點在棱上，，若∥平面，求的值