2022年湖南省邵陽市第九中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.向量，若，則k的值是(

)A.4 B.-4 C.2 D.-2參考答案：B【分析】運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式和向量垂直的坐標(biāo)表示，可直接求出的值.【詳解】，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了運(yùn)算能力.2.已知函數(shù)f（x）=，則關(guān)于方程f（|x|）=a，（a∈R）實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由題意可得求函數(shù)y=f（|x|）的圖象和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出函數(shù)y=f（|x|）的圖象，平移直線y=a，即可得到所求交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到結(jié)論．【解答】解：方程f（|x|）=a，（a∈R）實(shí)根個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=f（|x|）和直線y=a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．由y=f（|x|）為偶函數(shù)，可得圖象關(guān)于y軸對稱．作出函數(shù)y=f（|x|）的圖象，如圖，平移直線y=a，可得它們有2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)交點(diǎn)．不可能有5個(gè)交點(diǎn)，即不可能有5個(gè)實(shí)根．故選：D．3.如圖，正四面體，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（），分別記與，所成角為，，則（

）A．

B．C.當(dāng)時(shí)，

D．當(dāng)時(shí)，參考答案：D作交于時(shí)，為正三角形，，是與成的角，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，作交于,同理可得，當(dāng)時(shí)，，故選D.

4.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的解析式是

A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.已知拋物線，圓.過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，交拋物線于兩點(diǎn)，且滿足的直線恰有三條，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.為了得到函數(shù)y=的圖象，可以將函數(shù)y=sin2x的圖象(

)A．向右平移個(gè)單位長度

B．向右平移個(gè)單位長度

C．向左平移個(gè)單位長度

D．向左平移個(gè)單位長度參考答案：A7.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知向量，，，若∥，則=

▲

.參考答案：略9.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則它的一個(gè)對稱中心是A．

B．

C．

D． 參考答案：C10.若，滿足，且的最大值為，則的值為（

）． A． B． C． D．參考答案：A如圖，取得直線方程，分別畫出，以及，由圖可知，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，通過點(diǎn)時(shí)截距最大，即取得最大值，代入得，解得．故選．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，則

．參考答案：612.如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，過EF任作一個(gè)平面分別與直線BC，AD相交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論正確的是

．①對于任意的平面，都有直線GF，EH，BD相交于同一點(diǎn)；②存在一個(gè)平面，使得點(diǎn)在線段BC上，點(diǎn)H在線段AD的

延長線上；③對于任意的平面，都有；④對于任意的平面，當(dāng)G，H在線段BC，AD上時(shí)，幾何體AC-EGFH的體積是一個(gè)定值．參考答案：③④13.已知log2（x+y）=log2x+log2y，則+的最小值是．參考答案：25【考點(diǎn)】7G：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用；4H：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則化簡已知條件，化簡所求的表達(dá)式，利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：log2（x+y）=log2x+log2y，可得x，y＞0，x+y=xy．+=4++9+=13+=4y+9x=（4y+9x）（）=13+≥13+2=25．當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=時(shí)表達(dá)式取得最小值．故答案為：25．14.動(dòng)點(diǎn)在邊長為1的正方體的對角線上從向移動(dòng)，點(diǎn)作垂直于面的直線與正方體表面交于，，

