第11章靜磁學§11.1磁現象的電本質§11.2畢奧-薩伐爾定律§11.3磁場的高斯定理與散度§11.4磁場的安培環路定理與旋度§11.5運動電荷的磁場§11.6磁場對運動電荷及電流的作用§11.7介質靜磁學§11.8鐵磁性§11.1磁現象的電本質一.磁力和磁場早期磁現象：磁鐵磁鐵間的相互作用。(1)磁鐵有吸引鐵、鈷、鎳的性質—磁性。(2)磁鐵有兩個極：N，S。(3)磁極間存在相互作用力：同極相斥，異極相吸。司南勺磁現象與電現象有沒有聯系？運動的電荷？靜電場靜止的電荷INS1819年，奧斯特實驗首次發現了電流與磁鐵間有力的作用,才逐漸揭開了磁現象與電現象的內在聯系。1822年安培提出了物質磁性本質的假說：一切磁現象都起源于電荷的運動(電流)。運動電荷運動電荷磁場磁場和電場一樣,也是物質存在的一種形式。本章主要討論不隨時間變化的磁場——穩恒磁場（2）在磁場中的p點處存在著一個特定的方向，當電荷沿此方向或相反方向運動時，所受到的磁力為零，與電荷本身性質無關;（3）在磁場中的p點處，電荷沿與上述特定方向垂直的方向運動時所受到的磁力最大(記為Fm)，并且Fm與qv的比值是與q、v無關的確定值。二、磁感應強度（1）當運動試探電荷以同一速率v沿不同方向通過磁場中某點p時，電荷所受磁力的大小是不同的，但磁力的方向卻總是與電荷運動方向（）垂直；設帶電量為q，速度為

的運動試探電荷處于磁場中，實驗發現：方向：大小：單位：特斯拉（T）高斯（Gs）由實驗結果可見，磁場中任何一點都存在一個固有的特定方向和確定的比值Fm/(qv)，與試驗電荷的性質無關，反映了磁場在該點的方向和強弱特征，為此，定義一個矢量函數：三.磁感應線(磁力線)(1)方向：磁力線切線方向為磁感應強度的方向(2)大?。簽榇鸥袘獜姸鹊拇笮?.磁力線的特征(1)無頭無尾的閉合曲線；(2)與電流相互套連，服從右手螺旋定則；(3)磁力線不相交。1.規定的單位面積上穿過的磁力線條數垂直

真空中，電流元Idl

在P點產生的磁場為§11.2畢奧-薩伐爾定律

一.畢奧-薩伐爾定律P方向：電流I的方向；大小：Idl=電流I線元長度dl。

(3)o稱為真空的磁導率,在SI制中o=410-7T·m/A(1)電流元

是載流導線上任取的一段線元。(2)

是從電流元

指向P點的單位矢量。說明(4)磁場的大?。?5)方向：，由右手螺旋法則確定。是與之間的夾角。dBIdlPr所對應的磁感應線是以所在的直線為軸，以rsin為半徑的圓。在同一圓周上的各點的dB相等，并隨r

增大而減小。

(6)按照磁場疊加原理,任一有限長的線電流在P點產生的，應等于線電流上各個電流元在P點產生的的矢量和：矢量積分！若各方向相同，則若各方向不同，則建立坐標系：方向：垂直紙面向里(且所有電流元在P點產生的磁場方向相同)；例11.2.1

求直線電流的磁場。

解:

選坐標如圖,電流元Idx在P點所產生的磁場為Pa.IxoxIdxr所以直線電流在P點產生的磁場為12磁場方向:垂直紙面向里。PaxoxIdxrI統一積分變量：說明：(1)上式中的

a是直電流外一點P

到直電流的垂直距離。(2)1和

2

分別是兩端直電流與直電流端點和場點P的連線間的夾角。1和

2必須取同一方位的角。12PaxoxIdxrI討論:(1)對無限長直導線,IB1=0,2=,則有在垂直于直導線的平面上，磁感應線是一系列圓，圓上各點B相等。12PaxoxIdxrI半無限長直導線,(2)如果P點位于直導線上或其延長線上,證：若P點位于直導線上或其延長線上，則=0或=，于是

