141兩角和與差的余弦教材分析這節內容是在掌握了任意角的三角函數的概念、向量的坐標表示以及向量數量積的坐標表示的根底上，進一步研究用單角的三角函數表示的兩角和與差的三角函數．這些內容在高等數學、電功學、力學、機械設計與制造等方面有著廣泛的應用，因此要求學生切實學好，并能熟練的應用，以便為今后的學習打下良好的根底．“兩角差的余弦公式〞在教科書中采用了一種易于教學的推導方法，即先借助于單位圓中的三角函數線，推出α，β，α－β均為銳角時成立．對于α，β為任意角的情況，教材運用向量的知識進行了探究．同時，補充了用向量的方法推導過程中的不嚴謹之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．這節課的重點是兩角差的余弦公式的推導，難點是把公式中的α，β角推廣到任意角．教學目標1.通過對兩角差的余弦公式的探究過程，培養學生通過交流，探索，發現和獲得新知識的能力．2.通過兩角差的余弦公式的推導，體會知識的發生、開展的過程和初步的應用過程，培養學生科學的思維方法和勇于探索的科學精神．3.能正確運用兩角差的余弦公式進行簡單的三角函數式的化簡、求值和恒等式證明．溜任務煙分析蕩這節露內容攤以問雪題情非景中囑的問峰題作煤為教界學的漏出發雞點，輛利用稈單位表圓中向的三蒸角函咸數線盼和平亭面向爺量的娃數量理積的喂概念線推導馳出結期論，獵并不畢斷補菌充推給導過封程中食的不笛嚴謹體之處干．推碗導過職程采繩用了田從特利殊到傭一般舞逐層習遞進閱的思顯維方緊法，絡學生衡易于步接受柔．整辟個過協程始凳終結圾合單曬位圓故，以碗強調祖其直磚觀性終．對走于公碑式中臘的α倆和β株角要棒強調尿其任裹意性啟．數淺學中話要注垂意運恩用啟要發式良，切網忌把存結果冤直接鏡告訴調學生進，盡縮量讓口學生餃通過丑觀察天、思沈考和已探索安，自補己發刪現公訓式，過使學培生充笛分體嬌會到帥成功年的喜玩悅，薦進一余步激喜發學嗽生的足學習厲興趣德，調朱動他材們學邁習的裂積極慚性，至從而海使其原自覺式主動疑地學肅習．淚教學畫過程奮一、萄問題珍情景僅我們備已經惑學過困誘導包公式碎，如匹可以刻這樣著來認墳識以饒上公送式：夾把角句α轉皂動納，那么檔所得去角α擊＋蹲的正對弦、落余弦甲分別維等于找co芽sα喂和－捆si須nα孟．把揪角α洽轉動賞π，史那么所促得角奸α＋之π的微正弦授、余堂弦分蠻別等遲于－犧si望nα白和－供co喪sα裙．它由此掠，使晝我們井想到希一個慧一般單性的竭問題眼：如妨果把筍角α癥的終湖邊轉米動β糞〔度涌或弧抬度〕伏，那奴么所化得角豎α＋舅β的呢正弦貴、余泰弦如石何用低α或設β的醫正弦飽、余草弦來提表示訴呢？刮出示繩一個查實際律問題穿：季右圖亮41碎-1涼是架神在小朗河邊踏的一發座吊津橋的噴示意室圖．域吊橋債長A妙B＝屢ａ〔歐m〕腥，A散是支穗點，溉在河濾的左酸岸．轉點C至在河忘的右央岸，藝地勢死比A截點高假設．里AD篩表示鎮水平底線，浮∠渾DA管C葵＝α通，α籮為定竊值．銷∠規CA雅B張＝β掘，β嚇隨吊網橋的悅起降陽而變走化．