則函數(shù)的解析式為

參考答案：15.在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為3的正方形，AA1=3，E是線段A1B1上一點(diǎn)，若二面角A﹣BD﹣E的正切值為3，則三棱錐A﹣A1D1E外接球的表面積為．參考答案：35π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】如圖所示，求出三棱錐A﹣A1D1E外接球的直徑為，問題得以解決．【解答】解：過點(diǎn)E作EF∥AA1交AB于F，過F作FG⊥BD于G，連接EG，則∠EGF為二面角A﹣BD﹣E的平面角，∵tan∠EGF=3，∴=3，∵EF=AA1=3，∴FG=1，則BF==B1E，∴A1E=2，則三棱錐A﹣A1D1E外接球的直徑為=，則其表面積為35π，故答案為：35π16.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足①圖象關(guān)于（1，0）點(diǎn)對稱；②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x）；③x∈[﹣1，1]時(shí)，f（x）=，則函數(shù)y=f（x）﹣（）|x|在區(qū)間[﹣3，3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．參考答案：5【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由①可得f（x）+f（2﹣x）=0，求得x在[1，3]上的f（x）的解析式；再由②求得x在[﹣3，﹣1]上的解析式，畫出f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的圖象，通過圖象觀察，可得它們有5個(gè)交點(diǎn)，即可得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解答】解：由題意可得f（x）+f（2﹣x）=0，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，0≤2﹣x≤1，f（2﹣x）=cos（2﹣x）=﹣cosx，則f（x）=﹣f（2﹣x）=cosx；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，﹣1≤x＜0，f（2﹣x）=1﹣（2﹣x）2，則f（x）=﹣f（2﹣x）=（2﹣x）2﹣1．由②f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），即為f（x）=f（﹣x﹣2），當(dāng)﹣3≤x≤﹣2時(shí)，0≤﹣2﹣x≤1，f（﹣2﹣x）=cos（﹣2﹣x）=﹣cosx，則f（x）=﹣f（﹣2﹣x）=﹣cosx；當(dāng)﹣2＜x≤﹣1時(shí)，﹣1≤﹣2﹣x＜0，f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2，則f（x）=f（﹣2﹣x）=1﹣（﹣2﹣x）2．y=f（x）﹣（）|x|在區(qū)間[﹣3，3]上的零點(diǎn)即為y=f（x）和y=（）|x|在[﹣3，3]的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出y=f（x）和y═（）|x|在[﹣3，3]的圖象，通過圖象觀察，可得它們有5個(gè)交點(diǎn)，即有5個(gè)零點(diǎn)．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．17.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列，若sinB=，cosB=，則a+c的值為．參考答案：3【考點(diǎn)】余弦定理．【分析】由a，b，c成等比數(shù)列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，從而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案為：3．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若到過橢圓左焦點(diǎn)、斜率為的直線的距離為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的四邊形面積為4．（I）求橢圓C的方程；（II）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，過點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，證明：直線、的交點(diǎn)在直線上．參考答案：（Ⅰ）的坐標(biāo)分別為，，其中，過橢圓的左焦點(diǎn)、斜率為的直線的方程為：， 1分到直線的距離為3，所以有，解得， 2分所以有，由題意知:，即， 3分解得：，，所求橢圓C的方程為； 4分（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，代入橢圓C的方程消去x整理得：， 5分設(shè)，，所以，， 6分直線方程為，直線方程為， 7分解法一：要證明直線、的交點(diǎn)在直線上，只需證明， 8分即證明， 9分只需證明， 10分即證明，而成立，所以直線、的交點(diǎn)在直線上． 12分解法二：， 8分解得： 9分因?yàn)椋?10分即 11分所以. 12分19.（本小題13分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，以為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為。（1）求橢圓的方程；（2）求的面積。參考答案：（1）由已知得，解得…………1分于是……2分∴求橢圓的方程為。………………3分（2）設(shè)直線的方程為，交點(diǎn)，中點(diǎn)……4分聯(lián)立，消元整理得………………6分于是可得………………8分由……8分可得，，即…………9分∵為等腰三角形的底邊，∴∴，解得，符合要求。………………10分此時(shí)所以………………11分又點(diǎn)到直線的距離………………12分故的面積……13分20.已知函數(shù)．（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．參考答案：（1）①時(shí)，無交點(diǎn)，②時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，③時(shí)，無交點(diǎn)（2）詳見解析

試題解析：（1）定義域?yàn)椋牧泓c(diǎn)個(gè)數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，①時(shí)，無交點(diǎn)，②時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，③時(shí)，無交點(diǎn)．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）時(shí)，存在唯一，使，即，且時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，∴，∴當(dāng)時(shí)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證不等式【思路點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問題、方程解的個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般先通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.21.已知函數(shù)，其中，且.（1）當(dāng)（e=2.71…為自然對數(shù)的底）時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)f(x)存在最大值g(a)，求g(a)的最小值.參考答案：解：（1）由題，①當(dāng)，當(dāng)，在上是減函數(shù)；②當(dāng)，當(dāng)，，在上是減函數(shù)；當(dāng)，，在上是增函數(shù).即當(dāng)時(shí)，在上個(gè)遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增.（2）當(dāng)，，.①當(dāng)時(shí)，，，則，在上為增函數(shù)，無極大值，也無最大值；②當(dāng)，設(shè)方程的根為，得.即，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則的極大值為，.令，令，..當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以為極小值也是最小值點(diǎn).且，即的最小值為，此時(shí).

22.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中點(diǎn)。（1）求證：AF∥平面BCE；（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；（3）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小。參考答案：（1）解：取CE中點(diǎn)P，連結(jié)FP、BP，∵F為CD的中點(diǎn)，∴FP∥DE，且。又AB∥DE，且，∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP又∵平面BCE，BP平面BCE，∴AF∥平面BCE（2）∵△ACD為正三角形，∴AF⊥CD。∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF。又AF⊥CD，,∴AF⊥平面CDE又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE。又∵平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE（3）法一、由（2），以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A，F(xiàn)D，F(xiàn)P所在的直線分別為x，y，z軸（如圖），建立空間直角坐標(biāo)系F—xyz。設(shè)AC=2，則C（0，-1,0），B（，0,1），E（0,1,2）。設(shè)為平面BCE的法向量，∴，∴，令n=1，則顯然，為平面ACD的法向量。設(shè)面BCE與面ACD所成銳二面角