上海八年級下期中真題精選（壓軸30題專練）一、填空題1．（2022春·上海·八年級上海市民辦揚波中學校考期中）如圖，直線和x軸、y軸分別交于點A、點B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角，，如果在直角坐標平面內有一點，且的面積與的面積相等，則a的值為______．【答案】?4或．【分析】由已知求出A、B的坐標，求出三角形ABC的面積，再利用S△ABP=S△ABC建立含a的方程，把S△ABP表示成有邊落在坐標軸上的三角形面積和、差，通過解方程求得答案．【詳解】解：如圖，連接OP，∵直線與x軸、y軸分別交于點A、B，∴A(，0)，B(0，1)，AB==2，∴S△ABP=S△ABC=2，又S△ABP=S△OPB+S△OAB?S△AOP，∴|a|×1+×1?=4，解得a=?4或，故答案為?4或．【點睛】本題考查了一次函數的綜合應用；解函數圖象與面積結合的問題，要把相關三角形的面積用邊落在坐標軸的其他三角形面積來表示，這樣面積與坐標之間就建立了聯系；把S△ABP表示成有邊落在坐標軸上的三角形面積和、差是正確解答本題的關鍵．2．（2018春·上海普陀·八年級統考期中）如圖，在直角坐標xoy系中，點A的坐標是（2，0）、點B的坐標是（0，2）、點C的坐標是（0，3），若直線CD的解析式為y=-x+3，則S△ABD為___________.【答案】1【詳解】分析：先求出直線AB的解析式，根據直線AB與直線CD的k值相等可得出它們平行，根據平行線間的距離處處相等可得出，即可得出答案.詳解：設直線AB的解析式為，∵A的坐標是（2，0）、點B的坐標是（0，2）、∴，解得，∴直線AB的解析式為，∵直線CD的解析式為y=-x+3，∴AB//CD，∴，∵點A的坐標是（2，0）、點B的坐標是（0，2）、點C的坐標是（0，3），∵BC=1，AO=2，∴，∴故答案為1.點睛：本題考查了一次函數的性質及求平面直角坐標系中三角形的面積.解題的關鍵在于利用轉化思想將求△ABD的面積轉化為求△ABC的面積的問題.二、解答題3．（2022秋·上海·八年級校考期中）某農場要建一個飼養場（矩形ABCD）兩面靠現有墻（AD位置的墻最大可用長度為27米，AB位置的墻最大可用長度為15米），另兩邊用木欄圍成，中間也用木欄隔開，分成兩個場地及一處通道，并在如圖所示的三處各留1米寬的門（不用木欄）．建成后木欄總長45米．設飼養場（矩形ABCD）的一邊AB長為x米．（1）飼養場另一邊BC=____米（用含x的代數式表示）．（2）若飼養場的面積為180平方米，求x的值．【答案】（1）48-3x；（2）10.【分析】（1）用（總長+3個1米的門的寬度）-3x即為所求；（2）由（1）表示飼養場面積計算即可，【詳解】（1）由題意得：（48-3x）米．故答案是：（48-3x）；（2）由題意得：x（48-3x）=180解得x1=6，x2=10【點睛】此題考查一元二次方程的應用．解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．4．（2021秋·上海·八年級期中）如圖，某農場要建一個長方形的養雞場，雞場的一邊靠墻（墻長米），用木欄圍成三個大小相等的長方形，木欄總長24米，總面積為32平方米.（1）若墻長米，求AB、BC的長.（2）若米的墻長對雞舍的長和寬是否有影響？請說明你的理由.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）設AB長為x米，則BC長（24-4x）米，然后根據矩形的面積=長×寬，用未知數表示出雞場的面積，根據面積為32m2，可得方程，解方程即可；(2)根據（1）問確定a的取值范圍即可.【詳解】解：（1）設AB長為x米，則BC長（24-4x）米，根據題意得：，即解得：，∴當x=2時，AB=2,BC=16，又∵a=14<16，所以此情況不合題意，舍去；當x=4時，AB=4,BC=8答：AB=4米,BC=8米；（2）∵木欄總長24米，總面積為32平方米.又（1）可得：a<16時，不符合題意，要舍棄AB=2,BC=16的方案，所以若米的墻長對雞舍的長和寬有影響.【點睛】考查一元二次方程的應用；得到長方形的兩個邊長是解決本題的突破點；舍去不合題意的值是解決本題的易錯點．5．（2018春·上海松江·八年級統考期中）已知，點是第一象限內的點，直線交軸于點，交軸負半軸于點．連接，．（1）求的面積；（2）求點的坐標和的值．【答案】（1）2；（2）（）；m=3.【分析】（1）根據三角形面積公式求解；（2）先計算出S△AOB=4，利用三角形面積公式得OA?2=4，解得OA=4，則A點坐標為（，0）；再利用待定系數法求直線AB的解析式，然后把P（2，m）代入可求出m的值．【詳解】解：（1）△BOP的面積=×2×2=2；（2）∵S△AOP=6，S△POB=2，∴S△AOB=6-2=4，∴OA?OB=4，即OA?2=4，解得：OA=4，∴A點坐標為（，0）；設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-4，0）、B（0，2）代入得，解得：，∴直線AB的解析式為y=x+2，把P（2，m）代入得：m=1+2=3．