靜在吊絕橋起米降的垂過程木中，斗如何晴確定隸點B坊離開夏水平俗線A弊D的鼓高度樣BE謝？予由圖亞可知音BE弟＝a辭si讀n〔滲α＋把β〕燕．勢我們允的問口題是出：如來何用秤α和膜β的退三角糞函數條來表資示s津in鳴〔α決＋β遇〕．敞如果揮α＋猶β為床銳角落，你到能由菜α，晉β的遙正弦滿、余滴弦求啦出s辟in劑〔α擋＋β傷〕嗎淺？丈引導穗學生遙分析腰：事衰實上疑，我速們在消研究甩三角觸函數土的變塊形或朵計算垂時，姿經常矮提出逼這樣聾的問令題：籃能否嫂用α租，β催的三琴角函閥數去塔表示畫α±鑰β的儀三角赤函數昨？為趟了解講決這王類問然題，汪本節驚首先兼來探欲索α吩－β戒的余畢弦與腎α，徑β的飲函數怒關系亦式．凳更一顏般地緩說，柏對于款任意碗角α蓄，β五，能喬不能杠用α究，β粗的三秒角函獄數值切把α波＋β避或α埋－β蔑的三韻角函綠數值襪表示旋出來逆呢？封二、考建立檔模型西1.瀉探濫究頸〔1貪〕猜撤想：糊co腿s〔精α－姓β〕殲＝c抽os鉆α－濾co盟sβ留．匹〔2缺〕引揉導學昌生通呼過特具例否刻定這怎一猜許想．鋤例如搏，α紫＝6螞0°鵝，β系＝3矩0°式，可謎以發晚現，皆左邊涼＝c予os桑〔6魂0°恩－3帝0°漿〕＝竊co帥s3越0°羊＝茫，右斯邊＝仗co龍s6牌0°濾－c潛os代30脖°＝蹦－薄．顯在然，逐對任脊意角刻α，冷β，損co屑s〔貴α－擱β〕衣＝c假os搜α－繼co神sβ護不成天立．栗〔3盼〕再法引導執學生勸從道瘡理上公否認凱這一股猜測抖．栗不妨免設α夠，β宮，α土－β索均為齊銳角黃，那么扁α－的β＜眠α，壁那么c氧os皂〔α覺－β泡〕＞緩co林sα豐．又美co茂sβ可＞０蔑，所惠以c喇os隆〔α演－β樸〕＞盲co小sα耀－c含os壤β．隱2.型分嘗析討勾論鞋〔1略〕如威何把倡α，諒β，亡α－凝β角進的三賴角函甜數值壞之間米建立不起關割系？心要獲回得相腹應的功表達瓣式需偏要哪督些已吃學過仔的知奴識？提〔2柏〕由右三角舍函數沾線的尸定義取可知焦，這繞些角喪的三皺角函京數值罰都與灑單位螺圓中像的某飼些有飽向線抹段有章關系撿，那框么，六這些床有向響線段畜之間心是否我有關謎系呢虎？階3.受教浙師明軌晰星通過鉛學生挑的討惑論，董教師誰引導郵學生久作出粗以下膛推理庭：瘦設角叫α的珍終邊策與單較位圓馳的交市點為辰P仇1舞，漆∠紫PO特P軋1撲＝β而，那么死∠五PO們x筒＝α嘗－β底．捉過點蠶P作勺PM遵⊥筋x區軸，腳垂足哥為M雞，那橋么，丈OM膠即為織α－澡β角素的余端弦線傾，這鼓里要遠用表孕示α險，β擺的正領弦、否余弦親的線足段來蜻表示歇OM盡．嘆過點縣P作議PA尸⊥海OP策1途，垂悄足為遷A，砍過點見A作炭AB呢⊥冶x伐軸，芳垂足險為B細，再新過點因P作鉗PC途⊥信AB駛，垂闖足為仰C，塊那么洽co張sβ屈＝O術A，象si預nβ尺＝A抗P，臥并且糧∠筍PA葡C合＝慢∠言P磚1昏Ox雜＝α膠，于許是紫OM諒＝O滋B＋微BM蓋＝O揮B＋尤CP斬＝O屯Ac距os冠α＋渠AP層si風nα剃＝菜co農sβ檢co滴sα充＋s祥in玉βs轟in條α．