線性擬合方法第1頁，課件共54頁，創作于2023年2月第五章實驗數據及模型參數擬合方法第一節問題的提出第2頁，課件共54頁，創作于2023年2月第一節問題的提出在化工設計及化工模擬計算中，需要大量的物性參數及各種設備參數。這些參數有些可以通過計算得到，但大量的參數還是要通過實驗測量得到。實驗測量得到的常常是一組離散數據序列（xi,yi）。

如果數據序列（xi,yi）(為一般起見),i=1,2,…,m,含有不可避免的誤差（或稱“噪聲”，如圖5-1所示），或者無法同時滿足某特定的函數（如圖5-2所示）,那么，只能要求所作逼近函數ψ（x）最優地靠近樣點，即向量Q=（ψ(x1),ψ(x2),…,ψ(xm)）T與Y=(y1,y2,…,ym)T的誤差或距離最小。按Q與Y之間誤差最小原則作為“最優”標準構造的逼近函數，稱為擬合函數。第3頁，課件共54頁，創作于2023年2月第一節問題的提出圖5-1含有噪聲的數據圖5-2無法同時滿足某特定函數的數據序列第4頁，課件共54頁，創作于2023年2月第一節問題的提出除了物性數據及設備參數需要利用數據擬合外，在化學化工中，許多模型也要利用數據擬合技術，求出最佳的模型和模型參數。如在某一反應工程實驗中，我們測得了如表5-1所示的實驗數據。

現在要確定在其他條件不變的情況下，轉化率y和溫度T的具體關系，現擬用兩種模型去擬合實驗數據，兩種模型分別是

第5頁，課件共54頁，創作于2023年2月第一節問題的提出如何求取上述模型中的參數，并判斷兩種模型的優劣,是化學化工工作者經常要碰到的問題，這個問題的求解將在本章下面的有關章節中進行詳細的講解。

第6頁，課件共54頁，創作于2023年2月第二節擬合的標準第7頁，課件共54頁，創作于2023年2月第二節擬合的標準

前面已經提到按Q與Y之間誤差最小原則作為“最優”標準構造的逼近函數，稱為擬合函數，而向量Q與Y之間的誤差或距離有各種不同的定義方法，一般有以下幾種。

（1）用各點誤差絕對值的和表示

（2）用各點誤差按絕對值的最大值表示

（3）用各點誤差的平方和表示

第8頁，課件共54頁，創作于2023年2月式中R稱為均方誤差。由于計算均方誤差的最小值的原則容易實現而被廣泛采用。按均方誤差達到極小構造擬合曲線的方法稱為最小二乘法。同時還有許多種其他的方法構造擬合曲線，感興趣的讀者可參閱有關教材。本章主要講述用最小二乘法構造擬合曲線。第二節擬合的標準

第9頁，課件共54頁，創作于2023年2月第二節擬合的標準__實例1

實驗測得二甲醇（DME）的飽和蒸氣壓和溫度的關系，見表5-2。

序號溫度℃蒸氣壓MPa1-23.70.1012-100.174300.2544100.3595200.4956300.6627400.880表5-2DME飽和蒸氣壓和溫度的關系由表5-2的數據觀測可得，DME的飽和蒸氣壓和溫度有正相關關系，如果以函數p=a+bt來擬合,則擬合函數是一條直線。通過計算均方誤差Q(a,b)最小值而確定直線方程。（見圖5-3）圖5-3DME飽和蒸汽壓和溫度之間的線性擬合

第10頁，課件共54頁，創作于2023年2月第二節擬合的標準__實例1

擬合得到直線方程為：

相關系數R為0.97296，平均絕對偏差SD為0.0707。

第11頁，課件共54頁，創作于2023年2月擬合的標準

——

實例2如果采用二次擬合，通過計算下述均方誤差

擬合得二次方程為

相關系數R為0.99972，平均絕對偏差SD為0.00815,具體擬合曲線見圖5-4。圖5-4DME飽和蒸氣壓和溫度之間的二次擬合

第12頁，課件共54頁，創作于2023年2月擬合的標準實例2比較圖5-3和圖5-4以及各自的相關系數和平均絕對偏差可知：對于DME飽和蒸汽壓和溫度之間的關系，在實驗溫度范圍內用二次擬合曲線優于線性擬合。二次擬合曲線具有局限性，由圖5-4觀察可知，當溫度低于-30℃時，飽和壓力有升高的趨勢，但在擬合的溫度范圍內，二次擬合的平均絕對偏差又小于一次擬合，故對物性數據進行擬合時，不僅要看在擬合條件下的擬合效果，還必須根據物性的具體性質，判斷在擬合條件之外的物性變化趨勢，以便使擬合公式在已做實驗點數據之外應用。第13頁，課件共54頁，創作于2023年2月第三節單變量擬合和多變量擬合

