工業機器人運動學第1頁，課件共54頁，創作于2023年2月§2.1工業機器人位姿描述

第2章工業機器人運動學1.點的位置描述圖2-1點的位置描述其中,px、py、pz是點P的三個位置坐標分量。

(2.1)

如圖2-1所示,在直角坐標系{A}中,空間任一點P的位置可用(3×1)的位置矢量AP表示為第2頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學

2.點的齊次坐標

齊次坐標并不是惟一的,當列陣的每一項分別乘以一個非零因子ω時,即

(2.2)

如用四個數組成的(4×1)列陣表示三維空間直角坐標系{A}中點P,則該列陣稱為三維空間點P的齊次坐標,如下:第3頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學(2.3)

其中:a=ωpx,b=ωpy,c=ωpz。該列陣也表示P點,齊次坐標的表示不是惟一的。第4頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學3.坐標軸方向的描述

②列陣［abcω］T中第四個元素不為零,則表示空間某點的位置。規定:

①列陣［abc0］T中第四個元素為零,且a2+b2+c2=1,表示某軸(或某矢量)的方向;圖2-2坐標軸方向的描述如圖，用i、j、k來表示直角坐標系中X、Y、Z坐標軸的單位向量,用齊次坐標來描述X、Y、Z軸的方向,則有第5頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學例如,在圖2-2中,矢量v的方向用(4×1)列陣表示為

其中:a=cosα,b=cosβ,c=cosγ。

當α=60°,β=60°,γ=45°時,矢量為第6頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學4.動坐標系位姿的描述

動坐標系位姿的描述就是用位姿矩陣對動坐標系原點位置和坐標系各坐標軸方向的描述。該位姿矩陣為(4×4)的方陣。如上述直角坐標系可描述為:

(2.4)

第7頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學5.剛體位姿的描述

機器人的每一個連桿均可視為一個剛體,若給定了剛體上某一點的位置和該剛體在空中的姿態,則這個剛體在空間上是唯一確定的,可用唯一一個位姿矩陣進行描述。圖2-3剛體的位置和姿態描述

如圖2-3所示,設O′X′Y′Z′為與剛體Q固連的一個坐標系,稱為動坐標系。剛體Q在固定坐標系OXYZ中的位置可用齊次坐標形式表示為:第8頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學令n、o、a分別為X′、

Y′、Z′坐標軸的單位方向矢量,即

剛體的位姿表示為(4×4)矩陣:

第9頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學例1如圖表示連于剛體的坐標系{B}位于OB點，xb=10，yb=5，zb=0。ZB軸與畫面垂直，坐標系{B}相對固定坐標系{A}有一個30°的偏轉，試寫出表示剛體位姿的坐標系{B}的（4×4）矩陣表達式。OAYAXAOBYBXB{A}{B}30°(xb,yb,zb)解：XB的方向陣列：n=[cos30°cos60°cos90°0]T=[0.8660.5000.0000]TYB的方向陣列：o=[cos120°cos30°cos90°0]T=[-0.5000.8660.0000]TZB的方向陣列：a=[0.0000.0001.0000]T坐標系{B}的位置列陣：p=[10.05.00.01]T所以坐標系{B}的（4×4）矩陣表達式為：第10頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學6.手部位姿的描述

機器人手部的位姿如圖2-4所示,可用固連于手部的坐標系{B}的位姿來表示。坐標系{B}由原點位置和三個單位矢量惟一確定,即:圖2-4機器人手部的位置和姿態描述

(1)原點:取手部中心點為原點OB;(2)接近矢量:關節軸方向的單位矢量a;(3)姿態矢量:手指連線方向的單位矢量o;(4)法向矢量:n為法向單位矢量,同時垂直于a、o矢量,即n=o×a。第11頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學

手部位姿矢量為從固定參考坐標系OXYZ原點指向手部坐標系{B}原點的矢量p,手部的方向矢量為n、o、a。手部的位姿可由(4×4)矩陣表示:

(2.5)

第12頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學例2圖表示手部抓握物體Q，物體為邊長2個單位的正立方體，寫出表達該手部位姿的矩陣式。XZYY’X’Z’oanQO’解：因為物體Q形心與手部坐標系O’X’Y’Z’的坐標原點O’相重合，所以手部位置的（4×1）列陣為P=[1111]T手部坐標系X’軸的方向可用單位矢量n來表示：n：α=90°，β=180°，γ=90°nx=cosα=0;ny=cosα=-1;nz=cosα=0同理，手部坐標系Y’與Z’軸的方向可分別用單位矢量o和α來表示。手部位姿可用矩陣表達為：第13頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學圖2-5目標物的位置和姿態描述

7.目標物位姿的描述

任何一個物體在空間的位置和姿態都可以用齊次矩陣來表示,如圖2-5所示。楔塊Q在(a)圖的情況下可用6個點描述,矩陣表達式為

第14頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學(2.6)

