2021年山東省東營市六合鄉中學高三數學理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果，，，那么（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：答案：選D解析：U={1，2，3，4，5，6，7，8}，CUA={5，6，7，8}，CUB={1，2，7，8}，所以CUA∩CUB={7，8}，故選D評析：本題主要考查集合的運算2.某教師一天上3個班級的課，每班一節，如果一天共9節課，上午5節、下午4節，并且教師不能連上3節課（第5和第6節不算連上），那么這位教師一天的課的所有排法有（

）A．474種

B．77種

C．462種

D．79種參考答案：A首先求得不受限制時，從9節課中任意安排3節，有種排法，其中上午連排3節的有種，下午連排3節的有種，則這位教師一天的課表的所有排法有504-18-12=474種，故選A．3.設F1，F2分別為雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，若在雙曲線的右支上存在點P，滿足|PF2|=|F1F2|，且原點O到直線PF1的距離等于雙曲線的實半軸長，則該雙曲線的漸近線方程為（）A．4x±3y=0 B．3x±5y=0 C．3x±4y=0 D．5x±3y=0參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】利用題設條件和雙曲線性質在三角形中尋找等量關系，得出a與b之間的等量關系，進而求出雙曲線的漸近線方程．【解答】解：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個等腰三角形，F2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理可知|PF1|=4b根據雙曲定義可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，∴雙曲線的漸近線方程為y=±x，即4x±3y=0．故選：A．【點評】本題主要考查三角與雙曲線的相關知識點，突出了對計算能力和綜合運用知識能力的考查，屬中檔題．4.設變量x，y滿足約束條件.目標函數處取得最小值，則a的取值范圍為

(A)(-1,2)

(B)(-2,4)

(C)(-4,0]

(D)(-4,2)參考答案：D略5.若展開式中第四項與第六項的系數相等，則展開式中的常數項的值等于（

）A.

8

B.16

C. 80

D.

70參考答案：D略6.下列函數是在（0，1）上為減函數的是（ ） A. B. C. D.參考答案：D7.已知一個三角形的三邊長分別是5,5,6，一只螞蟻在其內部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是()A．2－

B．1－

C．2－

D．1－參考答案：B略8.已知數列前項和為，則的值是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：因為，所以，，，，故選D.考點：特殊數列的求和.9.若，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.已知雙曲線﹣（a＞b＞0）的一條漸近線方程為y=x，則其離心率為（）A． B． C． D．2參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，由雙曲線的標準方程可得其焦點的位置，進而可得其漸近線的方程為y=±x，結合題意可得=，即b=a，由a、b、c的關系可得c==a，由離心率公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，已知雙曲線的標準方程為：﹣（a＞b＞0），其焦點在x軸上，則其漸近線的方程為：y=±x，又由題意，該雙曲線的一條漸近線方程為y=x，則有=，即b=a，則c==a，則其離心率e==；故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數f（x）=arcsin（2x+1），則f﹣1（）=．參考答案：【考點】反函數．【分析】欲求，只需令arcsin（2x+1）=求出x的值，根據原函數與反函數之間的關系可得結論．【解答】解：令arcsin（2x+1）=即sin=2x+1=解得x=故答案為：12.已知，若恒成立，則實數的取值范圍是_______．參考答案：∵，，∴，∴．13.某藝校在一天的6節課中隨機安排語文、數學、外語三門文化課和其它三門藝術課各1節，則在課表上的相鄰兩節文化課之間至少間隔1節藝術課的概率為

（用數字作答）。

參考答案：先排其他三門藝術課有種排法，再把語文、數學、外語三門文化課插入由三門藝術課隔開的四個空中，有種排法，所以所有的排法有。6節課共有種排法。所以相鄰兩節文化課至少間隔1節藝術課的概率為。

14.已知拋物線的焦點為F，過F的直線交拋物線于A，B兩點，且，則

.參考答案：615.若函數f（x）=（2x+2﹣x）ln（x+）為奇函數，則a=．參考答案：1【考點】函數奇偶性的性質．【分析】根據定義域含原點的奇函數的圖象過原點，求得a的值．【解答】解：∵函數f（x）=（2x+2﹣x）ln（x+）為奇函數，且y=2x+2﹣x為偶函數，∴y=ln（x+）為奇函數，再根據它的圖象過原點，可得0=ln，∴a=1，故答案為：1．16.已知定義在上的奇函數滿足，當時，若則