給定一組數據（xi,yi）,i=1,2,…,m，作擬合直線p(x)=a+bx,均方誤差為

由數學知識可知，Q(a,b)的極小值需滿足：

整理得到擬合曲線滿足的方程：

5.3.1單變量擬合1.單變量擬合——

線性擬合第14頁，課件共54頁，創作于2023年2月1.單變量擬合——線性擬合該方程可用消元法或克萊姆方法解出方程（如下式所示）

第15頁，課件共54頁，創作于2023年2月第16頁，課件共54頁，創作于2023年2月單變量擬合——

線性擬合實例例：下表為實驗測得的某一物性和溫度之間的關系數據，表中x為溫度數據，y為物性數據。請用線性函數擬合溫度和物性之間的關系。

解：設擬合直線p(x)=a+bx,并計算得下表：

x7911131517192123252729y91215182124273033363942x313335373941434547

y454851545760636669

編號xyxyx212345…21Σ79111315…47567912151821…6981963108165234315…3243267334981121169225…220918389第17頁，課件共54頁，創作于2023年2月將數據代入法方程組（1-12）中，得到：解方程得：a=-1.5,b=1.5

擬合直線為：

相關系數R為1。單變量擬合——

線性擬合實例第18頁，課件共54頁，創作于2023年2月線性擬合VB清單PrivateSubCommand1_Click()Dimx(5),y(5),c,d,m,p,a,b,eerConstn=5Fori=1To5x(i)=InputBox(“x(i)=”)y(i)=InputBox(“y(i)=”)Print“x(i)=”;x(i)Print“y(i)=”;y(i)NextIc=0d=0m=0p=0

Fori=1To5c=c+x(i)d=d+x(i)^2m=m+y(i)p=p+x(i)*y(i)Nextia=(m*d-c*p)/(n*d-c^2)b=(n*p-c*m)/(n*d-c^2)‘參數計算

a=Int(a*1000+0.5)/1000b=Int(b*1000+0.5)/1000Text1.Text=Str(a)Text2.Text=Str(b)‘參數輸出Fori=1To5eer=eer+(a+b*x(i)-y(i))^2‘誤差計算

eer=Int(eer*100000+0.5)/100000Nextieer=eer/5Text3.Text=Str(eer)EndSub第19頁，課件共54頁，創作于2023年2月第20頁，課件共54頁，創作于2023年2月有關線性擬合變型問題例如要擬合y=a+b/x2，只需在數據輸入后增加一語句x(i)=1/x(i)^2，而在程序后面的誤差eer的計算中則不需要修改。第21頁，課件共54頁，創作于2023年2月2.單變量擬合二次擬合函數給定數據（xi,yi),i=1,2,…,m,用二次多項式函數擬合這組數據。

設,作出擬合函數與數據序列的均方誤差表達式由數學知識可知，Q(a0,a1

,a2)的極小值滿足：整理左式得二次多項式函數擬合的滿足條件方程（5-14）：

(5-14)第22頁，課件共54頁，創作于2023年2月解此方程得到在均方誤差最小意義下的擬合函數p(x)。式（5-14）稱為多項式擬合的法方程，法方程的系數矩陣是對稱的。當擬合多項式n>5時，法方程的系數矩陣是病態的，在用通常的迭代方法求解線性方程時會發散，在計算中要采用一些特殊算法以保護解的準確性。關于線性方程的求解方法，已在第三章中介紹。2.單變量擬合二次擬合函數第23頁，課件共54頁，創作于2023年2月3.二次擬合函數的拓展和一次擬合一樣，二次擬合也可以有多種變型，例如套用上面的公式，可以得到關于求解此擬合函數的法方程（5-15）。值得注意的是在此法方程的構建過程中，進行了變量的代換。首先是擬合函數中變量的代換:。

