測量的誤碼率差和數據的處理第1頁，課件共102頁，創作于2023年2月1.隨機誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環境、測量人員、測量技術和測量儀器都相同的條件下），多次重復測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規律變化等。第2頁，課件共102頁，創作于2023年2月例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規律，但多次測量的總體卻服從統計規律。可通過數理統計的方法來處理,即求算術平均值隨機誤差定義：測量結果與在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差第3頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.系統誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規律變化的誤差，稱為系統誤差。產生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數習慣等。系統誤差表明了一個測量結果偏離真值或實際值的程度。系差越小，測量就越準確。系統誤差的定量定義是：在重復性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。即第4頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.粗大誤差：

粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預定的要求而匆忙實驗等②測量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內阻電源的開路電壓③測量環境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數據處理時，應剔除掉。第5頁，課件共102頁，創作于2023年2月4.系差和隨差的表達式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統誤差和隨機誤差的代數和。在任何一次測量中，系統誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉化第6頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.1.2測量結果的表征準確度表示系統誤差的大小。系統誤差越小，則準確度越高，測量值與實際值符合的程度越高。精密度表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素使測量值呈現分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統誤差和隨機誤差都小。射擊誤差示意圖第7頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.2測量誤差的估計和處理在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規律的因素引起的，如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統計規律。可用數理統計的方法，處理測量數據，從而減少隨機誤差對測量結果的影響。3.2.1隨機誤差的統計特性及減少方法第8頁，課件共102頁，創作于2023年2月（1）隨機變量的數字特征①

數學期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續型隨機變量：1.隨機誤差的分布規律第9頁，課件共102頁，創作于2023年2月②方差和標準偏差方差是用來描述隨機變量與其數學期望的分散程度。設隨機變量X的數學期望為E(X)，則X的方差定義為：

D(X)=E(X－E(X))2

標準偏差定義為：標準偏差同樣描述隨機變量與其數學期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。第10頁，課件共102頁，創作于2023年2月測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態分布。(2)測量誤差的正態分布為什么測量數據和隨機誤差大多接近正態分布？第11頁，課件共102頁，創作于2023年2月隨機誤差的概率密度函數為：測量數據X的概率密度函數為：

隨機誤差的數學期望和方差為：同樣測量數據的數學期望E(X)＝，方差D(X)＝第12頁，課件共102頁，創作于2023年2月隨機誤差和測量數據的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性第13頁，課件共102頁，創作于2023年2月標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數據越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數據越分散。標準偏差是代表測量數據和測量誤差分布離散程度的特征數。第14頁，課件共102頁，創作于2023年2月常見的非正態分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當只能估計誤差在某一范圍內，而不知其分布時，一般可假定均勻分布。概率密度:均值:當時,標準偏差:

當

時，第15頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.有限次測量的數學期望和標準偏差的估計值求被測量的數字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量。用事件發生的頻度代替事件發生的概率，當則令n個可相同的測試數據xi(i=1.2…,n)

次數都計為1,當時，則（1）有限次測量的數學期望的估計值——算術平均值第16頁，課件共102頁，創作于2023年2月規定使用算術平均值為數學期望的估計值，并作為最后的測量結果。即：

算術平均值是數學期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術平均值比測量值更接近真值？

第17頁，課件共102頁，創作于2023年2月（2）算術平均值的標準偏差故：算術平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。*第18頁，課件共102頁，創作于2023年2月算術平均值標準偏差的估計值：算術平均值：殘差：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：第19頁，課件共102頁，創作于2023年2月【例3.1】用溫度計重復測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差第20頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.測量結果的置信問題（1）置信概率與置信區間：

置信區間內包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積第21頁，課件共102頁，創作于2023年2月（2）正態分布的置信概率當分布和k值確定之后，則置信概率可定正態分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區間越寬，置信概率越大第22頁，課件共102頁，創作于2023年2月t分布與測量次數有關。當n>20以后，t分布趨于正態分布。正態分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態分布有更大的置信區間。給定置信概率和測量次數n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-1第23頁，課件共102頁，創作于2023年2月第24頁，課件共102頁，創作于2023年2月由于常見的非正態分布都是有限的，設其置信限為誤差極限，即誤差的置信區間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:第25頁，課件共102頁，創作于2023年2月第26頁，課件共102頁，創作于2023年2月1.系統誤差的特征同一條件下，多次測量同一量值，誤差的絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，誤差按一定的規律變化。3.2.2系統誤差的判斷及消除方法多次測量求平均不能減少系差。第27頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.系統誤差的發現方法（1）不變的系統誤差：校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統誤差①