【點睛】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，圖象上點的坐標適合解析式，也考查三角形的面積．解題的關鍵是熟練掌握一次函數的圖形和性質，注意掌握數形結合的思想進行解題.6．（2019春·上海黃浦·八年級統考期中）在行駛完某段全程600千米的高速公路時，李師傅對張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時比我多跑20千米，比我少用1.5小時就跑完了全程．”（1）若這段高速公路全程限速120千米/小時，兩人全程均勻速行駛．那么張師傅超速了嗎？請說明理由；（2）張師傅所行駛的車內油箱余油量（升）與行駛時間（時）的函數關系如圖所示，則行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油？【答案】（1）沒超速；理由見解析；（2）他至少需要33升油．【分析】（1）設李師傅的速度為千米/小時，則張師傅的速度為千米/小時，根據題意可以列出相應的分式方程，從而可以解答本題；（2）根據函數圖象可以求得張師傅每小時的耗油量，從而可以求得行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油．【詳解】（1）沒超速．設李師傅的速度為千米/小時，則張師傅的速度為千米/小時，，∴，∴，．經檢驗，都為原方程的實數根，但不合題意，舍去，∴張師傅速度為100千米/小時<120千米/小時，沒有超速．（2）∵，∴（升）．答：他至少需要33升油．【點睛】本題考查分式方程的應用、從函數圖像讀取信息，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的分式方程解答問題．7．（2017秋·上海嘉定·八年級校聯考期中）如圖，張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15m3的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2米，現已知購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購回這張矩形鐵皮共花了多少元錢？【答案】700元【分析】本題可設無蓋長方體箱子寬為x米，則長為（x＋2）米，根據剛好能圍成一個容積為15m3的無蓋長方體箱子，結合圖形可列出方程，求出答案．【詳解】設長方體箱子寬為x米，則長為（x＋2）米．依題意，有x（x＋2）×1＝15．整理，得x2＋2x﹣15＝0，解得x1＝﹣5（舍去），x2＝3，∴這種運動箱底部長為5米，寬為3米．由長方體展開圖可知，所購買矩形鐵皮面積為（5＋2）×（3＋2）＝35∴做一個這樣的運動箱要花35×20＝700（元）．答：張大叔購回這張矩形鐵皮共花了700元．故答案為：張大叔購回這張矩形鐵皮共花了700元．【點睛】題目考查的知識點比較多，但難度不大，同學應注意的是所求問題用到的是長方體的表面積，即表面展開圖的面積，并非體積．8．（2021秋·上海·八年級期中）如圖，在長方形中，點在折線上運動，且長方形的面積為，(1)當在上運動時，若線段的長度比長方形的邊長少，且的面積為，求邊的長；(2)在(1)的條件下，設線段的長為，的面積為，試求與之間的函數關系式并寫出的取值范圍；(3)在(1)所確定的長方形中，如果點的運動路程為，當為何值時，直線把長方形的面積分為的兩部分?【答案】（1）AB=4cm；（2）；（3）當或，直線把長方形的面積分為的兩部分．【分析】（1）設AB=x，則有BE=x-2，然后根據題意列方程求解即可；（2）根據題意可分當點E在邊BC上時和當點E在邊CD上時，然后進行分類求解即可；（3）根據題意可分當點E在邊BC上時和當點E在邊CD上時，然后根據直線把長方形的面積分為的兩部分進行列方程求解即可．【詳解】解：（1）設AB=x，則有BE=x-2，根據題意得：，解得：（不符合題意，舍去），∴AB=4cm；（2）由（1）可得：AB=4cm，∵長方形的面積為，∴AB=DC=4cm，AD=BC=8cm，設線段的長為，的面積為，∴當點E在邊BC上時，即時，則有：；∴y與x的關系式為：；（3）由（1）（2）可得：AB=DC=4cm，AD=BC=8cm，由題意可得：①當點E在邊BC上時，即時，直線把長方形的面積分為的兩部分，∴，∴，解得：；②當點E在邊CD上時，即時，直線把長方形的面積分為的兩部分，∴，∴，解得：；∴綜上所述：當或，直線把長方形的面積分為的兩部分．【點睛】本題主要考查一次函數的應用及一元二次方程的應用，熟練掌握一次函數的應用及一元二次方程的應用是解題的關鍵．9．（2020秋·上海閔行·八年級校聯考期中）某工程隊，在工地一邊的靠墻處（墻的長度為70米），用120米長的鐵柵欄圍成一個所占地面為長方形的臨時倉庫，鐵柵欄只圍三邊，并且在平行于墻的一邊開一扇寬為2米的門，如果圍成的長方形臨時倉庫的面積為1800平方米，求長方形的兩條邊長．【答案】長方形的長為50米，寬為36米【分析】設垂直墻面一邊長為x米，則平行墻的一邊為(122-2x)米，根據長方形的面積公式列出方程，然后解方程即可解答．