則P點的磁感應強度必然為零。12PaxoxIdxrI例題11.2.2

直電流公式的應用。P點磁場：AB：BC：12(1)P點磁場:APaBICI(2)邊長為a的正方形中心O點:A點磁場：11=45,2=135a211=45,2=90aIO2AaI.o2

(3)邊長為a的正三角形中心o點的磁場。正三角形：IABoraICD

CD段：B2=0；

AB段：B1=0；

解：Bx=2RsinIdBoxyRd(4)無限長半圓筒形金屬薄片，R，I(均勻分布)。求軸線上一點的磁場強度。例11.2.3圓電流軸線上一點的磁場。解:由對稱性可知，P點的場強方向沿軸線向上。即BIRxpdBrIdldB(1)在圓電流的圓心o處,因x=0,故得方向由右手螺旋法則確定。推廣：任意圓弧圓心處的磁場討論：(2)若場點p遠離圓心，且x>>R有，則BIRxpdBrIdldB例題11.2.4直電流和圓電流的組合。圓心o:Bo=方向：垂直紙面向外。方向：垂直紙面向里。boRIIacdIbefRrocdIa電流I經圓環分流后,在中心o點產生的磁場為零。方向：垂直紙面向外。Ｉ1l1Ｉ2l2IRoBCDAI圓心o:例11.2.5一均勻帶電圓盤，半徑為R，電荷面密度為,繞通過盤心且垂直于盤面的軸以的角速度轉動，求盤心的磁場及圓盤的磁矩。解:將圓盤分為若干個圓環積分。帶電圓環旋轉時產生的電流強度為環上的電量盤心的磁場：.oRqIsrdr2ro圓盤的磁矩:方向：垂直紙面向里。Pm=NIS.oRrdr例題11.2.6均勻帶電半圓弧(R,)，繞直徑以勻速轉動，求圓心o處的磁場。解:半圓弧旋轉起來，象一個球面，可劃分為若干圓電流積分。Ror=Rsin

Rodxr作業習題冊：習題十四穩恒磁場（一）習題十五穩恒磁場（二）§11.3磁場的高斯定理一.磁通量在SI制中,磁通量的單位為韋伯(wb)。1Wb=1Tm2即，磁場中，通過任一曲面的磁力線條數，稱為通過該曲面的磁通量。對閉合曲面，外法線方向為正方向。磁通量的正負規律是：穿出為正；穿入為負。靜電場：磁場：靜電場是有源場由于磁力線是閉合曲線，因此通過任一閉合曲面磁通量的代數和(凈通量)必為零,亦即二.磁場的高斯定理磁場的高斯定理在靜電場中,由于自然界有單獨存在的正、負電荷,因此通過一閉合曲面的電通量可以不為零,這反映了靜電場的有源性。而在磁場中,磁力線是閉合的，表明像正、負電荷那樣的磁單極是不存在的,磁場是無源場。因此，磁場是不發散的（無源場）：*磁單極（magneticmonopole）：磁單極子質量：根據電和磁的對稱性：——磁荷這么大質量的粒子尚無法在加速器中產生。只要存在磁單極子就能證明電荷的量子化。1931，Dirac預言了磁單極子的存在。量子理論給出電荷和磁荷存在關系：人們希望從宇宙射線中捕捉到磁單極子。斯坦福大學Cabrera等人的研究組利用超導線圈中磁通的變化測量來自宇宙的磁單極子。qm電感LI超導線圈有磁單極子穿過時，感應電流記錄到了預期電流的躍變，I1982.2.14,13:53t但以后再未觀察到此現象。實驗中采用了直徑5cm的鈮線圈4匝。經過151天的連續等待，1982.2.14自動記錄儀http:///htmlpaper/2009910103576357262.shtm解：將半球面和圓面組成一個閉合面，則由磁場的高斯定理知，通過此閉合面的磁通量為零。-Br2cos這就是說，通過半球面和通過圓面的磁通量數值相等而符號相反。所以：。例11.3.1在勻強磁場

