最優(yōu)化思想黃金分割和優(yōu)選法第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月選修3-1：數(shù)學(xué)史選講選修3-2：信息安全與密碼選修3-3：球面上的幾何選修3-4：對(duì)稱與群選修3-5：歐拉公式與閉曲面分類選修3-6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充選修4-1：幾何證明選講選修4-6：初等數(shù)論初步選修4-2：矩陣與變換選修4-7：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步選修4-3：數(shù)列與差分選修4-8：統(tǒng)籌法與圖論初步

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選修4-9：風(fēng)險(xiǎn)與決策

選修4-5：不等式選講選修4-10：開關(guān)電路與布爾代數(shù)浙江普通高中知識(shí)拓展類選修課程實(shí)施方案必修拓展課程從國(guó)家課程選修模塊中選用：數(shù)學(xué)1-1，數(shù)學(xué)1-2，數(shù)學(xué)2-1、數(shù)學(xué)2-2、數(shù)學(xué)2-3大學(xué)初級(jí)課程：微積分、線性代數(shù)、空間解析幾何

介紹學(xué)科最新成果的課程：現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽、分形幾何

學(xué)科應(yīng)用性課程：數(shù)學(xué)史選講、信息安全與密碼、球面上的幾何、幾何證明選講、矩陣與變換、數(shù)列與差分、坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講、初等數(shù)論初步、優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步、風(fēng)險(xiǎn)與決策、開關(guān)電路與布爾代數(shù)、生活中的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)

第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月最優(yōu)化思想

——黃金分割和優(yōu)選法第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月斐波那契數(shù)列及其應(yīng)用斐波那契《計(jì)算之書》兔子問題（1202年）如果每1對(duì)成兔每月生1對(duì)幼兔，幼兔經(jīng)過2個(gè)月后成為成兔，即開始繁殖，問年初的1對(duì)幼兔經(jīng)過1年后能繁殖成多少對(duì)兔子？假定這一過程兔子不發(fā)生任何死亡。

第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月由兔子問題抽象得遞推關(guān)系本月底幼兔總對(duì)數(shù)=上上個(gè)月底兔子總對(duì)數(shù)所以：本月底兔子總對(duì)數(shù)=上月底兔子總對(duì)數(shù)+上上個(gè)月底兔子總對(duì)數(shù)。用un表示第n個(gè)月底兔子的總對(duì)數(shù)，則有——斐波那契數(shù)列。(A.Girard,1634)

為方便，補(bǔ)充定義u0=1。第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月“走樓梯”問題

某人要走一架n個(gè)臺(tái)階的樓梯，某人每步向上走1個(gè)臺(tái)階或2個(gè)臺(tái)階。un表示該人從地面向上走到第n個(gè)臺(tái)階時(shí)所有不同的走法種數(shù)，求un。

第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月n階樓梯的所有走法un1(1)12(11),(2)23(111),(21),(12)34(1111),(211),(121),(112),(22)55(11111),(2111),(1211),(1121),(1112),(221),(212),(122)86

…

n

第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月按第一步的走法分類un=un-1+un-2(n≥3)；u1=1,u2=2。斐波那契數(shù)列

解法1：第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月n階樓梯的所有走法un1(1)12(11)；(2)23(111)；(21),(12)34(1111)；(211),(121),(112)；(22)55(11111);(2111),(1211),(1121),(1112)(221),(212),(122)8

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n

賈憲三角形表達(dá)式E.Piccioli，1916第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月DeMoivre提出，J.P.M.Binet1843年證明，世稱Binet公式黃金分割率，它是美的標(biāo)準(zhǔn)之一，也是優(yōu)選法的理論基礎(chǔ)。該數(shù)列極限為該數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之比構(gòu)成的“比值”數(shù)列通項(xiàng)公式第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月黃金分割的美（黃金比0.618）人體各部分的比

肚臍：（頭—腳）印堂穴：（口—頭頂）肘關(guān)節(jié)：（肩—中指尖）膝蓋：（髖關(guān)節(jié)—足尖）第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月著名建筑物中各部分的比

埃及的金字塔，高（137米）與底邊長(zhǎng)（227米）之比為0.629.古希臘的巴特農(nóng)神殿，塔高與工作廳高之比為340∶553≈0.615風(fēng)景照片中地平線的位置美觀矩形第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月正五角星中的線段比

（正五角星很美）

第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

舞臺(tái)報(bào)幕者的最佳站位

在整個(gè)舞臺(tái)寬度的0.618處較美小說、戲劇、戰(zhàn)爭(zhēng)的高潮出現(xiàn)：在整個(gè)作品的0.618處較好第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月華羅庚先生證明了：黃金分割點(diǎn)具有再生性。

黃金分割點(diǎn)的再生性，是“黃金分割”之所以美的數(shù)學(xué)依據(jù)。黃金分割為什么美為什么不是0.5的分割點(diǎn)讓人感覺愉悅，而是0.618的分割點(diǎn)讓人感覺愉悅呢？因?yàn)?.618的分割點(diǎn)反映了“恰到好處的和諧”。第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