【詳解】解：設垂直墻一邊長為x米，則平行墻的一邊為(122-2x)米，根據題意，得：(122-2x)?x=1800，即x2-61x+900=0，（x﹣36）(x﹣25)=0，解得：x1=36，x2=25，∴x=36時，122-2x=122-2×36=50（米），當x=25時，122-2x=122-2×25=72（米），∵墻的長度為70米，∴x=36，故長方形的長為50米，寬為36米．【點睛】本題考查一元二次方程的應用、解一元二次方程，根據題意正確列出方程是解答的關鍵，注意靠墻的那面不需要圍欄，并且墻的長度為70米這一限制條件．10．（2021春·上海浦東新·八年級校考期中）物美商場于今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷，銷售量持續走高．在售價不變的基礎上，三月底的銷售量達到400件，設二、三這兩個月月平均增長率不變．（1）求二、三這兩個月的月平均增長率；（2）從四月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋順客，經調查發現，銷售單價與月平均銷售的關系如下表：銷售單價（元）34353637383940月平均銷售量（件）430425420415410405400若要使利潤達到4250元，且盡可能多的提升月平均銷售量，則銷售單價應定為多少元？【答案】（1）25%；（2）35元【分析】（1）由題意可得，1月份的銷售量為：256件；設2月份到3月份銷售額的月平均增長率，則二月份的銷售量為：256（1+x）；三月份的銷售量為：256（1+x）（1+x），又知三月份的銷售量為：400元，由此等量關系列出方程求出x的值，即求出平均增長率；（2）利用銷量×每件商品的利潤=4250求出即可．【詳解】解：（1）設二、三這兩個月的月平均增長率為x，根據題意可得：256（1+x）2=400，解得：x1==25%，x2=（不合題意舍去）．答：二、三這兩個月的月平均增長率為25%；（2）由表可知：該商品每降價1元，銷售量增加5件，設當商品降價m元時，商品獲利4250元，根據題意可得：（40-25-m）（400+5m）=4250，解得：m1=5，m2=-70（不合題意舍去），40-5=35元．答：銷售單價應定為35元，商品獲利4250元．【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應用，本題的關鍵在于理解題意，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵．11．（2021春·上海黃浦·八年級上海市民辦立達中學校考期中）甲、乙兩車分別從A地將一批貨物運送到B地，乙車再返回A地．如圖表示兩車離A地的路程y（千米）隨時間x（時）變化的圖象．已知甲車出發1小時后，乙車出發，且乙車到達B地，停留半小時卸貨后，馬上按原路原速返回，請根據圖象所提供的信息回答：(1)寫出甲車離開A地將一批貨物送到B地對應圖象的函數解析式：______．(2)甲車出發______小時后被乙車追上．(3)甲車與乙車迎面相遇時，離A地距離為______千米．【答案】(1)(2)3(3)276【分析】（1）根據函數圖像可得，甲車出發7.5h后，到達離A地300km的B地，設甲車出發x小時后被乙車追上，乙的速度為vkm/h，進而求得，將代入，即可求得答案；（2）根據點的意義即可求得答案；（3）先求得停留半小時后的坐標，根據返回時的速度相等，設返回時的函數解析式為，進而聯立甲車對應的函數解析式，求得交點，即可求得答案．（1）由圖象可知，甲車出發7.5h后，到達離A地300km的B地，∴甲車速度，兩車相遇在距A地120km處，設甲車出發x小時后被乙車追上，乙的速度為vkm/h，則，，∴，將代入，得，∴甲車對應的函數解析式為：.故答案為：（2）由（1）中可知甲車對應的函數解析式為，，令，則甲出發3小時后被乙車追上.故答案為：3（3）由（1）知，∴乙到達B地用時：，停留半小時后坐標為，設返回時為，代入得，∴，，得，，∴甲車與乙車迎面相遇時，離A地距離為276千米．故答案為：【點睛】本題考查了一次函數的應用，待定系數法求解析式，兩直線交點問題，數形結合是解題的關鍵．12．（2021春·上海楊浦·八年級校考期中）已知點、在直線上，和函數的圖象交于點．(1)求直線的表達式．(2)若點的橫坐標為1，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由于點A，C在直線上，可用待定系數法確定直線l的表達式；（2）先求出點B的坐標，然后求出a的值，再求函數與x軸的交點D的坐標，最后分別求出△BCD和△ACD的面積即可求出△BAD的面積．（1）∵，在直線上，∴代入得：，解得：，∴直線．（2）∵在直線上，且點的橫坐標為1，∴，∴，∵點在上，∴代入得：，解得：，∴，∵與軸交于點，∴，解得，即點，連接AD，如圖，∴．【點睛】本題考查了待定系數法確定函數解析式、三角形的面積、直線與方程組的關系等知識點．把△BAD的面積轉化為△BCD與△ACD的面積的差是解第（2）題的關鍵．13．（2018秋·全國·八年級統考期中）如圖：已知直線y＝kx＋b經過點A（5，0），B（1，4）．(1)求直線AB的解析式：(2)若直線y＝2x－4與直線AB相交于點C，求點C的坐標；(3)根據圖象，直接寫出關于x的不等式2x－4＜kx＋b的解集．