中，有一半徑為r的半球面S,S邊線所在平面的法線方向的單位矢量

和

的夾角為,如圖所示，則通過半球面S的磁通量為S§11.4安培環路定理靜電場:靜電場是保守場磁場:一、磁場的安培環路定理

在真空中，磁感應強度沿任何閉合路徑l的線積分(亦稱

的環流)等于閉合路徑l

所包圍的電流強度的代數和的o倍。

說明：

1.的環流完全由閉合路徑l所包圍的電流確定，而與未包圍的電流無關。2.但

是空間所有電流(閉合路徑l內外的電流)產生磁場的矢量和。

3.I內—是閉合路徑l所包圍的電流的代數和。包圍—穿過以閉合路徑l為邊界的任一曲面上的電流。

右手拇指伸直,彎曲四指與閉合路徑l的方向一致時,拇指的指向即為電流的正方向。電流的正負由右手螺旋確定:lI1I2I3(4)適用條件：穩恒電流(閉合電路)的磁場。IIl(3)安培環路定理揭示磁場是非保守場，是有旋場。lII二.安培環路定理的應用——求解具有某些對稱性的磁場分布求解步驟：(1)分析磁場分布(電流分布)的對稱性；(2)選擇適當的閉合回路，使(3)求出閉合回路所包圍的電流的代數和。(4)求出B并判斷其方向。例11.4.1

設無限長圓柱體半徑為R,電流I沿軸線方向,并且在橫截面上是均勻分布的。求:(1)圓柱體內外的磁場；(2)通過斜線面積的磁通量。解:(1)磁場分布具有軸對稱性，磁場方向為圓周切線方向，滿足右手螺旋關系。rBIR2RLl

設電流密度為J·r22ro2roIrBlIR選半徑r的圓周為積分的閉合路徑，由安培環路定理：(2)通過斜線面積的磁通量:IR2RL斜線區域的磁場方向均垂直于板面向里，drdsror1B1+=JJo′r2B2例11.4.2長直柱體內有柱形空腔，兩軸相距a，電流強度為I，求空腔中的磁場強度。解:空腔柱體的磁場可看作是兩個流有反向電流J的實心長直柱體的疊加。r1aooIpr2RrB1B2空腔中的場強:

空腔中是一個勻強磁場：大?。悍较颍簓軸正方向(即垂直于連心線oo′)。12r1r2oo′axyB2B112r1aooIpr2RrB1B2+=JJooa.oaooIrR討論實心柱體內(對R而言):實心柱體外(對r而言):aooIaP.r圖中P點的磁場:B1B2例11.4.3

同軸電纜:傳導電流I沿導線向上流去,由圓筒向下流回，設電流在截面上都是均勻分布的。求同軸電纜的磁場分布。

解:

2roI旋轉對稱2ro！IIabc解:

由對稱性知，與螺繞環共軸的圓周上各點磁感應強度的大小相等，方向沿圓周的切線方向。例11.4.4

求載流螺繞環的磁場分布。設螺繞環環上均勻密繞N匝線圈,線圈中通有電流I,如圖所示。Iro由安培環路定理：l2ro在環管內:B=NI！

對于管外任一點，過該點作一與螺線環同軸的圓周l1或l2為閉合路徑，l1l2

由于這時I內=0，所以有B=0(在螺線環外)可見，螺線環的磁場集中在環內，環外無磁場。I

例11.4.5

求載流(無限)長直密繞螺線管內外的場。設線圈中通有電流I,沿管長方向單位長度上的匝數為n。B解：線圈密繞根據對稱性可知，管內磁場沿軸線方向。作矩形安培環路如圖！例11.4.6