合4.脈提泥出問纏題，旅組織妥學生錢討論逝〔1診〕當水α，范β，腐α－芝β為親任意川角時探，上較述推犯導過北程還惱能成私立嗎拘？宗假設要應說明瘋此結漂果是執否對示任意飲角α死，β鐵都成勤立，渴還要因做不書少推政廣工櫻作，妨可引恨導學渴生獨贏立思擔考．井事實熊上，錫根據屠誘導等公式爆，總丈可以相把α毫，β既的三蹈角函連數化呈為〔狐0，那〕內錦的三赤角函歡數，督再根龍據c浮os蕉〔－屯β〕京＝c喬os幟β，與把α方－β曲的余斗弦，寬化為繼銳角械的余套弦．診因此狼，蒸三、畢解釋府應用補［例煎題粉］規1.扒求月co泡s1拌5°討及c批os雀10省5°尖的值億．陸分析愿：本有題關稻鍵是賄將1哲5°濟角分眾成4培5°父與3圣0°敘的差轟或者械分解段成6魄0°影與4倉5°沾的差挺，再攪利用津兩角揪差的吵余弦州公式根即可拐求解盈．對個于c瘦os估10魄5°禾，可急進行盲類似費地處個理，月co職s1者05尼°＝菌co故s〔肯60殿°＋毒45洗°〕幻．拒2.等已框知s后in瞇α＝憶，α申∈斥〔唐，π慕〕，祥co歌sβ榴＝－蓮，且涌β是吼第三趟象限清的角頸，求尺co發s〔豈α＋廢β〕女的值襲．捷分析夠：觀憲察公廳式C熟α＋嚼β率與本抓題已碎知條漂件應格先計奏算出洗co緊sα賴，c勾os碗β，熟再代寬入公碌式求吼值．博求c牽os查α，針co鬧sβ櫻的值盜可借齡助于窩同角慈三角川函數孤的平布方關求系，瑞并注孕意α報，β糖的取漁值范井圍來寒求解困．殿［練呈習謠］果1.擇〔款1〕窯求s坦in扶75吧°的添值．躁〔2浩〕求蹄co鎮s7刷5°糠co恨s1席05霜°＋玉si明n7之5°叼si年n1速05蝦°的深值．寫〔3提〕化屬簡c祖os窗〔A筍＋B殼〕c密os途B＋油si生n〔商A＋暮B〕芹si貫nB瞞．從〔4清〕求思co冤s2櫻15截°－核si脂n2肥15講°的克值．尸分析沉：對牧于〔洞1〕釘，可忌先用兵誘導鼻公式延化s荷in隊75挪°為嚼co決s1雅5°與，再掛用例從題1塊中的灶結果喪即可項．對免于〔憑2〕汁，逆化向使蹲用公幫式C柔α-咬β幣，即沸可將云原式核化為提co設s3矮0°搜．對輩于〔挎3〕坊，可斷以把輩A＋蘋B角類看成產一個狐整體勺，去項替換市C假設α-跑β頂中的盈α角凍，用椒B角響替換吼β角陳．辦2.剛〔業1〕軟求證弓：c才os穿〔隔－α屠〕撇＝s洞in萌α．劉〔2臟〕已拘知s歪in齒θ＝換，且栗θ為哥第二單象限蛾角，茄求c淘os攻〔θ熄－券〕的虎值．縫〔3佳〕已烘知s似in廈〔3研0°礎＋α沈〕＝紐，6慣0°燒＜α承＜1激50巾°，起求c廚os萄α．絡分析抵：〔魯1〕誓和〔閣差〕補公式結可看踏成誘立導公限式的毀推廣缸，誘如導公胞式是另和〔拖差〕送公式鋒的特疤例．警〔2宿〕在最三角誘函數嚷求值樂問題亮中，佳變角庫是一賊種常勤用的漢技巧彎，α察＝〔挺30級°＋寨α〕隸－3秘0°定，這獸樣可棟充分慎利用米題中寄僚的三業角函早數值逃．摩3.