【答案】(1)y=-x+5(2)（3，2）(3)x<3【分析】（1）利用待定系數法即可求得函數的解析式；（2）解兩個函數解析式組成方程組即可求解；（3）關于x的不等式2x-4<kx+b的解集就是函數y=kx+b的圖象在上邊的部分自變量的取值范圍．【詳解】（1）解：根據題意得：，解得：，則直線AB的解析式是y=-x+5；（2）根據題意得，解得：，則C的坐標是（3，2）；（3）根據圖象可得不等式的解集是x<3．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，兩直線的交點與二元一次方程組的解，一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合．14．（2022春·上海·八年級上海市市西初級中學校考期中）“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數學家劉徽在《九章算術》對方程一詞給出的注釋．對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”：②若兩個方程有相同的整數解，則稱這兩個方程為“相伴方程”．(1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由；(2)已知關于x，y的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請寫出它們的公共解；如果不是，請說明理由；(3)已知關于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數）是“相伴方程”，求k的值.【答案】(1)分式方程與無理方程是“相似方程”，理由見解析；(2)和，它們是“相似方程”，公共解為(3)或或【分析】（1）分別求出分式方程和無理方程的解，然后根據“相似方程”的定義進行判斷即可；（2）聯立兩個兩個方程，求出它們的公共解，如果只有唯一解，即說明兩個方程是“相似方程”，如果沒有唯一解則說明兩個方程不是“相似方程”；（3）聯立兩個方程得到，再分當時，當時，兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：分式方程與無理方程是“相似方程”，理由如下：兩邊用時乘以得：，∴，∴，∴或，經檢驗和都是原方程的解；∵，∴，∴，∴，解得或，∴分式方程與無理方程有一個相同的解，∴分式方程與無理方程是“相似方程”；（2）解：聯立得：，∴，∴，∴，∴原方程組的解為，∴方程和方程有一個公共解，∴和，它們是“相似方程”，公共解為（3）解：∵關于x，y的二元一次方程：和（其中k為常數）是“相伴方程”，∴，∴，當時，即不符合題意；當時，則，∵x、y都是整數，∴或或【點睛】本題主要考查了解分式方程，解無理方程，解二元二次方程，解二元一次方程組等等，正確理解題意是解題的關鍵．15．（2022春·上海·八年級期中）在行駛完某段全程600千米的高速公路時，李師傅對張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時比我多跑20千米，比我少用1.5小時就跑完了全程．”(1)若這段高速公路全程限速110千米/時，如若兩人全程均勻速行駛，那么張師傅超速了嗎？請說明理由．(2)張師傅所行駛的車內油箱余油量y（升）與行駛時間t（時）的函數關系如圖所示，則行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油？【答案】(1)沒有超速，理由見解析(2)33升【分析】（1）根據題意可以列出相應的分式方程，從而可以解答本題；（2）根據函數圖象可以求得張師傅每小時的耗油量，從而可以求得行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油．(1)解：張師傅沒有超速，理由：設張師傅的速度為x千米/時，由題意得：，解得：x1＝﹣80（舍去），x2＝100，經檢驗，x＝100是原分式方程的解，∵100＜110，∴張師傅沒有超速；(2)由函數圖象可得，張師傅每小時耗油量為：44÷8＝5.5（升），行駛完這段高速公路，張師傅至少需要：＝33（升），答：行駛完這段高速公路，他至少需要33升油．【點睛】本題考查分式方程的應用、一次函數的應用，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應的分式方程，利用一次函數的性質解答問題．16．（2022秋·上海·八年級上海市進才實驗中學校考期中）在中，，，射線上有一點分別為點P關于直線的對稱點，連接(1)如圖1，當點P在線段上時，則______，______．(2)如圖2，當點P在線段的延長線上時．根據題意補全圖形，并探究是否存在點P，使得，若存在，直接寫出滿足條件時的長度；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)補全圖形見解析，5【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質得出，根據軸對稱的性質可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后結合圖形即可即可；（2）先根據軸對稱圖形的特點補全圖形；再根據軸對稱的性質可得PB=BM，PC=CN，設，則或，，利用和線段的和差列出方程求解即可．