PAGE4PAGE5.5.1兩角差的余弦公式教材分析這是2019版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（人教A版）第五章第5節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，這部分內(nèi)容課標(biāo)規(guī)定三課時(shí)，本節(jié)是第1課時(shí)，《兩角差的余弦公式》是三角恒等變換這一節(jié)的主要內(nèi)容，還有對(duì)兩角差的余弦公式有了認(rèn)識(shí)，才能夠以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出其他三角恒等變換公式。這是一個(gè)邏輯推理過(guò)程也是一個(gè)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特征，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過(guò)程。本節(jié)力圖體現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以選擇了利用對(duì)稱性證明兩角差的余弦公式。課時(shí)分配本節(jié)內(nèi)容用1課時(shí)的時(shí)間完成，主要講解兩角差的余弦公式的證明及運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題.教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn):利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式;難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)兩角差的三角函數(shù)與圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性間的聯(lián)系;認(rèn)識(shí)三角恒等變換的特點(diǎn),并能解決一些三角恒等變換的問(wèn)題.

知識(shí)點(diǎn)：兩角差的余弦公式.能力點(diǎn)：如何探尋兩角差的余弦公式的證明思路，數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.教育點(diǎn)：經(jīng)歷由特殊到一般的研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)探究的樂(lè)趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.自主探究點(diǎn)：通過(guò)三角函數(shù)的定義和圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性來(lái)找到弦長(zhǎng)與三角函數(shù)值的等量關(guān)系.考試點(diǎn)：用公式解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，角的象限的判斷，配湊角.易錯(cuò)易混點(diǎn)：逆用兩角差與和的余弦公式時(shí)符號(hào)易錯(cuò).拓展點(diǎn)：如何利用的三角函數(shù)值表示.教具準(zhǔn)備多媒體課件和三角板，圓規(guī)課堂模式學(xué)案導(dǎo)學(xué)一、引入新課教師引導(dǎo)：大家來(lái)回答一下以上兩個(gè)誘導(dǎo)公式的結(jié)果，你能當(dāng)誘導(dǎo)公式中的變成時(shí)，你能求出的值嗎，進(jìn)一步地你能求出的結(jié)果嗎?【師生活動(dòng)】教師分析思路：第一部分依然是基于圓的對(duì)稱性進(jìn)行研究,與5.3節(jié)相比較,5.3節(jié)中用到的

是圓的特殊的對(duì)稱性,此處用到的是圓的更一般的對(duì)稱性,即旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.這種特殊與一般的關(guān)系,蘊(yùn)含著誘導(dǎo)公式與兩角和(差)公式之間的特殊與一般的關(guān)系.一是努力使公式的證明過(guò)程簡(jiǎn)明易懂,易于學(xué)生接受:二是公式推導(dǎo)的依據(jù)要突出體現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,所以選擇了利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性證明兩角差的余弦公式.

【設(shè)計(jì)意圖】本課力圖體現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,所以選擇了利用旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性證明兩角差的余弦公式.二、探究新知（一）歸納公式通過(guò)“探究”,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主的思維活動(dòng).不失一般性,先研究角與的終邊不重合時(shí)的情況,即的情況.

步驟：第一步,標(biāo)注出“探究”中涉及到的量,即角，,的終邊與單位圓的交點(diǎn)并設(shè)單位圓與軸正半軸交于點(diǎn).

第二步,利用三角函數(shù)的定義,寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo).

第三步,利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,得到等量關(guān)系.

第四步,代入化簡(jiǎn),得到兩角差的余弦表達(dá)式.代人化簡(jiǎn)時(shí)需用到兩點(diǎn)間的距離公式,在邊空中已給出.在教學(xué)時(shí)可以利用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo).