殘差觀察法，適用于系統誤差比隨機誤差大的情況,將所測數據及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數據的殘差值的大小和符號的變化。存在線性變化的系統誤差無明顯系統誤差第28頁，課件共102頁，創作于2023年2月②馬利科夫判據：若有累進性系統誤差，D值應明顯異于零。當n為偶數時，

當n為奇數時，③阿貝－赫梅特判據：檢驗周期性系差的存在。第29頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.系統誤差的削弱或消除方法

（1）從產生系統誤差根源上采取措施減小系統誤差①

從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。②

測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。③注意周圍環境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統誤差。提高測量人員業務技術水平和工作責任心，改進設備。第30頁，課件共102頁，創作于2023年2月（2）用修正方法減少系統誤差修正值＝－誤差=－（測量值－真值）實際值＝測量值＋修正（3）采用一些專門的測量方法

①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統誤差的半周期法系統誤差可忽略不計的準則是：誤差或殘余誤差代數和的絕對值不超過測量結果的最后一位有效數字的一半。第31頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.2.3粗大誤差及其判斷準則大誤差出現的概率很小，列出可疑數據，分析是否是粗大誤差，若是，則應將對應的測量值剔除。1.粗大誤差產生原因以及防止與消除的方法粗大誤差的產生原因①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產生粗大誤差。第32頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.粗大誤差的判別準則統計學的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應的置信區間，凡超過置信區間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法格拉布斯檢驗法第33頁，課件共102頁，創作于2023年2月式中，G值按重復測量次數n及置信概率Pc確定第34頁，課件共102頁，創作于2023年2月應注意的問題①

所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統一的規定。當偏離正態分布和測量次數少時檢驗不一定可靠。②

若有多個可疑數據同時超過檢驗所定置信區間，應逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數據超出范圍時，應逐個剔除。③在一組測量數據中，可疑數據應很少。反之，說明系統工作不正常。第35頁，課件共102頁，創作于2023年2月解：①計算得s=0.033 計算殘差填入表3－7，最大，是可疑數據。②用萊特檢驗法3·s=3×0.033=0.099故可判斷是粗大誤差，應予剔除。再對剔除后的數據計算得：s′=0.0163·s′=0.048各測量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個數據都為正常數據。【例3.3】對某電爐的溫度進行多次重復測量，所得結果列于表3－7，試檢查測量數據中有無粗大誤差。第36頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.2.4測量結果的處理步驟①對測量值進行系統誤差修正，將數據列成表格；②求出算術平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值第37頁，課件共102頁，創作于2023年2月⑤按萊特準則，或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統誤差。如有系統誤差，應查明原因，修正或消除系統誤差后重新測量；⑦計算算術平均值的標準偏差；⑧寫出最后結果的表達式，即。第38頁，課件共102頁，創作于2023年2月【例3．4】對某電壓進行了16次等精度測量，測量數據中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內的測量結果表達式。第39頁，課件共102頁，創作于2023年2月第40頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.2.4測量結果的處理步驟（續）第41頁，課件共102頁，創作于2023年2月等精度測量與不等精度測量等精度測量：在相同地點、相同的測量方法和相同測量設備、相同測量人員、相同環境條件（溫度、濕度、干擾等），在短時間內進行的重復測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權值與標準偏差的平方成反比。權值

測量結果為加權平均值

第42頁，課件共102頁，創作于2023年2月第43頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.2.5誤差的合成分析第44頁，課件共102頁，創作于2023年2月第45頁，課件共102頁，創作于2023年2月在實際應用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設計階段中對傳感器、儀器及系統等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應措施。但是，更嚴格和更準確地計算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定。第46頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.3測量不確定度不確定度是說明測量結果可能的分散程度的參數。可用標準偏差表示，也可用標準偏差的倍數或置信區間的半寬度表示。3.3.1不確定度的概念第47頁，課件共102頁，創作于2023年2月

