《概率論與數理統計》第一章概率論的基本概念1．事件間的關系A仁B則稱事件B包含事件A，指事件A發生必然導致事件B發生A不B={xxEA或xEB}稱為事件A與事件B的和事件，指當且僅當A，B中至少有一A八B={xxEA且xEB}稱為事件A與事件B的積事件，指當A，B同時發生時，事件A—B={xxEA且x莊B}稱為事件A與事件B的差事件，指當且僅當A發生生時，事件A—B發生基本事件是兩兩互不相容的定義在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發生的次數n稱為A事件A發生的頻數，比值nn稱為事件A發生的頻率A稱為事件的概率1．概率P(A)滿足下列條件：P(A)（n可2．概率的一些重要性質：等可能概型：試驗的樣本空間只包含有限個元素，試驗中每個事件發生的可能性相同i1]i2ikijnS中基本事件的總數（1）定義：設A,B是兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)=為事件A發生的條件下事件B發生的條件概率（2）條件概率符合概率定義中的三個條件Bii（3）乘法定理設P(A)>0，則有P(AB)=P(B)P(A|B)稱為乘法公式ii貝葉斯公式：P(BkΣΣii定義設A，B是兩事件，如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A,B相互獨立第二章隨機變量及其分布1．離散隨機變量：有些隨機變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量2．三種重要的離散型隨機變量—kqn-kk注意到kqn-k是二項式n的展開式中出現pk的那一項，我們稱隨機變量X服從參數為λke-λλke-λ連續隨機變量：如果對于隨機變量X的分布函數F（x存在非負可積函數f(x)，使對于密度函數，簡稱概率密度f(x)dx4）若f(x)在點x處連續，則有F，(x)=f(x)2,三種重要的連續型隨機變量(1)均勻分布(2)指數分布,其他,則成X在區間(a,b)上服從,其他1(x-μ)2fYfXl的隨機變量，稱X=X(e)為隨機變量，由它們構成的一個向量（X，Y）叫做二維隨機變量布函數如果二維隨機變量（X，Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X，Y）是離散型的隨機變量。xf二維隨機變量（X，Y）作為一個整體，具有分布函數F（x，y）.而X和Y都是隨機XY偽偽i?iji?jiji偽偽i?iji?jijii??jppi??jf(x,y）dx分別稱fX(x)，fY(y)為X，Y關于X和關于Y的邊緣概率密度。定義設（X，Y）是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0,j條件下j?jii?設二維離散型隨機變量（X，Y）的概率密度為f(x,y)X，Y）關于Y的邊緣概率密度為fY(y)，若對于固定的y，fY(y)〉0，則稱為在Y=y的條件下X的條件概Yf(x,y)XYf(y)率密度，記為f(x,y)XYf(y)Y§4相互獨立的隨機變量定義設F（x，y）及F(x)，F(y)分別是二維離散型隨機變量（X，Y）的分布函數XYXY對于二維正態隨機變量（X，YX和Y相互獨立的充要條件是參數P=0設(X,Y)是二維連續型隨機變量，它具有概率密度f(x,y).則Z=X+Y仍為連續性隨機變量，其概率密度為fX+Y(z)=又若X和Y相互獨立，設（X，Y）關于X，Y的邊緣密度分別為fX(x),fY(y)則偽fX(z-y）fY偽fX(x）fY(z-x)dx這兩個公式稱為f,f的卷積公式XY有限個相互獨立的正態隨機變量的線性組合仍然服從正態分布YZ=XY的分布設(X,Y)是二維連續型隨機變量，它具有概率密度f(x,y)，則Z=YX仍為連續性隨機變量其概率密度分別為fYX(z)=∫偽xf(x,xz)dxf(x,)dx又若X和Y相互獨立，設（X，Y）關于X，Y的邊緣密度分別為設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FX(x),FY(y)由于第四章隨機變量的數字特征則稱級數Σ偽xp的和為隨機變量X的數學期望，記為E(X)，即E(X)=Σxp定理設Y是隨機變量X的函數Y=g(X)(g是連續函數)（ii）如果X是連續型隨機變量，它的分概率密度為f(x)，若∫偽g(x)f(x)dx絕對收斂則有E(Y)=E(g(X))=偽g(x)f(x)dx數學期望的幾個重要性質1設C是常數，則有E(C)=C4設X，Y是相互獨立的隨機變量，則有E(XY)=E(X)E(Y)定義設X是一個隨機變量，若E{[X-E(X)]2}存在，則稱E{[X-E(X)]2}為X的方差，D(X)=E(X-E(X))2=E(X2)-(EX)2方差的幾個重要性質1設C是常數，則有D(C)=0,別，若X,Y相互獨立，則有D(X+Y)=D(X切比雪夫不等式：設隨機變量X具有數學期望E(X)=σ2，則對于任意正數ε,不等式2成立ε2Cov(X,Y)=E[(XE(X))(YE(Y))]=E(XY)E(X)E(Y)Cov(X，Y）而pXY=D(X)D(Y)稱為隨機變量X和Y的相關系數一_協方差具有下述性質定理12pp<1XY附：幾種常用的概率分布表分布律或概率密度分布律或概率密度n分布布分布參數pλk!,λk!,p2(b-a)2泊松分布幾何分布均勻分布指數分布正態分布1p2,其他-xθe-()21f(x)=λ2第五章大數定律與中心極限定理弱大數定理（辛欣大數定理）設X1，X2…是相互獨立，服從統一分布的隨機變量序列，并具nknkk伯努利大數定理設fA是n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對于任意正數ε〉0，有limP{fn-p<ε}=1或limP{fn-p>ε}=0定理一（獨立同分布的中心極限定理）設隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立，服從同一分布，且具有數學期望和方差E(X)=μ,D(X)=σ2（k=1,2，…則隨機變量ik)ΣX-nμΣ)ΣX-nμ