若讓其繞Z軸旋轉90°,記為Rot(z,90°);再繞Y軸旋轉90°,即Rot(y,90°),然后再沿X軸方向平移4,即Trans(4,0,0),則楔塊成為(b)圖位姿,其齊次矩陣表達式為用符號表示對目標物的變換方式可以記錄物體移動的過程,也便于矩陣的運算,所以應該熟練掌握。

第15頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學§2.2齊次變換及運算一.平移的齊次變換圖2-6點的平移變換

如圖2-6所示為空間某一點在直角坐標系中的平移,由A(x,y,z)平移至A′(x′,y′,z′),即或寫成：

(2.7)第16頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學a′=Trans(Δx,Δy,Δz)a

記為:

其中,Trans(Δx,Δy,Δz)稱為平移算子,Δx、Δy、Δz分別表示沿X、Y、Z軸的移動量。即:(2.8)

(2.9)

第17頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學

注:①算子左乘:表示點的平移是相對固定坐標系進行的坐標變換。②算子右乘:表示點的平移是相對動坐標系進行的坐標變換。③

該公式亦適用于坐標系的平移變換、

物體的平移變換,如機器人手部的平移變換。

第18頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學例3：有下面兩種情況（如圖2-7），動坐標系{A}相對于定坐標系的X0、Y0、Z0軸作（-1，2，2）平移后到{A’}；動坐標系{A}相對于自身坐標系（即動系）的X、Y、Z軸分別作（-1，2，2）平移后到{A”}。已知：試寫出坐標系{A’}、{A”}的矩陣表達式。圖2-7坐標系的平移變換Z0Y’Y0X0X’Z’X”Y”Z”{A}{A”}{A’}YXZ第19頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學解：動坐標系{A}的兩個平移坐標變換算子均為

{A’}坐標系是動系{A}沿固定坐標系作平移變換得來的，因此算子左乘，{A’}的矩陣表達式為22-12第20頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學

{A”}坐標系是動系{A}沿自身坐標系作平移變換得來的，因此算子右乘，{A”}的矩陣表達式為

經過平移坐標變換后，坐標{A’}、{A”}的實際情況已圖解在圖2-7中。第21頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學二.旋轉的齊次變換

點在空間直角坐標系中的旋轉如圖2-8所示。A(x,y,z)繞Z軸旋轉θ角后至A′(x′,y′,z′),A與A′之間的關系為圖2-8點的旋轉變換(2.10)

第22頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學寫成矩陣形式為

(2.17)

記為:a′=Rot(z,θ)a

其中,繞Z軸旋轉算子左乘是相對于固定坐標系,即

(2.18)

第23頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學同理,(2.19)

(2.20)

第24頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學

圖2-9所示為點A繞任意過原點的單位矢量k旋轉θ角的情況。kx、ky、kz分別為k矢量在固定參考坐標軸X、Y、Z上的三個分量,且k2x+k2y+k2z=1。可以證明,其旋轉齊次變換矩陣為

圖2-9點的一般旋轉變換

第25頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學(2.21)

注:①該式為一般旋轉齊次變換通式,概括了繞X、Y、Z軸進行旋轉變換的情況。反之,當給出某個旋轉齊次變換矩陣,則可求得k及轉角θ。②變換算子公式不僅適用于點的旋轉,也適用于矢量、坐標系、物體的旋轉。③

左乘是相對固定坐標系的變換;右乘是相對動坐標系的變換。

第26頁，課件共54頁，創作于2023年2月三.平移加旋轉的齊次變換

第2章工業機器人運動學平移變換和旋轉變換可以組合在一起，計算時只要用旋轉算子乘上平移算子就可以實現在旋轉上加平移。不再贅述。練習：已知坐標系中點U的齊次坐標U=[7321]T，將此點繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°，還要作4i-3j+7k的平移，求變換后得到的點W的列陣表達式。end第27頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學§2.3工業機器人連桿參數及其齊次變換矩陣一.連桿參數及連桿坐標系的建立圖2-10連桿的幾何參數

1、連桿參數描述該連桿可以通過兩個幾何參數:

連桿長度an和扭角αn。第28頁，課件共54頁，創作于2023年2月第2章工業機器人運動學

描述相鄰桿件n與n-1的關系參數的兩個參數：

連桿距離dn和連桿轉角θn圖2-11連桿的關系參數

第29頁，課件共54頁，創作于2023年2月第2章工業機器人運動學

這樣,每個連桿可以由四個參數來描述,其中兩個是連桿尺寸,兩個表示連桿與相鄰連桿的連接關系。確定連桿的運動類型,同時根據關節變量即可設計關節運動副,從而進行整個機器人的結構設計。已知各個關節變量的值,便可從基座固定坐標系通過連桿坐標系的傳遞,推導出手部坐標系的位姿形態。第30頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學