【詳解】（1）解：，，，，分別為點關于直線，的對稱點，，，，，．故答案為，．（2）解：補全圖形如圖所示．存在點P，使得．設，則或，，或，或5．經檢驗或5為方程的解，∵線段不可能為負．【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的特點、角度的計算、分式方程的應用等知識點，理解題意、熟練掌握運用軸對稱圖形的性質是解題關鍵．17．（2022春·上海普陀·八年級校考期中）已知一次函數的圖像與軸、軸分別交于點B、A．以AB為邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分線l,交直線AB與點E，交x軸于點G.（1）求點的坐標；（2）在OB的垂直平分線l上有一點M,且點M與點C位于直線AB的同側，使得,求點M的坐標；（3）在（2）的條件下，聯結CE、CM，判斷△CEM的形狀，并給予證明；【答案】(1)C（6，2）;(2)M(1,7);(3)見解析.【分析】（1）過點C作x軸的垂線，交x軸于點H，通過“角邊角”易證≌，得到BH=AO=4,CH=OB=2，即可得到C點坐標；（2）根據題意可設點M（1，a），根據可得關于m的方程，然后求解方程即可；（3）由（2）可得CE=5,EM=5,CM=，根據勾股定理的逆定理即可得到是等腰直角三角形.【詳解】解：（1）過點C作x軸的垂線，交x軸于點H，∵，∴A（0，4），B（2，0），∵BA=BC，∴≌（ASA），∴BH=AO=4,CH=OB=2，∴C（6，2）（2）如圖，由題意可知點G（1，0），點E（1，2），∵AB=BC=2，∴，∵，∴，而，設M（1，a）,則，解的a=7,則M(1,7)；（3）聯結CM,CE，由于點E(1,2),C(6,2),M(1,7)，則CE=5,EM=5,CM=，可得：，CE=EM，∴是等腰直角三角形.【點睛】本題主要考查一次函數與幾何綜合，綜合性較強，屬于中考常考題型，解此題的關鍵在于熟練掌握全等三角形的判定與性質，勾股定理及其逆定理等知識點.18．（2018春·上海崇明·八年級統考期中）已知：如圖，在直角坐標平面中，點在軸的負半軸上，直線經過點，與軸相交于點，點是點關于原點的對稱點，過點的直線軸，交直線于點，如果．（1）求直線的表達式；（2）如果點在直線上，且是等腰三角形，請求出點的坐標．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）先求出點M的坐標，從而可得OM的長，再根據直角三角形的性質可得OA的長，從而可得點A的坐標，然后利用待定系數法求解即可；（2）先根據對稱性得出點B的坐標，再根據兩點之間的距離公式可得的長，然后根據等腰三角形的定義分三種情況建立等式求解即可．【詳解】（1）對于當時，，則點的坐標為設∵在中，，則有解得，即∴點的坐標為∵直線經過點∴，解得故直線的表達式為；（2）點是點關于原點的對稱點點的坐標為設直線上的點坐標為則由等腰三角形的定義，分以下三種情況：①當時，是等腰三角形則，解得或或此時，點D的坐標為或②當時，是等腰三角形則，解得或或此時，點D的坐標為或（與點重合，不能構成三角形，舍去）③當時，是等腰三角形則，解得此時，點的坐標為綜上，點的坐標為點或．【點睛】本題考查了一次函數的幾何應用、直角三角形的性質、等腰三角形的定義等知識點，較難的是題（2），依據題意，正確分三種情況討論是解題關鍵．19．（2021春·上海松江·八年級校考期中）如圖，直線AB經過點A(－3，0)，B(0，2)，經過點D(0，4)并且與軸垂直的直線CD與直線AB交于第一象限內點C．（1）求直線AB的表達式；（2）在軸的正半軸上是否存在一點P，使得△OCP為等腰三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=x+2；（2）（，0）或（5，0）或（6，0）．【分析】（1）根據A、B的坐標運用待定系數法即可解答；（2）先求出點C的坐標為（3，4），再運用勾股定理可得OC=5，然后分OP=PC、OP=OC、CP=OP三種情況，分別根據等腰三角形的性質和勾股定理解答即可．【詳解】解：（1）設直線AB的表達式為：y=kx+b把A（-3，0）、B（0，2）代入得：，解得：所以直線AB的表達式為：y=x+2；（2）∵經過點D（0，4）并且與y軸垂直的直線CD與直線AB交于第一象限內的點C∴點C的縱坐標為4，即4=x+2，解得x=3∴點C的坐標為：（3，4）∴OC=則可以下分三種情況解答，如圖：①當OP=PC時設點P的坐標為：（a，0），則OP2=PC2即a2-（a-3）2+42，解得：a=∴點P的坐標為：（，0）；②當OC=OP=5時點P的坐標為（5，0）；③當OC=CP時，由點C的橫坐標為3，可得點P的橫坐標為6，∴點P的坐標為：（6，0）．∴點P的坐標為（，0）或（5，0）或（6，0）．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質、勾股定理、待定系數法等知識點，掌握等腰三角開的判定與性質是解答本題的關鍵．