問(wèn)題：當(dāng)角與的終邊重合時(shí),即,可得,或者即兩角差的余弦表達(dá)式是否仍然成？從而得到任意兩角差的余弦表達(dá)式..教科書(shū)中圖5.5-1起著直觀化的作用,但證明的過(guò)程利用的不是角與終邊的特殊位置.在教學(xué)中可以從以下兩方面引導(dǎo)學(xué)生理解這種證明過(guò)程的一般性:其一,改變角終邊的位置,讓學(xué)生看到證明第二步中各點(diǎn)的坐標(biāo)不會(huì)因此改變;其二,根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,無(wú)論角與終邊的位置如何,總有,成立.和角、差角,倍角的三角函數(shù)之間存在緊密的內(nèi)在聯(lián)系,因此不必孤立地去一一推導(dǎo)這些公式,只要推導(dǎo)出一個(gè)公式作為基礎(chǔ),再利用這種聯(lián)系性,用邏輯推理的方法就可以得到其他公式.[設(shè)計(jì)意圖]這種證明的好處是不需要利用圖形本身的直觀性質(zhì),即證明的過(guò)程不受圖形大小,位置變化的限制,因此證明具有一般性。給學(xué)生充分的感性材料,揭示公式的發(fā)現(xiàn)過(guò)程,通過(guò)學(xué)生發(fā)現(xiàn)若干特例的共性,培養(yǎng)學(xué)生歸納、概括、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力（一般性探究）．避免直接將公式拋給學(xué)生．公式證明根據(jù)弦長(zhǎng)相等，可以利用兩點(diǎn)間的公式推導(dǎo)三個(gè)角函數(shù)之間的關(guān)系[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)學(xué)生的計(jì)算，感受兩角差的余弦公式的形成，加深對(duì)公式的理解。同時(shí)體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化思想。理解新知任意角的正余弦與其差角的余弦之間的關(guān)系，成為差角的余弦公式分析公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，特征得到口訣：余余正正符號(hào)反．.[設(shè)計(jì)意圖]為準(zhǔn)確地運(yùn)用新知，作必要的鋪墊，一分鐘記憶背誦.讓學(xué)生從了解到熟練，牢記公式形式，公式特征，達(dá)到記憶準(zhǔn)確，融會(huì)貫通。也通過(guò)大聲記憶提振學(xué)生精神。運(yùn)用新知[設(shè)計(jì)意圖]利用兩角和的余弦公式證明誘導(dǎo)公式，體現(xiàn)了前后知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,有利于學(xué)生全面而系統(tǒng)地掌握知識(shí)．讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式是兩角差余弦公式的特殊形式，體現(xiàn)特殊與一般的聯(lián)系。如是第三象限角求的值.你能總結(jié)求兩角差的余弦的步驟嗎？[設(shè)計(jì)意圖]此題是應(yīng)用、理解公式的基礎(chǔ)練習(xí)，解此題需要思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備，要作出這些必要的準(zhǔn)備，需要運(yùn)用到同角三角函數(shù)的知識(shí)。解題時(shí)必須強(qiáng)調(diào)解決三角變換問(wèn)題的基本要求：思維的有序性和表述的條理性。五、課堂小結(jié)教師提問(wèn)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1．知識(shí)：．2．思想：分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想．教師總結(jié):公式的證明過(guò)程用到了前面利用單位圓定義三角函數(shù)和利用圓的對(duì)稱性證明誘導(dǎo)公式的知識(shí)和方法，在學(xué)習(xí)新知時(shí)，從已知已會(huì)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律性，統(tǒng)一性的認(rèn)識(shí),從而更好地運(yùn)用知識(shí),解題要有目的性，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的認(rèn)識(shí)與自覺(jué)運(yùn)用．[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，了解學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容及應(yīng)用，會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題．達(dá)標(biāo)訓(xùn)練[設(shè)計(jì)意圖]本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了三個(gè)題目，分別對(duì)應(yīng)公式直接應(yīng)用，公式活學(xué)活用應(yīng)用，公式逆運(yùn)用等三個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力及良好的解題習(xí)慣，第二題是對(duì)公式的直接應(yīng)用，體現(xiàn)了角的拆分的思想。拆分的多樣性，體現(xiàn)了變換的多樣性。求解的過(guò)程可以完全由學(xué)生獨(dú)立完成。既可以找到例題中兩個(gè)問(wèn)題的聯(lián)系，又可以公式的靈活變形和逆用提高學(xué)生的解題能力．逆向運(yùn)用公式．兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)由具體到抽象,便于學(xué)生全面的認(rèn)識(shí)公式,提高理解、運(yùn)用知識(shí)的能力．目標(biāo)回扣1.差角的余弦在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用2.差角的余弦的證明方法3.利用該公式進(jìn)行證明，求值[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)再現(xiàn)，加深對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容再認(rèn)識(shí)，達(dá)到學(xué)有所得，學(xué)有所思的目的．知新如何利用的三角函數(shù)值表示[設(shè)計(jì)意圖]設(shè)計(jì)分層作業(yè)，是引導(dǎo)學(xué)生先抓基礎(chǔ)，再鞏固提高，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律循序漸進(jìn).書(shū)面作業(yè)的布置，是為了讓學(xué)生能夠鞏固兩角差與和的余弦公式，解決簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題；知新環(huán)節(jié)的安排，是讓學(xué)生理解公式之間的聯(lián)系，會(huì)用任意角的觀點(diǎn)宏觀的看問(wèn)題，起到承上啟下的作用．