1.術語（1）標準不確定度：用概率分布的標準偏差表示的不確定度

①A類標準不確定度：統計方法得到的不確定度。②B類標準不確定度：非統計方法得到的不確定度（2）合成標準不確定度*由各不確定度分量合成的標準不確定度。*因為測量結果是受若干因素聯合影響。第48頁，課件共102頁，創作于2023年2月（3）擴展不確定度*合成標準不確定度的倍數表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標準不確定度得到一個區間半寬度。*包含因子的取值決定了擴展不確定度的置信水平。*通常測量結果的不確定度都用擴展不確定度表示第49頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.不確定度的分類第50頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.不確定度的來源①被測量定義的不完善，實現被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。②測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩定性等影響。③測量環境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術水平等影響。④計量標準和標準物質的值本身的不確定度，在數據簡化算法中使用的常數及其他參數值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機因素所引起的被測量本身的不穩定性。第51頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.3.2誤差與不確定度的區別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準確得到，是一個定性的概念表示測量結果的分散程度，可根據試驗、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認識程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認識有關。隨機誤差、系統誤差是兩種不同性質的誤差A類或B類不確定度是兩種不同的評定方法。第52頁，課件共102頁，創作于2023年2月測量誤差測量不確定度須進行異常數據判別并剔除。剔除異常數據后再評定不確定度在最后測量結果中應修正確定的系統誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應考慮修正不完善引入的不確定度分量。“誤差傳播定律”可用于間接測量時對誤差進行定性分析。不確定度傳播律更科學，用于定量評定測量結果的合成不確定度第53頁，課件共102頁，創作于2023年2月1.標準不確定度的A類評定方法

在同一條件下對被測量X進行n次測量，測量值為xi(i=1,2,…,n)，(A)計算樣本算術平均值，作為被測量X的估計值，并把它作為測量結果。(B)計算實驗偏差式中自由度v=n－1.(C)A類不確定度3.3.3不確定度的評定方法自由度意義：自由度數值越大，說明測量不確定度越可信。第54頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.標準不確定度的B類評定方法B類方法評定的主要信息來源是以前測量的數據、生產廠的技術證明書、儀器的鑒定證書或校準證書等。確定測量值的誤差區間（α,-α），并假設被測量的值的概率分布，由要求的置信水平估計包含因子k，則B類標準不確定度uB為

其中

a

——區間的半寬度；k——置信因子，通常在2～3之間。第55頁，課件共102頁，創作于2023年2月分布三角梯形均勻反正弦

k(p=1)概率P%5068.27909595.459999.73置信因子0.67611.6451.96022.5763表3－9正態分布時概率與置信因子的關系表3－10幾種非正態分布的置信因子k

第56頁，課件共102頁，創作于2023年2月第57頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.合成標準不確定度的計算方法（1）協方差和相關系數的概念兩個隨機變量X和Y，其中一個量的變化導致另一個量的變化，那么這兩個量是相關的。獨立肯定不相關，但不相關不一定獨立。①協方差的概念協方差協方差的估計值第58頁，課件共102頁，創作于2023年2月②相關系數Q概念:表示兩隨機變量相關程度－1≤Q≤1。相關系數的估計值r(x，y)

正相關負相關完全正相關完全負相關不相關0<Q<1－1<Q<0Q=1Q=－1Q=0第59頁，課件共102頁，創作于2023年2月（2）輸入量不相關時不確定度的合成①可寫出函數關系式Y＝ｆ（X1，X2，…，XN）；式中稱為靈敏系數②不能寫出函數關系式(3)輸入量相關時,使用不確定度傳播律

第60頁，課件共102頁，創作于2023年2月（4）不確定度傳播律公式的幾種簡化方法

①

所有的輸入量都相關，且相關系數ｒ(ｘｉ,ｘｊ)＝1時，則UC(y)為

②當被測量的函數形式為Y＝A1X1＋A2X2＋…＋ANXN，且X1,X2,…,XN不相關時，合成標準不確定度UC(y)為第61頁，課件共102頁，創作于2023年2月③

當被測量的函數形式為且X1,X2,…,XN不相關時，相對合成標準不確定度UC(y)/Y為例:電功率P=IV則第62頁，課件共102頁，創作于2023年2月第63頁，課件共102頁，創作于2023年2月（5）不確定度分量的忽略一切不確定度分量均貢獻于合成不確定度，即只會使合成不確定度增加。忽略任何一個分量，都會導致合成不確定度變小。但由于采用的是方差相加得到合成方差，當某些分量小到一定程度后，對合成不確定度實際上起不到什么作用，為簡化分析與計算，則可以忽略不計。例如，忽略某些分量后，對合成不確定度的影響不足十分之一，就可根據情況忽略這些分量。第64頁，課件共102頁，創作于2023年2月