一均勻帶電的長直柱面，半徑為R，單位面積上的電量為，以角速度繞中心軸線轉動，如圖所示，求柱面內外的磁場。

解：旋轉的柱面形成圓電流，它和一個長直螺線管等效。

由長直螺線管的磁場可知，柱面外的磁場為零；而柱面內的磁場為=o×單位長度上的電流強度作業習題冊：習題十六穩恒磁場（三）習題十七穩恒磁場（四）§14.5運動電荷的磁場rPIdldSI

由畢—薩定律，電流元

在P點產生的磁場為

設電流元

的橫截面積為dS，導體內載流子數密度為n,每個粒子帶電量q，以速度沿

的方向運動，則I=qndS代入畢—薩公式中，得電流元內共有個ndSdl

載流子，所以一個運動電荷產生的磁場就是:大小：方向：rθrθ運動電荷的電場線和磁感應線EvBq一.洛侖茲力大?。悍较颍捍怪庇?)平面方向方向特點：不改變大小，只改變方向。不對q做功。§11.6磁場對運動電荷及電流的作用

一個電荷q在磁場

中以速度

運動時，該電荷所受的磁場力即洛侖茲力為

因為洛侖茲力F=qBsin=0，所以帶電粒子在磁場中作勻速直線運動。1.帶電粒子在磁場中的運動設帶電粒子以初速度進入勻強磁場中，分三種情況討論：

帶電粒子作勻速率圓周運動。半徑周期B=cos^=sin螺距周期半徑——螺旋運動。與有一夾角

此時帶電粒子一方面以⊥=sin在垂直于

的平面內作圓周運動,同時又以

=cos沿磁場

的方向作勻速直線運動hR磁聚焦示意圖

盡管在P點電子束中電子垂直于B的速度各不相同,但周期相同，所以它們散開在磁場中沿各自的螺旋線繞行一周后,都又會重聚于同一點P′。這就是磁聚焦的基本原理。應用：電真空器件中,電子顯微鏡。a)磁聚焦應用：b)磁約束應用于受控熱核聚變(磁約束、磁鏡效應)在非均勻磁場中,帶電粒子仍作螺旋運動,但半徑和螺距都將不斷變化。磁約束2.霍耳效應(1)現象：dIBbΔUfm(2)原因：載流子q=-e，漂移速度方向向上，導體上下兩表面出現電勢差U，兩個表面之間的電場EH=U/b。導體中通電流I，磁場垂直于I，在既垂直于I，又垂直于方向出現電勢差U。式中d是導體在磁場方向的厚度最后得到：載流子又會受到電場力的作用達到穩恒狀態時:dIBbΔUfm霍爾系數量子霍耳效應測載流子密度測載流子電性—半導體類型測磁場(霍耳元件)磁流體發電(3)應用：ab

解:磁場方向：又由R=垂直紙面向里。T=例題11.6.1電子在勻強磁場

中沿半圓從a到b

，t=1.57×10-8s，a、b相距0.1m。求

和電子的速度。例11.6.2勻強磁場B只存在于x>0的空間中。一電子在紙面內以與x=0的界面成角的速度進入磁場。求電子在y軸上的入射點和出射點間的距離，以及y軸與電子在磁場中的軌道曲線包圍的面積。

解:電子進入磁場后，作圓運動。

找出圓心o，加輔助線oA、oB。

入射點和出射點間的距離:AB=2Rsiny軸與軌道曲線包圍的面積:oxyABRo例11.6.3半導體的大小a×b×c=0.3×0.5×0.8cm3

,

電流I=1mA(方向沿x軸),磁場B=3000Gs(方向沿z軸)，如圖所示；測得A、B兩面的電勢差UA-UB=5mV,問:(1)這是P型還是N型半導體？(2)載流子濃度n=?解：(1)由A面比B面電勢高，判定這是N型半導體。