即：如果是的黃金分割點(diǎn)，是的黃金分割點(diǎn)，與當(dāng)然關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱。特殊的是，又恰是的黃金分割點(diǎn)。同樣，如果是的黃金分割點(diǎn)，則又恰是的黃金分割點(diǎn)，等等，一直延續(xù)下去。（再生）第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月0.618優(yōu)選法（黃金分割法）問題：做2千克大米的干飯，放多少水最好吃？（1000g-2000g)“飯好吃f(x)”是“放水量x”的函數(shù)；但不知其具體表達(dá)式，或即使知道但太復(fù)雜；函數(shù)f(x)有何特點(diǎn)？單峰（谷）函數(shù)不能用數(shù)學(xué)方法尋找單峰函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，怎么辦？.通過作試驗(yàn)的方法來尋找最佳點(diǎn)。優(yōu)選法是以最少的試驗(yàn)次數(shù)迅速找到最佳點(diǎn)的試驗(yàn)方法。這是最優(yōu)化一種新的思維方法！第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：做2千克大米的干飯，放多少水最好吃？（1000g-2000g)最“笨”的方法是分別加入1001克，1002克，…，2000克，做1千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。華羅庚證明了，每次取試驗(yàn)區(qū)間的0.618處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的，這種優(yōu)選法稱為“黃金分割法”或“0.618法”。18第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月黃金分割法步驟：用一有刻度的紙條表達(dá)1000克—2000克。在這紙條長(zhǎng)度的0.618的地方C劃一條線，也就是按1618克做第一次試驗(yàn)。然后把紙條對(duì)折，前一條線落在下一層紙的地方C/，再劃一條線（1382克處），再按1382克做第二次試驗(yàn)。把兩次試驗(yàn)結(jié)果比較，如果1618克的效果較差（壞點(diǎn)），就把1618克以外的一段紙條剪去，反之就把1382克以外的一段剪去。再把剩下的紙條對(duì)折，紙條上剩下的那條線落在下一層紙的地方C//，再劃一條線（黃金分割點(diǎn)），這條線在1236克處。第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月按1236克C//做第三次試驗(yàn)。把1236克處C//和1382克C/的試驗(yàn)效果比較，如果1236克C//的效果較差，就把1236克C//以外的短的一段紙條剪去。再對(duì)折剩下的紙條，找出第四次試驗(yàn)點(diǎn)1472克。按1472克做試驗(yàn)后，與1382克C/的效果比較，再剪去效果較差點(diǎn)以外的短的一段紙條。再對(duì)折尋找下一次試驗(yàn)點(diǎn)，一次比一次接近我們的需要，直到達(dá)到我們滿意的精確度。

第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

注意，每次剪掉的都是效果較差點(diǎn)以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長(zhǎng)度是上次長(zhǎng)度的0.618倍。因此，紙條的長(zhǎng)度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點(diǎn)。

事實(shí)上，當(dāng)紙條長(zhǎng)度已經(jīng)很小時(shí)，紙條上的任一個(gè)點(diǎn)都可以作為“滿意”的點(diǎn)了，因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)就在紙條上，你取的點(diǎn)與最優(yōu)點(diǎn)的誤差一定小于紙條的長(zhǎng)。第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月1985年6月12日華羅庚先生在日本的最后一場(chǎng)演講（75歲）

——“工作到人生的最后一刻”第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月歸納：0.618優(yōu)選法（黃金分割法）問題：做2千克大米的干飯，應(yīng)該放多少水？（1000g-2000g)尋找單峰（谷）函數(shù)（不知其具體表達(dá)式或太復(fù)雜）的最優(yōu)點(diǎn).通過作試驗(yàn)的方法尋找最佳點(diǎn)優(yōu)選法是以最少的試驗(yàn)次數(shù)迅速找到最佳點(diǎn)的試驗(yàn)方法。操作過程：第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x1=a+(b-a)0.618，第二個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x2=a+b-x1；對(duì)比x1,x2處結(jié)果，裁去“壞點(diǎn)”外邊的部分；以此類推；在確定第n個(gè)試點(diǎn)xn時(shí)，如果存優(yōu)范圍內(nèi)相應(yīng)的好點(diǎn)是xm，那么有xn=小+大-xm.稱“加兩頭，減中間”來確定下1個(gè)試點(diǎn)。經(jīng)過n次試驗(yàn)后留下的區(qū)間長(zhǎng)為原區(qū)間長(zhǎng)的0.618n-1（精度）。第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月0.618法試點(diǎn)為什么這樣選擇？第一、第二次試點(diǎn)選擇的原則：1、公平原則；——使兩個(gè)試點(diǎn)關(guān)于區(qū)間[a,b]的中點(diǎn)對(duì)稱2、繼承原則——每次舍去的區(qū)間占舍去前的區(qū)間的比例數(shù)相同。據(jù)上述原則求出第1、第2次試點(diǎn)的位置線段[a,b]的黃金分割點(diǎn)0.618法（黃金分割法）第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月250.618這個(gè)“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。由此再反觀0.618的分割點(diǎn)為什么在許多場(chǎng)合都反映了“恰到好處的和諧”。其數(shù)學(xué)依據(jù)就是“黃金分割點(diǎn)的再生性”。數(shù)學(xué)的美，在于數(shù)學(xué)思想深刻之美。第25頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月分?jǐn)?shù)法例：在配置某種清洗液時(shí)，需要加入某種材料。經(jīng)驗(yàn)表明，加入量大于130ml肯定不好。用150ml的錐形量杯計(jì)量加入量，該量杯的量程分為15格，每格代表10ml。用試驗(yàn)法找出這種材料的最優(yōu)加入量。能用0.618法嗎？如果用0.618法，算出的試點(diǎn)不是10ml的整數(shù)倍，此法不能用。采用分?jǐn)?shù)法，借助Fibonacci數(shù)列來處理。第26頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月分?jǐn)?shù)法的