20．（2022春·上海·八年級上海市浦東外國語學校東校校考期中）在直角坐標平面中，任意線段的中點坐標可以用這條線段的兩個端點的坐標來表示，若平面內點，點，則線段的中點坐標可以表示為，如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，點是線段的中點．（1）求點的坐標（2）點在軸上，且，求直線的表達式．（3）在平面直角坐標系內，直線下方是否存在一點，使得是等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點的坐標，不存在，請說明理由．【答案】（1）C（-2，1）；（2）y=-2x-3；（3）（-2，-4）或（2，-2）或（-1，-1）【分析】（1）求出直線與軸，軸的交點、的坐標，利用題中線段的中點坐標公式建立方程求解即可；（2）根據點、的坐標可得、的長，根據勾股定理求出，可得出，證明，根據相似三角形的性質可得的長，可得出點的坐標，然后利用待定系數法求解即可；（3）分別過點，點作的垂線，在直線下方截取，，連接，交于，則、、是等腰直角三角形，過點，作軸于，軸于，根據全等三角形的判定和性質求得、的長，即可得點的坐標，同理可得點的坐標，根據線段的中點坐標公式可得點的坐標．【詳解】解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，，，，，；（2）如圖，，，，，在中，，點是線段的中點，，，，，，，，即，，，，點的坐標為，設直線的表達式為，將代入得：，解得：，直線的表達式為；（3）分別過點，點作的垂線，在直線下方截取，，連接，交于，，，，，、是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，過點，作軸于，軸于，，，，，，，，，，點的坐標，同理點的坐標，，點的坐標，，即，綜上，點的坐標為或或．【點睛】本題為一次函數的綜合應用，涉及全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判斷和性質、相似三角形的判斷和性質、分類討論及數形結合的思想．本題第三問注意考慮問題要全面，做到不重不漏．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．21．（2022春·上海·八年級校考期中）如圖，為等腰直角三角形，斜邊在軸上，一次函數的圖像經過點，交軸于點，反比例函數（）的圖像也經過點．（1）求反比例函數的解析式；（2）過點作于點，求的值；（3）若點是軸上的動點，點在反比例函數的圖像上使得為等腰直角三角形？直接寫出所有符合條件的點的坐標．【答案】（1）；（2）；（3），，．【分析】（1）根據題意為等腰直角三角形，過點分別作軸于，軸于，則設，根據一次函數的圖像經過點,求得的值，進而求得的坐標,即可求得反比例函數解析式；（2）根據在中，①，在中，②，①－②即可求得；（3）分三種情況討論①若，，如圖，連接，證明，進而求得，從而求得的坐標，即可求得點的坐標；②若，如圖，過點作軸于，過分別作軸，垂足分別為，證明，設，由，可得，解方程即可求得點坐標；③若，如圖，過點作軸于，過作軸于，證明，設，則，由，可得，解方程即可求得點坐標；綜合①②③即可求得所有的坐標．【詳解】（1）過點分別作軸于，軸于，如圖，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，，四邊形是正方形，，設，點在直線上，，解得，，反比例函數（）的圖像經過點，，，反比例函數的解析式為；（2）,把代入，解得，，，在中，①，在中，②，①-②,得，（3）①若，，如圖，連接，在與中，，，，又，，即，，，把代入，得，，②若，如圖，過點作軸于，過分別作軸，垂足分別為，在與，，，，設，則，由，可得，解得，經檢驗，m是原方程的解，，，，③若，如圖，過點作軸于，過作軸于，在與中，，，，設，則，由，可得，解得，經檢驗，m是原方程的解，，，，綜上所述，存在點符合題意，其坐標為，，．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數綜合，等腰直角三角形的性質，勾股定理，三角形全等的性質與判定，解可化為一元二次方程的分式方程，掌握以上知識是解題的關鍵．22．（2022春·上海徐匯·八年級上海市田林第三中學校考期中）將直角坐標系中一次函數的圖像與坐標軸圍成的三角形，叫做此一次函數的坐標三角形（也稱為直線的坐標三角形）．如圖，一次函數y=kx-7的圖像與x、y軸分別交于點A、B，那么為此一次函數的坐標三角形（也稱為直線AB的坐標三角形）．(1)如果點C在x軸上，將沿著直線AB翻折，使點C落在點上，求直線BC的坐標三角形的面積；(2)如果一次函數y=kx-7的坐標三角形的周長是21，求k值；(3)在（1）（2）條件下，如果點E的坐標是，直線AB上有一點P，使得周長最小，且點P正好落在某一個反比例函數的圖像上，求這個反比例函數的解析式．