(2)由公式代入I=10-3A,B=0.3T,d=0.3×10-2m,△U=5×10-3V,得：n=1.25×1020個/m3。IabcxyzBAB二.安培力大?。篸F=IdlBsin方向：

對任意載流導線，可劃分為許多電流元，則安培力

電流元

在磁場

中受的作用力即安培力為對于均勻磁場中的直載流導線,安培力為IBabLIab對于均勻磁場中的任意形狀載流導線,安培力為Idl在勻強磁場中,彎曲導線受的安培力等于從起點到終點的直導線所受的安培力。結論：例11.6.4勻強磁場中的導線：圓弧受的力：力的方向垂直紙面向外。RBaboIoRIabB圓弧受的力：例11.6.5

如圖所示，無限長直電流I1和線段AB(AB=L,通有電流I2)在同一平面內,求AB受的磁力及對A點的磁力矩。解:由于每個電流元受力方向相同，由公式dF=IdlBsin，得M=BI2I1dAxdxdF例11.6.6

圓電流（I1，R）與沿直徑的長直電流I2共面且相互絕緣，求圓電流I1所受的磁力。

解:

由對稱性可知，圓環受的合力沿x軸的正方向,而大小為F=xyoI1I2dFxRyI1dldFI1dldF=IdlBsin例11.6.7在勻強磁場中，平行于磁感應線插入一無限大平面導體薄片，其上有電流在垂直于原磁場方向流動，此時導體片上下兩側的磁感應強度分別和，求(1)原勻強磁場的磁感應強度；(2)導體薄片中的電流線密度；(3)薄片受到的磁壓。解：(1)因B1>B2，所以的方向平行于導體平面指向左方。

并且導體中電流應垂直流出，產生均勻磁場，在上方向左，在下方向右的，則(2)作一矩形閉和回路,應用安培環路定理l(為導體中電流線密度)(3)導體受到的磁壓來自于原磁場，其上單位寬度長為dl的電流元受到的力大小：大?。涸偃挝婚L度，得導體上單位面積上受到的安培力，即磁壓強單位寬度長為dl的電流元受到的力abcdIl1l2B三.載流線圈在磁場中受到的的磁力矩F1F2F2′ab:F1=bc：F2=NIl2B,方向垂直紙面向外;da：F2′=NIl2B,方向垂直紙面向內。ab和cd邊受合力為零,

也不產生力矩。cd：F1′=NIl1Bsin,方向向下。bc和da邊受的合力也為零，但這對力偶對中心軸要產生力矩。Il1Bsin,方向向上；NM=F22.pm=NIl1l2，所以磁場對線圈力矩的大小可表示為M=pmBsin

矢量式:力矩M的方向：沿中心軸線向上。上式對均勻磁場中的任意形狀的平面線圈也都適用。Bl1a(d)b(c)F2F2MF2F2′abcdIl1l2B非均勻磁場中線圈不但轉動，還要平動。結論：均勻磁場合外力不平動磁力矩平面載流線圈所受轉動轉動的結果使線圈的方向與磁場的方向趨于一致，此時線圈處于穩定平衡狀態。解：

可將圓盤分為無限多個圓環積分。由M=pmBsin，圓盤所受的磁力矩為r2BM=例11.6.8均勻磁場B中，圓盤(R，=kr,k是常數)以角速度繞過盤心o點，求圓盤所受的磁力矩。由pm×B可知，M的方向垂直B向上。RBordrdI

解:(1)由M=pmBsin，得M=IabJ=M/β=2.16×10-3(kg.m2)(2)磁力所作的功為=IabBsin60oBsin(90o-)yzoBxabI

