高考數學總復習第2章§2.3函數的單調性及最值理-A3演示文稿設計與制作§2.3函數的單調性及最值

§2.3函數的單調性及最值考點探究?挑戰高考考向瞭望?把脈高考雙基研習?面對高考雙基研習?面對高考基礎梳理1．函數的單調性(1)增加的、減少的函數增加的函數減少的函數定義在函數y＝f(x)的定義域內的一個區間A上，如果對于任意兩數x1，x2∈A當x1＜x2時，都有____________那么，就稱函數y＝f(x)在區間A上是增加的，有時也稱函數y＝f(x)在區間A上是遞增的.當x1＜x2時，都有______________，那么，就稱函數y＝f(x)在區間A上是減少的，有時也稱函數y＝f(x)在區間A上是_______的.f(x1)＜f(x2)．f(x1)＞f(x2)遞減(2)單調區間和函數的單調性①如果y＝f(x)在區間A上是_________或是________，那么稱A為單調區間．②如果函數y＝f(x)在定義域的某個子集上是_________或是________，那么就稱函數y＝f(x)在這個子集上具有單調性．(3)單調函數如果函數y＝f(x)在______________內是________或是_________，我們分別稱這個函數為增函數或減函數，統稱為單調函數．增加的減少的增加的減少的整個定義域增加的減少的思考感悟1．如果一個函數在定義域的幾個區間上都是增(減)函數，能不能說這個函數在其定義域上是增(減)函數？2．函數的最值(1)函數的最大值一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有_________；②存在x0∈I，使得__________.那么稱M是函數y＝f(x)的最大值．f(x)≤Mf(x0)＝M(2)函數的最小值一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：①對于任意的x∈I，都有_________；②存在x0∈I，使得__________.那么稱M是函數y＝f(x)的最小值．f(x)≥Mf(x0)＝M思考感悟2．函數最大值或最小值的幾何意義是什么？提示：函數最大值或最小值是函數的整體性質，從圖像上看，函數的最大值或最小值是圖像最高點或最低點的縱坐標．課前熱身答案：C2．下列說法正確的是(

)A．定義在(a，b)上的函數f(x)，若存在x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數B．定義在(a，b)上的函數f(x)，若有無窮多對x1，x2∈(a，b)，使得當x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上為增函數C．若f(x)在區間I1上為增函數，在區間I2上也為增函數，那么f(x)在I1∪I2上也一定為增函數D．若f(x)在區間I上為增函數，且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2答案：D答案：D答案：1答案：①③考點探究?挑戰高考考點突破考點一判斷(或證明)函數的單調性判斷函數的單調性，常用的方法有圖像法、定義法、導數法或利用已知函數的單調性判斷．特別要掌握利用定義判斷函數單調性這一最基本的方法，必須按“取值—作差—變形—定號—判斷”的基本步驟進行，而變形過程常通過因式分解、配方、有理化等手段，直到便于判斷差的符號為止．例1【思路點撥】畫出四個函數的草圖，根據圖像判斷．【解析】法一：畫出4個圖像，可知②③正確．故選B.③中的函數圖像是函數y＝x－1的圖像保留x軸上方的部分，下方的圖像翻折到x軸上方而得到的，由其圖像可知函數符合題意；④中的函數為指數函數，其底數大于1，故其在R上單調遞增，不符合題意，綜上可知選B.【答案】

B考點二求函數的單調區間函數的單調區間應是函數定義域的子集，求函數的單調區間必須先確定函數的定義域，常用方法有圖像法、定義法和導數法．復習時，要善于借助函數圖像，并特別注意函數的定義域．例2【思路點撥】

(1)先去掉絕對值符號轉化為分段函數，再求單調區間；(2)(3)是復合函數，可根據復合函數單調區間的求法求單調區間．【易錯警示】本例(1)易將單調減區間寫成[－1,0]∪[1，＋∞)，單調增區間寫成(－∞，－1]∪[0,1]；本例(3)易忽視定義域，將單調減區間寫成(－∞，－1]，單調增區間寫成(－1，＋∞)．考點三函數的最值(值域)本考點是指借助函數的單調性來求函數的最值(值域)．基本方法是先確定函數的單調性，再由單調性求最值．需要注意的是所給函數的定義域是閉區間或半開半閉區間才能用單調性法來求值域(最值)．例3【解】

(1)證明：設x1＞x2，則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，又∵x＞0時，f(x)＜0.而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上是減函數．(2)∵f(x)在R上是減函數，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.【規律小結】

若函數在閉區間[a，b]上是減函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(a)，最小值為f(b)；若函數在閉區間[a，b]上是增函數，則f(x)在[a，b]上的最大值為f(b)，最小值為f(a)．方法感悟方法技巧1．求函數的單調區間(1)含絕對值的函數或分段函數求單調區間常用圖像法．(如例2(1))(2)求復合函數的單調區間①如果y＝f(u)和u＝g(x)單調性相同，那么y＝f[g(x)]是增函數；如果y＝f(u)和u＝g(x)單調性相反，那么y＝f[g(x)]是減函數．②求復合函數的單調區間的一般步驟是：a.求函數的定義域；b.求簡單函數的單調區間；c.求復合函數的單調區間，依據是“同增異減”．(如例2(3))2．運用函數單調性求最值是求函數最值的重要方法，特別是當函數圖像不易作出時，單調性幾乎成為首選方法．(如例3)失誤防范考情分析考向瞭望?把脈高考從近兩年的高考試題來看，函數單調性的判斷和應用以及函數的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數的單調性、最值的靈活確定與簡單應用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，又注重考查函數方程、等價轉化、數形結合、分類討論的思想方法．預測2012年高考仍將以利用導數求函數的單調區間，研究單調性及利用單調性求最值或求參數的取值范圍為主要考點，重點考查轉化與化歸思想及邏輯推理能力．真題透析例【名師點評】