4.擴展不確定度的確定方法擴展不確定度U由合成標準不確定度ｕC與包含因子ｋ的乘積得到U＝k·uC

測量結果表示為Y＝ｙ±U

，即Y=y±kuc

y是被測量Y的最佳估計值

,k由置信概率（常取0.95或0.99）和概率分布（正態、均勻、t分布等）確定。算術平均值第65頁，課件共102頁，創作于2023年2月包含因子k是的選取方法有:(A)無法得到合成標準不確定度的自由度，且測量值接近正態分布時，則一般取ｋ的典型值為2或3。(B)根據測量值的分布規律和所要求的置信水平，選取ｋ值。例如，假設為均勻分布時，置信水平P＝0．95，查表得k＝1．65。P﹪k57.741951.65991.711001.73表3—11均勻分布時置信概率與置信因子k的關系第66頁，課件共102頁，創作于2023年2月(C)根據要求的置信概率Pc和計算得到的自由度veff，查t分布的t值，得k

。自由度的計算步驟如下：

a)求A類不確定度分量的自由度

b)求B類不確定度分量的自由度

c)求合成不確定度的自由度第67頁，課件共102頁，創作于2023年2月第68頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.3.4測量不確定度的評定步驟對測量設備進行校準或檢定后，要出具校準或檢定證書；對某個被測量進行測量后也要報告測量結果，并說明測量不確定度。①明確被測量的定義和數學模型及測量條件，明確測量原理、方法，以及測量標準、測量設備等；②分析不確定度來源；③分別采用A類和B類評定方法，評定各不確定度分量。A類評定時要剔除異常數據；④計算合成標準不確定度；⑤計算擴展不確定度；⑥報告測量結果。第69頁，課件共102頁，創作于2023年2月【例3．9】用電壓表直接測量一個標稱值為200Ω的電阻兩端的電壓，以確定該電阻承受的功率。測量所用的電壓其最大允許誤差為±1％，它的自由度為10。標稱值為200Ω的經校準，其校準值為199.99Ω，校準值的擴展不確定度為0.02Ω（包含因子k為2）。用電壓表對該電阻在同一條件下重復測量5次，測量值分別為：2.2V、2.3V、2.4V、2.2V、2.5V。溫度變化對測量結果的影響可忽略不計。求功率的測量結果及其擴展不確定度。電壓的B類不確定度電阻的B類不確定度電壓的A類不確定度第70頁，課件共102頁，創作于2023年2月解：（1）數學模型

（2）計算測量結果的最佳估計值①②(3）測量不確定度的分析本例的測量不確定度主要來源為①電壓表不準確；②電阻不準確；③由于各種隨機因素影響所致電壓測量的重復性。第71頁，課件共102頁，創作于2023年2月·①電壓測量引入的標準不確定度電壓表不準引入的標準不確定度分量u1-（V）按B類評定。a1=2.32V×1%=0.023V(b)電壓測量重復性引入的標準不確定度分量u2-（V）。按A類評定。（4）標準不確定度分量的評定第72頁，課件共102頁，創作于2023年2月(c)由此可得:電壓的自由度如下：②電阻不準引入的標準不確定度分量u（R）由電阻的校準證書得知，其校準值的擴展不確定度U＝0.02Ω，且k=2，則u（R）可由B類評定得到第73頁，課件共102頁，創作于2023年2月（5）計算合成標準不確定度uC(P)

，其中輸入量V（電壓）和R（電阻）不相關①計算靈敏系數c1和c2，得②計算UC(P)，得第74頁，課件共102頁，創作于2023年2月（6）確定擴展不確定度U計算合成標準不確定度的有效自由度veff：電壓的自由度＝4.3，電阻的自由度可設為，則①P＝0.95，veff＝5，查t分布，得②擴展不確定度U0.95為（7）報告最終測量結果功率P＝（0.027±0.004）W（置信水平P＝0.95）包含因子k為2.57，有效自由度為5。第75頁，課件共102頁，創作于2023年2月1.合成不確定度的分配（1）按等作用原則分配不確定度。假設確定度互不相關，各個不確定度分量相等，有：則：（2）因為有的測量值則難以滿足要求，各分量靈敏系數也不同，必須根據具體情況進行調整。對難以實現的不確定項進行補償；3.3.5合成不確定分配及最佳測量方案的選擇第76頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.最佳測量方案的選擇選擇目的：使測量結果的不確定度為最小。（1）選擇最有利的函數公式應先取包含測量值數目最少的函數公式來表示；則應選取不確定度較小的測量值的函數公式．如測量內尺寸的誤差比測量外尺寸的誤差大，應選擇含有外尺寸的函數公式。（2）使各個測量值對函數的傳遞系數為零或最小由函數公式可知，若使不確定度傳遞系數ci＝0或為最小．則合成不確定度可相應減小。第77頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.4測量數據處理1.數字修約規則由于測量數據和測量結果均是近似數，位數不相同。為使測量結果的表示準確唯一，計算簡便，在數據處理時，需對測量數據和所用常數進行修約處理。數據修約規則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數——當末位是偶數，末位不變；末位是奇數，在末位增1（將末位湊為偶數）。3.4.1有效數字的處理第78頁，課件共102頁，創作于2023年2月例：將下列數據舍入到小數第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70