.參考答案：17.函數f（x）=在x=4處的切線方程

．參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；導數的概念及應用．【分析】求出函數f（x）在點x=4處的導數，也就是切線的斜率，求出切點的坐標，再利用點斜式求出切線方程即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f′（x）=，∴x=4時，f′（4）=，∵f（4）=2，∴函數f（x）=在x=4處的切線方程為y﹣2=（x﹣4），即．故答案為：．【點評】本題主要考查了導數的幾何意義：導數在一點處的導數值即為該點處切線的斜率的應用，屬于基礎試題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）某市在市內主干道北京路一側修建圓形休閑廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線相切于點M.A為上半圓弧上一點，過點A作的垂線，垂足為B．市園林局計劃在△ABM內進行綠化．設△ABM的面積為S(單位：)，(單位：弧度）．(I)將S表示為的函數；(II)當綠化面積S最大時，試確定點A的位置，并求最大面積．參考答案：（Ⅰ）如圖，BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．

……3分則S＝MB·AB＝×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．……6分（Ⅱ）S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝或cosθ＝－1(舍去)，此時θ＝.

…………8分當θ變化時，S′，S的變化情況如下表：θS′＋0－S極大值所以，當θ＝時，S取得最大值Smax＝3750m2，此時AB＝150m，即點A到北京路一邊的距離為150m.

…………13分19.一個圓柱形圓木的底面半徑為1m，長為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個部分，現要把其中一個部分加工成直四棱柱木梁，長度保持不變，底面為等腰梯形ABCD（如圖所示，其中O為圓心，C，D在半圓上），設∠BOC=θ，直四棱柱木梁的體積為V（單位：m3），側面積為S（單位：m2）．（Ⅰ）分別求V與S關于θ的函數表達式；（Ⅱ）求側面積S的最大值；（Ⅲ）求θ的值，使體積V最大．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；三角函數中的恒等變換應用．【分析】（I）列出梯形ABCD的面積SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），求解體積V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）．（II）得出g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，利用二次函數求解即可．（III）V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，），求解導數得出V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1），根據導數與單調性的關系求解．【解答】解：（Ⅰ）木梁的側面積S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cosθ+2sin+1），θ∈（0，），梯形ABCD的面積SABCD=﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，），體積V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，）；（Ⅱ）木梁的側面積S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin+2cosθ）=20（cos+1），θ∈（0，），設g（θ）=cos+1，g（θ）=﹣2sin2+2sin+2，∴當sin=，θ∈（0，），即θ=時，木梁的側面積s最大．所以θ=時，木梁的側面積s最大為40m2．（Ⅲ）V′（θ）=10（2cos2θ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，），∴θ=．當θ∈（0，）時，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）為增函數；當θ∈（，）時，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）為減函數．∴當θ=時，體積V最大．20.（12分）

設是一個公差為的等差數列，它的前10項和且成等比數列。

(I)證明；

(II)求公差的值和數列的通項公式。參考答案：解析：(I)證明：因成等比數列，故而

是等差數列，有于是

即

化簡得

(II)解：由條件和得到由(I)，代入上式得

故

因此，數列的通項公式為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分21.已知圓C同時滿足下列三個條件：①與y軸相切；②在直線y=x上截得弦長為2；③圓心在直線x﹣3y=0上．求圓C的方程．參考答案：【考點】圓的標準方程．【分析】設所求的圓C與y軸相切，又與直線y=x交于AB，由題設知圓心C（3a，a），R=3|a|，再由點到直線的距離公式和勾股定理能夠求出a的值，從而得到圓C的方程．【解答】解設所求的圓C與y軸相切，又與直線y=x交于AB，∵圓心C在直線x﹣3y=0上，∴圓心C（3a，a），又圓與y軸相切，∴R=3|a|．又圓心C到直線y﹣x=0的距離．在Rt△CBD中，，∴9a2﹣2a2=7．a2=1，a=±1，3a=±3．∴圓心的坐標C分別為（3，1）和（﹣3，﹣1），故所求圓的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．22.設數列的前項和為，點在直線上.(Ⅰ)求數列的通項公式；(Ⅱ)在與