六、布置作業(yè)必做題：1．課后練習(xí)P2173.4選做題：1.習(xí)題5.5復(fù)習(xí)鞏固1.22.已知α,β都是銳角，，求cosβ的值.七、教后反思1.本教案的亮點(diǎn)是理解新知的教學(xué)中，讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和研究方法說(shuō)明思路的由來(lái)過(guò)程。讓學(xué)生積極探究，了解不同的證明方法，加深對(duì)知識(shí)的公式的理解。達(dá)標(biāo)訓(xùn)練切入點(diǎn)低，題型豐富，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有獲得感．2.由于學(xué)情情況不同，建議在使用本教案時(shí)靈活掌握，要把證明的過(guò)程分析透徹，讓學(xué)生知其然，知其由然，知其何以由然.3.本節(jié)課的弱項(xiàng)是由于證明過(guò)程跨度較大，在課堂上沒(méi)有充分的學(xué)生活動(dòng)，需給予針對(duì)性地診斷與分析.八、板書(shū)設(shè)計(jì)5．5．1兩角和與差的余弦一．誘導(dǎo)公式例題二．差角余弦公式小結(jié)教后反思1.本教案的亮點(diǎn)是理解新知的教學(xué)中，讓學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和研究方法說(shuō)明思路的由來(lái)過(guò)程。讓學(xué)生積極探究，了解不同的證明方法，加深對(duì)知識(shí)的公式的理解。達(dá)標(biāo)訓(xùn)練切入點(diǎn)低，題型豐富，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有獲得感．2.由于學(xué)情情況不同，建議在使用本教案時(shí)靈活掌握，要把證明的過(guò)程分析透徹，讓學(xué)生知其然，知其由然，知其何以由然.3.本節(jié)課的弱項(xiàng)是由于證明過(guò)程跨度較大，在課堂上沒(méi)有充分的學(xué)生活動(dòng)，需給予針對(duì)性地診斷與分析.課標(biāo)分析這是2019版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（人教A版）第五章第5節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，這部分內(nèi)容課標(biāo)規(guī)定三課時(shí)，本節(jié)是第1課時(shí)，《兩角差的余弦公式》是三角恒等變換這一節(jié)的主要內(nèi)容，還有對(duì)兩角差的余弦公式有了認(rèn)識(shí)，才能夠以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出其他三角恒等變換公式。這是一個(gè)邏輯推理過(guò)程也是一個(gè)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特征，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過(guò)程。本節(jié)力圖體現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以選擇了利用對(duì)稱性證明兩角差的余弦公式。教材分析這是2019版普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)（人教A版）第五章第5節(jié)的教學(xué)內(nèi)容，這部分內(nèi)容課標(biāo)規(guī)定三課時(shí)，本節(jié)是第1課時(shí)，《兩角差的余弦公式》是三角恒等變換這一節(jié)的主要內(nèi)容，還有對(duì)兩角差的余弦公式有了認(rèn)識(shí)，才能夠以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出其他三角恒等變換公式。這是一個(gè)邏輯推理過(guò)程也是一個(gè)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)式的特征，體會(huì)三角恒等變換特點(diǎn)的過(guò)程。本節(jié)力圖體現(xiàn)圓的對(duì)稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，所以選擇了利用對(duì)稱性證明兩角差的余弦公式。學(xué)情分析學(xué)生初中也接觸過(guò)正弦，余弦，本章對(duì)三角函數(shù)也做了相應(yīng)的研究，所以《兩角差的余弦公式》也會(huì)比較好理解。因?yàn)楸菊n時(shí)人教版新教材2019A版必修一的內(nèi)容，學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)向量，所以公式的向量證明只能等必修二學(xué)習(xí)向量后再開(kāi)始研究。三角函數(shù)有了研究基礎(chǔ)，可以通過(guò)圓的對(duì)稱性和兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)進(jìn)行研究，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)研究問(wèn)題。評(píng)測(cè)練習(xí)[設(shè)計(jì)意圖]本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了三個(gè)題目，分別對(duì)應(yīng)公式直接應(yīng)用，公式活學(xué)活用應(yīng)用，公式逆運(yùn)用等三個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力及良好的解題習(xí)慣，第二題是對(duì)公式的直接應(yīng)用，體現(xiàn)了角的拆分的思想。拆分的多樣性，體現(xiàn)了變換的多樣性。求解的過(guò)程可以完全由學(xué)生獨(dú)立完成。既可以找到例題中兩個(gè)問(wèn)題的聯(lián)系，又可以公式的靈活變形和逆用提高學(xué)生的解題能力．逆向運(yùn)用公式．兩個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)由具體到抽象,便于學(xué)生全面的認(rèn)識(shí)公式,提高理解、運(yùn)用知識(shí)的能力．布置作業(yè)必做題：1．課后練習(xí)P2173.4選做題：1.習(xí)題5.5復(fù)習(xí)鞏固1.22.已知α,β都是銳角，，求cosβ的值.效果分析1.通過(guò)學(xué)習(xí)利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過(guò)程讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩角差的三角函數(shù)與圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)三角恒等變換的特點(diǎn),并