P(x)=a0+a1x3+a2x5

（5-15）第24頁，課件共54頁，創作于2023年2月其次是法方程的代換：將相應擬合函數中的代換引入法方程中。同時應注意法方程中x的4次冪是由兩個2次冪相乘得到，x的3次冪是由一個2次冪和一個1次冪相乘得到，而2次冪就是變量本身，而非兩個1次冪相乘得到。這個概念至關重要，在以后的二次擬合的各類變型中，均需利用這個概念，千萬不要用常規的思路去進行代入計算。

3.二次擬合函數的拓展如果我們需要求解是下面的擬合函數：

第25頁，課件共54頁，創作于2023年2月參照上面的方法，我們很容易得到求解該擬合函數的法方程3.二次擬合函數的拓展第26頁，課件共54頁，創作于2023年2月4.二次擬合實例請用二次多項式函數擬合下面這組數據。解：設

并計算得下表序號xyxyX2X2yX3X41-34-12936-27812-22-448-8163-13-313-114000000051-1-11-11162-2-44-881673-5-159-452781Σ01-3928-70196第27頁，課件共54頁，創作于2023年2月4.二次擬合實例將上面數據代入式

(5-14),相應的法方程為解方程得：

a0=0.66667,a1=-1.39286,a2=-0.13095所以：-3-2-10123-6-4-2024y=0.66667-1.39286x-0.13095x2yYX圖

5-6擬合曲線與數據序列

第28頁，課件共54頁，創作于2023年2月二次擬合--VB程序清單PrivateSubCommand1_Click()Dimn,mAsIntegern=InputBox("n=方程次數")m=InputBox("m=實驗次數")ReDimx(m),y(m),a0(n+1),a1(n+1),aa(m,n+1)ReDimqq(n+1,m),pp(n+1,n+1),b(n+1),g(n+1),tt(n+1,n+1)'ForI=1Tom:'讀入數據'READx(I),y(I)'NextI'Data-3,4,-2,2,-1,3,0,0,1,-1,2,-2,3,-5Fori=1Tomx(i)=InputBox("x(i)")y(i)=InputBox("y(i)")Nexti第29頁，課件共54頁，創作于2023年2月二次擬合--VB程序清單omiga=InputBox("omiga=松弛因子")Forj=1Ton+1'為計算法方程中的系數做準備

Fori=1Tomaa(i,j)=x(i)^(j-1)NextiNextjForj=1TomFori=1Ton+1qq(i,j)=aa(j,i)NextiNextj'計算法方程中的右邊項Fori=1Ton+1b(i)=0Forj=1Tomb(i)=b(i)+aa(j,i)*y(j)NextjNexti'開始計算法方程中的右邊項的系數Fori=1Ton+1Forj=1Ton+1pp(i,j)=0Fork=1Tompp(i,j)=qq(i,k)*aa(k,j)+pp(i,j)NextkNextjNexti第30頁，課件共54頁，創作于2023年2月二次擬合--VB程序清單'開始用松弛迭代法求解法方程中的變量Fori=1Ton+1a0(i)=0a1(i)=0.11NextiFori=1Ton+1g(i)=b(i)/pp(i,i)Forj=1Ton+1Ifj=iThentt(i,j)=0Elsett(i,j)=-pp(i,j)/pp(i,i)EndIfNextjNexti50eer=0Fori=1Ton+1eer=eer+Abs(a0(i)-a1(i))NextiIfeer<0.00001ThenGoTo100ElseFori=1Ton+1a0(i)=a1(i)Nexti第31頁，課件共54頁，創作于2023年2月二次擬合--VB程序清單'關鍵的迭代計算公式Fori=1Ton+1s=g(i)Forj=1Ton+1s=s+tt(i,j)*a0(j)Nextja1(i)=omiga*s+(1-omiga)*a0(i)'Print"a1("&i&")="&a1(i)NextiGoTo50EndIf'打打印結果100Fori=1Ton+1Print"a("&i-1&")="&a1(i)NextiEndSub第32頁，課件共54頁，創作于2023年2月3.2多變量的曲線擬合

前面介紹的曲線擬合方法只涉及單變量函數的曲線擬合，但實際在化工實驗數據處理及模型參數擬合時，通常會碰到多變量的參數擬合問題。一個典型的例子是傳熱實驗中努塞爾數、雷諾數及普朗特數之間的擬合問題：

(1-16)