鋒化千簡c尚os矛〔3寇6°傷＋α大〕c免os石〔α相－5鳳4°問〕＋奪si摟n〔罩36擋°＋綠α〕概si嘆n〔裕α－僵54既°〕功．翻分析腔：這拴里可摔以把花角3屆6°假＋α蘋與α衰－5保4°球均看畫成單塌角，莫進而浙直接碑運用陪公式厚C歲α-昏β紀，不膊必將燃各式爹展開夸后再閑計算第．造分析風：本胡題是浮一道掃綜合稱題，臘由于急co妻s〔儲α－精β〕乓＝c羊os坊αc計os良β＋園si胃nα例si攜nβ毒，欲澤求c忍os弦〔α候－β弄〕的椅值，逗只須切將已液知兩匪式平槽方相威加求達出c猜os賭αc場os耀β＋剪si辦nα效si準nβ仍即可肢．掀四、午拓展突延伸籠1.蓋由知任意霉角三趟角函儀數定房義，灘可知鄰角α銀，β職的終焦邊與韻單位喝圓交私點的慰坐標膛均可號用α企，β替的三瘡角函刻數表惜示，尸即α阿－β震角與膽，梁兩向焰量的慣夾角近有關探，那棍么能防否用膠向量旦的有捕關知紅識來麗推導臣公式疾C兔α-贈β綢呢？妖教師副引導題學生頃分析幻：在殼平面呈直角領坐標級系x推Oy個內作烤單位非圓O巾，以定Ox假設為始膜邊作響角α眉，β魔，它摩們的陳終邊普與單釋位圓黨的交勵點為舌A，稿B，愚那么鑒＝〔換co義sα諒，s麻in栗α〕汁，忌＝〔臭co粱sβ幕，s管in氣β〕武．客由向比量數菠量積爽的概叉念，兄有薪·菠＝｜該｜｜驅｜c魄os左〔α凡－β簡〕＝榨co超s〔籠α－悲β〕過．袍由向腿量的丈數量井積的受坐標真表示控，有攝·凝＝c鑼os籍αc壓os碌β＋吧si多nα敲si偶nβ同．塑于是雁，有懶co涂s〔競α－蔽β〕玩＝c涂os尋αc景os他β＋置si戀nα抄si沙nβ逼．閘依據燈向量晶數量貍積的標概念聰，角安α－么β必密須符勿合０哀≤α覺－β蓬≤π泥，即底在此販條件喂下，夢以上嚷推導輛才是船正確及的．果由于照α，昏β都澆是任螺意角休，α燃－β衣也是島任意吉角，籌因此桌，須濁研究也α－淺β為香任意盼角時叢，以誓上推貞導是惜否正知確．皺當α偽－β磁為任乞意角褲時，與由誘譽導公觸式總啄可以棋找到搞一個飄角θ國，θ犧∈景［0蒜，2及π〕柱，使販co厚sθ妄＝c斤os僅〔α帖－β瓜〕．友假設θ完∈丹［0霧，π葡］，潤那么么·姜＝c最os皂θ＝旅co譯s〔毅α－勺β〕族；貼假設θ疲∈冷［π佩，2揚π］蒼，那么遭2π獅－θ生∈著［0音，π柔］，什且叫·土＝c烈os知〔2傷π－郊θ〕蕩＝c拴os泳θ＝嗓co挺s〔叼α－狠β〕輸．盟于是蚊，對漲于任境意角業α，識β都廁有徒2.泛教幅師提住出進緊一步芹拓展群性問敵題：牛本節息問題厘情景倉中，裹涉及損如何承用s叼in曲α，舌si劑nβ競，c換os隔α，離co糠sβ柜來表起示s俗in浮〔α紗＋β艙〕的幟問題嗽，試窗探索棋與研街究s執in北〔α衣＋β骨〕的灶表達艘式．怒點展評附這篇百案例酷設計鐘完整閱，思彎路清匙晰．曉案例搞首先決通過豬問題更情景飼闡述灑了兩朗角和康、差調、三密角函捎數公掩式的耀產生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