【答案】(1)84(2)(3)【分析】（1）先求出點B坐標，繼而可得OB，由翻折性質可得：，根據勾股定理可得OC的長，根據三角形面積公式即可求解；（2）設，，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA的長，從而得到點A坐標，將點A（，0）代入可得k的值；（3）連接CE交AB于點P，由軸對稱的性質可得當點P、C、E在一條直線上時，△DPE的周長最小，將直線AB和直線CE的解析式聯立可得點P，繼而即可求得反比例函數解析式．【詳解】（1）∵將代入，得：，∴點B（0，-7），∴，又∵點D（0，18），即，∴，由翻折的性質可得：，在Rt△BOC中，由勾股定理可得：，∴直線BC的坐標三角形的面積；（2）設，，∵在Rt△AOB中，由勾股定理可得：，即，解得：，∴點A（，0），∵將點A（，0）代入，得：，∴，（3）如圖，連接CE交AB于點P，∵點C與點D關于直線AB對稱，∴，∴，∴當點P、C、E在一條直線上時，有最小值，又∵DE的長度不變，∴當點P、C、E在一條直線上時，△DPE的周長最小，設直線CE的解析式，將點C（-24，0）、E（0，8）代入上式，得：，解得：，∴直線CE的解析式，聯立，解得：，∴點P（-9，5），設反比例函數解析式為，∴，∴反比例函數解析式為．【點睛】本題考查一次函數的綜合運用，涉及到翻折的性質、勾股定理、待定系數法求解析式、方程組與交點坐標、軸對稱路徑最短等知識點，解題的關鍵是求得各直線解析式，明確當點P、C、E在一條直線上時，△DPE的周長最小．23．（2022春·上海楊浦·八年級校考期中）如圖，已知點A（0，6），點C（3，0），將線段AC繞點C順時針旋轉，點A落在點B處，點D是x軸上一動點．(1)求直線BC的解析式；(2)聯結B、D．若，求點D的坐標；(3)聯結A、D交線段BC于點Q，且∠OAC＝∠CAQ．求△BCD的面積．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）過B點作BM⊥x軸交于M，證明（AAS），求出B（9，3），再由待定系數法求函數的解析式即可；（2）求出直線AC的解析式，由，可設直線BD的解析式為，將點B（9，3）代入求解，從而可得答案；（3）作O點關于直線AC的對稱點E，連接AE與x軸交于D，與線段BC交于Q，設CD=y，ED=x，由勾股定理得，①，②，聯立①②可得x=4，y=5，即可求D（8，0），再求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，過B點作BM⊥x軸交于M，∵∠ACB＝，∴∠ACO+∠BCM＝，∵∠ACO+∠OAC＝，∴∠BCM＝∠OAC，∵AC＝BC，∠AOC＝∠CMB＝，∴△ACO≌△CBM（AAS），∴BM＝OC，CM＝AO，∵A（0，6），C（3，0），∴BM＝3，CM＝6，∴B（9，3），設直線CB的解析式為y＝kx+b，∴解得，∴；（2）設直線AC的解析式為，∴，解得∴，∵，設直線BD的解析式為，∵B（9，3），∴，解得，∴，∴（3）作O點關于直線AC的對稱點E，連接AE與x軸交于D，與線段BC交于Q，由對稱性可知，∠OAC＝∠CAQ，∵A（0，6），C（3，0），∴OA＝AE＝6，OC＝CE＝3，設CD＝y，ED＝x，∴解得（不合題意的根舍去）∴CD＝5，∴D（8，0），∴【點睛】本題考查一次函數的圖象及性質，熟練掌握一次函數的圖象及性質，三角形全等的判定及性質，角平分線的性質，勾股定理，一元二次方程的解法，二元二次方程組的解法是解題的關鍵．24．（2021秋·上海·八年級期中）某中心城市有一樓盤，開發商準備以每平方米7000元價格出售，由于國家出臺了有關調控房地產的政策，開發商經過兩次下調銷售價格后，決定以每平方米5670元的價格銷售．（1）求平均每次下調的百分率；（2）房產銷售經理向開發商建議：先公布下調5%，再下調15%，這樣更有吸引力，請問房產銷售經理的方案對購房者是否更優惠？為什么？【答案】（1）平均每次下調的百分率為10%．（2）房產銷售經理的方案對購房者更優惠．【分析】（1）根據利用一元二次方程解決增長率問題的要求，設出未知數，然后列方程求解即可；（2）分別求出兩種方式的增長率，然后比較即可.【詳解】（1）設平均每次下調x%，則7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合題意，舍去）；答：平均每次下調的百分率為10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房產銷售經理的方案對購房者更優惠．25．（2020春·上海·八年級校聯考期中）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個實數根．（1）求C點坐標；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．【答案】（1）C（0，6）．（2）y=x+6．（3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）．【詳解】試題分析：（1）通過解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關于系數k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標．