2022-2023學(xué)年北京潞河中學(xué)分校高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點），

則△與△面積之和的最小值是（

）（A）2

（B）3

（C）

（D）參考答案：B2.對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.在中，已知，那么一定是A．等腰直角三角形

B．等腰三角形C．直角三角形

D．等邊三角形參考答案：B4.已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，則P∪Q＝()A．{x|－1≤x＜3}

B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}

D．{x|x≥－1}參考答案：C解析：在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖．易知P∪Q＝{x|x≤4}．5.若滿足則下列不等式恒成立的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D6.已知實數(shù),滿足條件則的最大值為(

)A.0

B.

C.

D.1參考答案：B7.設(shè)集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若AB，則實數(shù)m=（） A．0 B． 1 C． 2 D． 3參考答案：考點： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．專題： 計算題；集合．分析： 本題利用集合的包含關(guān)系得到元素與元素的關(guān)系，從而求出參數(shù)的值．解答： 解：∵集合A={0，1}，∴1∈A．∵A?B，∴1∈B．∵B={﹣1，0，m﹣2}，∴1=m﹣2．∴m=3．故選：D．點評： 本題考查的知識點是集合與元素的關(guān)系，本題思維量小，過程簡單，是容易題．8.下列四個函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上為增函數(shù)的是（）A．y=x2﹣2x B．y=x3 C．y=ln D．y=|x|+1參考答案：D【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】逐一分析四個函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，判斷是否滿足既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上為增函數(shù)，可得答案．【解答】解：函數(shù)y=x2﹣2x為非奇非偶函數(shù)；函數(shù)y=x3為奇函數(shù)；函數(shù)y=ln的定義域為（﹣1，1），函數(shù)y=|x|+1既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上為增函數(shù)，故選：D【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．9.下列命題中是假命題的是（）A．?x∈（0，），x＞sinx B．?x0∈R，sinx0+cosx0=2C．?x∈R，3x＞0 D．?x0∈R，lgx0=0參考答案：B【考點】特稱命題；全稱命題．【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判定出函數(shù)單增，得到f（x）＞0，判定出A正確；將sinx+cosx變?yōu)榍蟪鲋涤驗椋卸ǔ鯞錯誤．【解答】解：對于A，令f（x）=x﹣sinx，?x∈（0，），f′（x）=1﹣cosx＞0，f（x）=x﹣sinx在（0，）上單增，∴f（x）＞0，∴x＞sinx，∴選項A對；對于B，sinx+cosx=，∵∴選項B錯故選B．10.過拋物線y2=4x的焦點作直線l交拋物線于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于（）ks5uA．10

B．8

C．6

D．4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.幾何證明選講選做題）如圖2，在中，斜邊，直角邊，如果以C為圓心的圓與AB相切于，則的半徑長為

．參考答案：略12.積分_______參考答案：13.奇函數(shù)滿足對任意都有，且，則的值為

.參考答案：略14.已知函數(shù),則f(f(2))=

參考答案：【知識點】分段函數(shù)求值.B1【答案解析】2解析：【思路點撥】先計算出f(2),再計算f(f(2))即可.15.設(shè)的最小值為，則▲。參考答案：略16.正方體的棱長為，是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動點，當(dāng)弦的長度最大時，的最大值是

．參考答案：2因為是它的內(nèi)切球的一條弦，所以當(dāng)弦經(jīng)過球心時，弦的長度最大，此時.以為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖.根據(jù)直徑的任意性，不妨設(shè)分別是上下底面的中心，則兩點的空間坐標(biāo)為，設(shè)坐標(biāo)為，則,,所以，即.因為點為正方體表面上的動點，，所以根據(jù)的對稱性可知，的取值范圍與點在哪個面上無關(guān)，不妨設(shè)，點在底面內(nèi)，此時有，所以此時，,所以當(dāng)時，，此時最小，當(dāng)?shù)挥谡叫蔚乃膫€頂點時，最大，此時有，所以的最大值為2.17.有下列四個命題：①“若，則”的逆命題；②“全等三角形的面積相等”的否命題；③“若，則有實根”的逆命題；④“若，則”的逆否命題．

其中真命題的個數(shù)是___________________參考答案：1①若，則”的逆命題為，若，則，所以錯誤。②全等三角形的面積相等”的逆命題為面積相等的三角形全等，錯誤。③有實根，則有，即，當(dāng)時，不成立，所以錯誤。④若，則，正確，所以它的逆否命題也正確，所以正確的有1個。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log23且對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證：f(x)為奇函數(shù)；（2）若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.參考答案：（1）f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),

①令x=y=0,代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.令y=-x,代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有0＝f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù).（2）f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)知f(x)是奇函數(shù).所以有f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),即k·3x<-3x+9x+2,32x-(1+k)·3x+2>0對任意x∈R成立.令t=3x>0,問題等價于t2-(1+k)t+2>0對任意t>0恒成立.令g(t)=t2-(1+k)t+2,其對稱軸.當(dāng)<0即k<-1時，g(0)=2>0,符合題意；當(dāng)=0即k=-1時，g(t)=t2+2,對任意t>0,g(t)>0恒成立；當(dāng)>0時，對任意t>0，g(t)>0恒成立,解得-1<k<-1+,綜上所述當(dāng)k<-1+時，f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0對任意x∈R恒成立【解析】略19.

已知函數(shù)．

(1）若，求曲線在處切線的斜率；

(2）求的單調(diào)區(qū)間；

(3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）由已知，．故曲線在處切線的斜率為．(Ⅱ）．

①當(dāng)時，由于，故，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為．②當(dāng)時，由，得．在區(qū)間上，，在區(qū)間上，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為．

由（Ⅱ）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意．(或者舉出反例：存在，故不符合題意．）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值，，所以，解得．20.幾何證明選講選做題）如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2，則BD等于

.

參考答案：

6

略21.（本小題滿分12分）某商場準(zhǔn)備在倫敦奧運會期間舉行促銷活動．根據(jù)市場行情，該商場決定從3種品牌的服裝類商品、2種品牌的家電類商品、4種品牌的日用類商品中，任選出3種商品進(jìn)行促銷活動．（Ⅰ）求選出的3種商品中至少有一種是日用類商品的概率；

（Ⅱ）商場對選出的家電類商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該類商品成本價的基礎(chǔ)上每件提高180元作為售價銷售給顧客，同時給該顧客3次抽獎的機會，若中獎一次，就可以獲得一次獎金．假設(shè)該顧客每次抽獎時獲獎的概率都是，每次中獎與否互不影響，且每次獲獎時的獎金數(shù)額都為元，求顧客購買一件此類商品時中獎獎金總額的分布列和數(shù)學(xué)期望，并以此測算至多為多少時，此促銷方案使商場不會虧本？參考答案：解：（I）設(shè)選出的3種商品中至少有一種是日用商品為事件A，則（法一）．（法二）．即選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為．

…………5分答：選出的3種商品中至少有一種是日用商品的概率為．（II）設(shè)顧客抽獎的中獎中獎獎金總額為，則=，于是，，，，∴顧客中獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．………10分設(shè)商場將每次中獎的獎金數(shù)額定為元，則≤180，解得x≤120，即該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為120元，才能使商場不虧本．………12分答：該商場應(yīng)將每次中獎的獎金數(shù)額至多定為120元，才能使商場不虧本．22.（13分）在某校高中學(xué)生的校本課程選課過程中，規(guī)定每位學(xué)生必選一個科目，并且只選一個科目．已知某班一組與二組各有6位同學(xué)，選課情況如下表：科目組別甲乙一15二24總計39現(xiàn)從一組、二組中各任選