根據若干組實驗測得的數據，如何求出式（1-16）中的參數c1、c2、c3，這是一個有2個變量的參數擬合問題，為不失一般性，我們把它表達成以下形式。給定數據序列用一次多項式函數擬合這組數據。

設，作出擬合函數與數據序列的均方誤差

(1-17)

(x1i,x2i,yi),i=1,2,3…,m

第33頁，課件共54頁，創作于2023年2月多變量的曲線擬合由多元函數的極值原理，Q(a0

,a1,a2

)的極小值滿足

整理得多變量一次多項式函數擬合的法方程

(1-18)第34頁，課件共54頁，創作于2023年2月通過求解方程（1-18）就可以得到多變量函數線性擬合時的參數，由于方程（1-16）不是線性方程，我們可以通過對方程（1-16）兩邊同取對數，就可以得到以下線性方程只要作如下變量代換：并將實驗數據代入法方程（1-18）就可以求出方程（1-16）中的系數。對于變量數多于2個，并且擬合曲線模型是非線性型時，可參照本節的方法，推導得到法方程，通過對法方程的求解就可以求得各種擬合曲線參數。靈活運用上面介紹的方法，可以解決大部分實驗數據及模型參數的擬合問題。多變量的曲線擬合第35頁，課件共54頁，創作于2023年2月多變量的曲線擬合—VB程序清單第36頁，課件共54頁，創作于2023年2月多變量的曲線擬合實例根據某傳熱實驗測得如下數據，請用方程（1-16）的形式擬合實驗曲線。

解：利用上面的VB程序，將數據依次輸入，就可以得到方程（1-16）中的三個參數

C1=0.023C2=0.8C3=0.3

則式（1-16）就變成了常見的光滑管傳熱方程第37頁，課件共54頁，創作于2023年2月多變量的曲線擬合實例值得注意的是程序中對c2(1)的處理，不是直接將計算結果顯示出來，而是進行指數運算后才顯示出來。這是由于我們在進行擬合計算的時候，對方程（1-16）進行了對數運算。如果擬合方程的形式和方程（1-16）不同，則需對上面提供的程序作適當修改。例如以下兩個自變量的擬合函數第38頁，課件共54頁，創作于2023年2月第四節解矛盾方程組第39頁，課件共54頁，創作于2023年2月第四節解矛盾方程組本節中將用最小二乘法求解線性矛盾方程的方法來構造擬合函數，并將其推廣至任意次和任意多個變量的擬合函數，為在化學化工中實驗數據處理及模型參數擬合提供更為一般性的方法。給定數據序列（xi,yi）,i=1,2,…,m

，做擬合直線p(x)=a0

+a1x，如果要直線p(x)過這些點，那么就有

p(xi)=a0+a1xi

=yi,i=1,2,…,m,即寫成矩陣形式為第40頁，課件共54頁，創作于2023年2月上述方程組中有2個未知量m個方程(m>>2)。一般地，將含有n個未知量m個方程的線性方程組其一般形式為第四節解矛盾方程組寫成矩陣形為

第41頁，課件共54頁，創作于2023年2月一般情況下，當方程數m多于變量數n

，且m個方程之間線性無關,則方程組無解，這時方程組稱為矛盾方程組。方程組在一般意義下無解，也即無法找到n個變量同時滿足m個方程。這種情況和擬合曲線無法同時滿足所有的實驗數據點相仿，故可以通過求解均方誤差極小意義下矛盾方程的解來獲取擬合曲線。由數學知識還可證明：方程組ATAX=ATY的解就是矛盾方程組AX=Y

在最小二乘法意義下的解。這樣我們只要通過求解ATAX=ATY就可以得到矛盾方程組的解，進而得到各種擬合曲線，為擬合曲線的求解提供了另一種方法。第四節解矛盾方程組min║AX-B║22第42頁，課件共54頁，創作于2023年2月例如，擬合直線p(x)=a0+a1x的矛盾方程組ATAX=ATY的形式如下：

化簡得到與式(1-12)相同的法方程第四節解矛盾方程組第43頁，課件共54頁，創作于2023年2月這里需要注意的是變量X和系數（a0，

a1）之間的相互轉換關系。即對于n次多項式曲線擬合，要計算Q(a0,a1,…,an)

的極小值問題,這與解矛盾方程組第四節解矛盾方程組與求

的極小問題是一回事。或第44頁，課件共54頁，創作于2023年2月在這里