根據等腰三角形的性質、兩點間的距離公式以及一次函數圖象上點的坐標特征進行解答．試題解析：（1）解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2-14x+48=0的兩個實數根∴OC=6，OA=8∴C（0，6）（2）設直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）由（1）知，OA=8，則A（8，0）∵點A、C都在直線MN上∴解得，∴直線MN的解析式為y=-x+6（3）∵A（8，0），C（0，6）∴根據題意知B（8，6）∵點P在直線MNy=-x+6上∴設P（a，--a+6）當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P1（4，3）；②當PC=BC時，a2+（-a+6-6）2=64解得，a=±，則P2（-，），P3（，）③當PB=BC時，（a-8）2+（-a+6-6）2=64解得，a=，則-a+6=-∴P4（，）綜上所述，符合條件的點P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-）考點：一次函數綜合題．26．（2018春·上海黃浦·八年級統考期中）已知一次函數的圖象與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．（1）求點B的坐標；（2）求直線AE的表達式；（3）過點B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．（4）若將已知條件“AE平分∠BAO，交x軸于點E”改變為“點E是線段OB上的一個動點（點E不與點O、B重合）”，過點B作BF⊥AE，垂足為F．設OE=x，BF=y，試求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域．【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB為等腰三角形，S△OBF=8；（4）y=（0＜x＜8）．【分析】（1）如圖1中，設OE=x，作EM⊥AB于M．首先證明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根據EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8-x）2，解方程即可．（2）根據S△AEB=，即可解決問題．（3）利用面積即可解決，方法類似（2）．【詳解】解:（1）如圖1中，∵一次函數y=-x+6的圖象與坐標軸交于A、B點，∴A（0，6），B（8，0），設OE=x，作EM⊥AB于M．∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，∴OE=EM=x，在△AEO和△AEM中，，∴△AEO≌△AEM，∴AM=AO=6，∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，∴AB=10，∴BM=4，在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，∴x2+42=（8-x）2，∴x=3，∴E（3，0），設直線AE的解析式為y=kx+b則，解得，∴直線AE的解析式為y=-2x+6．（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，∵S△AEB=?EB?OA=?AE?BF，∴BF=．（3）如圖2中，在Rt△AOE中，，∴AE=，∵S△AEB=?EB?OA=?AE?BF，∴BF=，∴y=（0＜x＜8）．【點睛】本題考查一次函數綜合題、全等三角形的判定和性質、三角形的面積．勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用面積法求高.27．（2019秋·上海·八年級校考期中）某校八年級舉行“生活中的數學”數學小論文比賽活動，購買A、B兩種筆記本作為獎品，這兩種筆記本的單價分別是12元和8元，根據比賽設獎情況，需要購買兩種筆記本共30本，若學校決定購買本次筆記本所需資金不能超過280元，設買A種筆記本x本．（1）根據題意完成以下表格（用含x的代數式表示）（2）那么最多能購買A筆記本多少本？（3）若購買B筆記本的數量要小于A筆記本的數量的3倍，則購買這兩種筆記本各多少本時，費用最少，最少的費用是多少元？【答案】（1）30-x，8(30-x)；（2）12x+8(30-x)≤280，x≤10；（3）7.5＜x≤10，x=8時，最少費用272元．【詳解】解：（1）由題意，得筆記本型號AB數量（本）x30-x價格（元/本）128售價（元）12x8（30-x）（2）由題意，得12x+8（30-x）≤280，解得：x≤10．∴最多能購買A筆記本10本；（3）設購買兩種筆記本的總費用為W元，由題意，得W=12x+8（30-x）=4x+240．30-x＜3x，∴x＞7.5．∵k=4＞0，∴W隨x的增大而增大，∴x=8時，W最小=272元．28．（2018春·上海普陀·八年級統考期中）如圖，已知一次函數