(1)本題易失誤的是：①導數運算公式記憶不準確，求不對導數；②不會用導數判斷單調性或解不等式出錯．(2)判斷函數單調性的方法①定義法；②利用一些常見函數的單調性，如一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的單調性加以判斷；③圖像法；④在共同的定義域上，兩個增(減)函數的和仍為增(減)函數；一個增(減)函數與一個減(增)函數的差是增(減)函數；⑤奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性；⑥復合函數y＝f[g(x)]的單調性，遵循“同增異減”的原則，即內外層函數單調性相同時則為增函數，一增一減為減函數；⑦導數法，函數f(x)在某區間內可導，如果f′(x)＞0，則函數為增函數，如果f′(x)＜0，則函數為減函數．名師預測答案：C解析：(1)由于x≥1時，f(x)＝logax單調遞增，故a＞1；(2)x＜1時，f(x)＝(3－a)x－4a單調遞增，故3－a＞0，a＜3；要同時滿足(1)(2)兩個條件，則1＜a＜3，此時(3－a)x－4a＜0(x＜1)，知logax≥0(x≥1)滿足題意，故1＜a＜3.答案：(1,3)答案：b＞c＝a感謝觀看謝謝大家A3演示文稿設計與制作信息技術2.0微能力認證作業中小學教師繼續教育參考資料高考數學總復習第課時直接證明與間接證明文-A3演示文稿設計與制作第6課時直接證明與間接證明第6課時直接證明與間接證明考點探究·挑戰高考考向瞭望·把脈高考溫故夯基·面對高考溫故夯基·面對高考證明的結論推理論證成立充分條件內容綜合法分析法文字語言因為…所以…或由…得…要證…只需證即證…思考感悟綜合法和分析法的區別與聯系是什么？提示：綜合法的特點是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．其逐步推理實際上是尋找它的必要條件．分析法的特點是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”．其逐步推理實際上是尋求它的充分條件．在解決問題時，經常把綜合法和分析法綜合起來使用．2．間接證明反證法：假設原命題_______

(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出_____．因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．不成立矛盾考點探究·挑戰高考綜合法考點一考點突破綜合法是“由因導果”，它是從已知條件出發，順著推證，經過一系列的中間推理，最后導出所證結論的真實性．用綜合法證明的邏輯關系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數學定義、定理、公理等，B為要證結論)，它的常見書面表達是“∵，∴”或“?”．例1分析法考點二分析法是“執果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件．它是從要求證的結論出發，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件，已經學過的定義、定理、公理、公式、法則等)．用分析法證明命題的邏輯關系是：B?B1?B2?…?Bn?A.它的常見書面表達是“要證……只需……”或“?”．例2【思路分析】

ab?a·b＝0，利用a2＝|a|2求證．平方得|a|2＋|b|2＋2|a||b|≤2(|a|2＋|b|2－2a·b)，只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，顯然成立．故原不等式得證．【誤區警示】本題從要證明的結論出發，探求使結論成立的充分條件，最后找到的恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時，命題得證．這正是分析法證明問題的一般思路．一般地，含有根號、絕對值的等式或不等式，若從正面不易推導時，可以考慮用分析法．反證法考點三反證法體現了正難則反的思維方法，用反證法證明問題的一般步驟是：(1)分清問題的條件和結論；(2)假定所要證的結論不成立，而設結論的反面成立(否定結論)；(3)從假設和條件出發，經過正確的推理，導出與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事實相矛盾或自相矛盾(推導矛盾)；(4)因為推理正確，所以斷定產生矛盾的原因是“假設”錯誤．既然結論的反面不成立，從而證明了原結論成立(結論成立)．例3【思路分析】

(1)利用求和公式先求公差d，(2)利用反證法證明．【名師點評】當一個命題的結論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現時，宜用反證法來證，反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等，反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數學證明中的一件有力武器．方法感悟方法技巧1．分析法和綜合法各有優缺點．分析法思考起來比較自然，容易尋找到解題的思路和方法，缺點是思路逆行，敘述較繁瑣；綜合法從條件推出結論，較簡潔地解決問題，但不便于思考．實際證題時常常兩法兼用，先用分析法探索證明途徑，然后再用綜合法敘述出來．2．利用反證法證明數學問題時，要假設結論錯誤，并用假設命題進行推理，沒有用假設命題推理而推出矛盾結果，其推理過程是錯誤的．3．用分析法證明數學問題時，要注意書寫格式的規范性，常常用“要證(欲證)”…“即要證”…“就要證”等分析得到一個明顯成立的結論P，再說明所要證明的數學問題成立．失誤防范1．反證法證明中要注意的問題(1)必須先否定結論，即肯定結論的反面，當結論的反面呈現多樣性時，必須羅列出各種可能結論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；(2)反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發進行推理，就不是反證