123.1150→123.12舍入應一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結果為0.69，錯誤做法是：

0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數規則，是為了在比較多的數據舍入處理中，使產生正負誤差的概率近似相等。第79頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.有效數字若截取得到的近似數其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數末位的半個單位，則該近似數從左邊第一個非零數字到最末一位數為止的全部數字，稱之為有效數字。例如：3.142 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數字，極限誤差≤0.00058.7×103

二位有效數字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數字，極限誤差≤0.005第80頁，課件共102頁，創作于2023年2月中間的0和末尾的0都是有效數字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數字。測量數據的絕對值比較大（或比較小），而有效數字又比較少的測量數據，應采用科學計數法，即a×10n，a的位數由有效數字的位數所決定。測量結果（或讀數）的有效位數應由該測量的不確定度來確定，即測量結果的最末一位應與不確定度的位數對齊。例如，某物理量的測量結果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結果表示為63.4±0.4。第81頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.近似運算法則 保留的位數原則上取決于各數中準確度最差的那一項。（1）加法運算 以小數點后位數最少的為準（各項無小數點則以有效位數最少者為準），其余各數可多取一位。例如：

（2）減法運算：當兩數相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導致相近兩數相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數字。

第82頁，課件共102頁，創作于2023年2月（3）乘除法運算:以有效數字位數最少的數為準，其余參與運算的數字及結果中的有效數字位數與之相等。 →也可以比有效數字位數最少者多保留一位有效數字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結果比原數多保留一位有效數字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×104第83頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.4.2測量數據的表示方法列表法根據測試的目的和內容，設計出合理的表格。列表法簡單、方便，數據易于參考比較，它對數據變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經驗公式法的基礎。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.1第84頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.圖示法圖示法的最大優點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數的變化規律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規律等。作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數據（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數盡量相等第85頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.經驗公式法經驗公式法就是通過對實驗數據的計算，采用數理統計的方法，確定它們之間的數量關系，即用數學表達式表示各變量之間關系。有時又把這種經驗公式稱為數學模型。一些非線性回歸可采用變量代換，將其轉化為線性回歸方程來解。一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數11>1>1方次1>11>1y=a+bx

第86頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.4.3建立經驗公式的步驟已知測量數據列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標，輸出量yi即測量值作為縱坐標，描繪在坐標紙上，并把數據點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y=f(x)的基本形式。第87頁，課件共102頁，創作于2023年2月①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：

（3）由測量數據確定擬合方程（公式）中的常量。第88頁，課件共102頁，創作于2023年2月(4)檢驗所確定的方程的準確性。①用測量數據中的自變量代入擬合方程計算出函數值y′②計算擬合殘差③計算擬合曲線的標準偏差

式中：m為擬合曲線未知數個數，n為測量數據列長度。如果標準偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯誤，應建立另外形式公式重做。第89頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.4.4一元線性回歸用一個直線方程y=a+bx來表達測量數據(xi,yi

i=1,2,…,n)之間的相互關系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。1.端點法方法是將測量數據中兩個端點，起點和終點（即最大量程點）的測量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx

，則a,b分別為第90頁，課件共102頁，創作于2023年2月2.平均選點法此方法是將全部n個測量值(xi,yi

i=1,2,…,n)分成數目大致相同的兩組，前半部k個測量點為一組，其余的n-k個測量點為另一組，兩組測量點都有自己的“點系中心”，其坐標分別為

通過兩個“點系中心”的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：第91頁，課件共102頁，創作于2023年2月3.最小二乘法最小二乘法的基本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最佳直線。測量數據中的任何一個數據yi與擬合直線上y=a+bx對應的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為測量點數）,即求a和b的偏導數，并令它們為零，即可解得a和b的值。第92頁，課件共102頁，創作于2023年2月【例3.10】

對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計進行測試，輸出由數字電壓表讀數，所得各測量點的輸出值列于下表中。試用端點法、平均選點法和最小二乘法擬合線性方程，并計算各種擬合方程的擬合精度。壓力（MPa）246810輸出（mV）10.04320.09330.13540.12850.072第93頁，課件共102頁，創作于2023年2月壓力MPa輸出mV端點法平均選點法最小二乘法理想直線殘差理想直線殘差理想直線殘差210.04310.044－0.00110.95－0.05210.080－0.0337420.09320.0520.04120.097－0.00420.0900