建立連桿n坐標系(簡稱n系)的規則如下:①連桿n坐標系的坐標原點位于n+1關節軸線上,是關節n+1的關節軸線與n和n+1關節軸線公垂線的交點。2、連桿坐標系的建立②Z軸與n+1關節軸線重合。③X軸與公垂線重合;從n指向n+1關節。④Y軸按右手螺旋法則確定。第31頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學表2.1連桿參數及坐標系

連桿的參數名稱含義“±”號性質θn轉角連桿n繞關節n的Zn-1軸的轉角右手法則轉動關節為變量移動關節為常量dn距離連桿n沿關節n的Zn-1軸的位移沿Zn-1正向為+轉動關節為常量移動關節為變量an長度沿Xn方向上，連桿n的長度，尺寸參數與Xn正向一致常量αn扭角連桿n兩關節軸線之間的扭角，尺寸參數右手法則常量連桿n的坐標系OnZnXnYn原點On軸Zn軸Xn軸Yn位于關節n+1軸線與連桿n兩關節軸線的公垂線的交點處與關節n+1軸線重合沿連桿n兩關節軸線之公垂線，并指向n+1關節按右手法則確定第32頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學二、連桿坐標系之間的變換矩陣

各連桿坐標系建立后,n-1系與n系間變換關系可用坐標系的平移、旋轉來實現。從n-1系到n系的變換步驟如下:該變換過程用一個總的變換矩陣An來表示連桿n的齊次變換矩陣:(1)令n-1系繞Zn-1軸旋轉θn角,使Xn-1與Xn平行,算子為Rot(z,θn)。(2)沿Zn-1軸平移dn,使Xn-1與Xn重合,算子為Trans(0,0,dn)。(3)沿Xn軸平移an,使兩個坐標系原點重合,算子為Trans(an,0,0)。(4)繞Xn軸旋轉αn角,使得n-1系與n系重合,算子為Rot(x,αn)。

第33頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學

實際中,多數機器人連桿參數取特殊值,如αn=0或dn=0,可以使計算簡單且控制方便。

第34頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學§2.4工業機器人運動學方程一.機器人運動學方程A變換矩陣(A矩陣):描述一個連桿坐標系與下一個連桿坐標系間相對關系的齊次變換矩陣。T6=A1A2A3A4A5A6

(2.23)

（六連桿）機器人運動學方程：第35頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學分析該矩陣:前三列表示手部的姿態;第四列表示手部中心點的位置。可寫成如下形式:(2.24)第36頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學二.正向運動學及實例

1、平面關節型機器人運動學方程如圖2-12所示,SCARA裝配機器人。

圖2-12SCARA裝配機器人的坐標系

第37頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學表2.2SCARA裝配機器人連桿參數

連桿轉角（變量）θ兩連桿間距離d連桿長度a連桿扭角α連桿1θ1d1=0a1=l1=100α1=0連桿2θ2d2=0a2=l2=100α2=0連桿3θ3d3=0a3=l3=20α3=0該機器人的參數如表2.2所示。第38頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學該平面關節型機器人的運動學方程為

T3=A1A2A3

(2.25)

T3為手部坐標系(即手部)的位姿。由于其可寫成(4×4)的矩陣形式,即可得向量p、n、o、a,把θ1、θ2、θ3代入可得。

(2.26)(2.27)(2.28)第39頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學當轉角變量分別為θ1=30°,θ2=-60°,θ3=-30°時，則可根據平面關節型機器人運動學方程求解出運動學正解,即手部的位姿矩陣表達式

(2.29)

第40頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學2、斯坦福機器人的運動學方程圖2-13斯坦福(STANFORD)機器人坐標系第41頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學表2.3斯坦福機器人連桿參數

桿號關節轉角θ兩連桿間距離d連桿長度a連桿扭角α連桿1θ100-90°連桿2θ2d2090°連桿30d300°連桿4θ400-90°連桿5θ50090°連桿6θ6H00°第42頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學圖3.14斯坦福（STANFORD）機器人的連桿坐標系齊次變換矩陣Ai:第43頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學所以：斯坦福機器人運動學方程：第44頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學三、反向運動學及實例

反向運動學解決的問題是:已知手部的位姿,求各個關節的變量。T6=A1A2A3A4A5A6

(2.30)

如圖2-13所示,以6自由度斯坦福(STANFORD)機器人為例,其連桿坐標系如圖2-13所示,設坐標系{6}與坐標系{5}原點重合,其運動學方程為:第45頁，課件共54頁，創作于2023年2月

第2章工業機器人運動學圖2-13斯坦福(STANFORD)機器人圖3.14斯坦福（STANFORD）機器人的連桿坐標系