例11.6.9

a×b=10×5cm2，I=2A，B=0.5i(T)。當=30o時，β=2rad/s2，求:(1)線圈對oy軸的轉動慣量J=?(2)線圈平面由=30o轉到與B垂直時磁力的功。四.安培力的功（略）(1)對運動載流導線安培力：即安培力所做的功等于電流強度乘以導線所掃過的磁通量。(2)對轉動載流線圈磁力矩：大小：線圈轉動，使減小，當轉動d時式中dm表示線圈轉過d

，穿過線圈磁通量的增量。線圈從

1轉到

2過程中，磁力矩做的功若電流I不變，則作業習題冊：習題十八穩恒磁場（五）習題十九穩恒磁場（六）

1.磁介質的種類§11.7介質靜磁學

電場中，電介質極化后，在均勻電介質表面出現極化電荷，于是電介質中的電場為

與此類似，磁場中，磁介質磁化后，在均勻磁介質表面出現磁化電流，于是磁介質中的磁場為一.磁介質和磁化強度磁介質是能夠影響磁場分布的物質。根據r的取值，可將磁介質分為四類稱為抗磁質，如鋅、銅、鉛等；稱為順磁質，如錳、鉻、氧等；稱為鐵磁質，如鐵、鈷、鎳等；

此類介質具有完全抗磁性，如超導體。式中,

r叫磁介質的相對磁導率,它隨磁介質的種類和狀態的不同而不同。對真空，

r=1。pmI▲無外加磁場(1)抗磁質：(2)順磁質：2.抗磁質和順磁質的磁化

分子中電子運動的磁效應可用一個圓電流(分子電流)來等效。

這個圓電流的磁矩pm稱為分子的固有磁矩。分子的熱運動，

取每一個方向的概率相等，故也不顯磁性。

分子中的電子受到洛侖茲力的作用,除了繞核運動和自旋外,還要附加一個以外磁場方向為軸線的轉動,從而形成進動。

在外磁場Bo作用下,▲在外磁場中陀螺的進動

電子進動的結果是:

產生一個和外磁場Bo方向相反的附加磁矩pm。(1)抗磁質：稱為感應磁化。(2)順磁質：稱為取向磁化。

附加磁矩pm產生的磁場B′的方向總是與外磁場Bo的方向相反,因此抗磁質中這是抗磁性的重要表現。

分子的固有磁矩pm產生的附加磁場B′的方向總是與外磁場Bo的方向相同,因此順磁質中

這是順磁性的重要表現。抗磁質順磁質右手螺旋左手螺旋無論順磁質還是抗磁質磁化后均在介質表面產生磁化電流，也稱束縛電流。3.磁化電流單位體積內分子磁矩(包括附加磁矩)的矢量和4.磁化強度反映磁介質的磁化程度。若在某介質內各點的相同，就稱為均勻磁化。5.磁化電流與磁化強度的關系為簡單起見,我們用長直螺線管中的圓柱體順磁質來說明它們的關系。設磁化電流線密度(即垂直電流方向單位長度上的磁化電流強度)為J',則此磁介質中的總磁矩為按磁化強度的定義，有=磁介質中所有分子磁矩的矢量和J'LS=|pmi|即磁化電流線密度J'

等于磁化強度M的大小。LMS取如一矩形閉合路徑l,則磁化強度的環流為Mlab

是介質表面外法線方向上的單位矢量。閉合路徑l所包圍的磁化電流的代數和一般情況下,

J‘=Msin,是

與間的夾角,可寫成下面的矢量式:

二.介質中磁場的性質1.有磁介質的磁高斯定理當空間存在磁介質時，空間各點的磁感應強度磁化電流產生的磁場與傳導電流產生的磁場一樣，磁感應線都是閉合曲線。因此，在有磁介質存在的情況下，高斯定理成立：傳導電流磁化電流2.有磁介質的安培環路定理

在磁介質中,安培環路定理應寫為式中,

Io內和I′內分別是閉合路徑

l所包圍的傳導電流和磁化電流的代數和。由于:定義：磁場強度矢量這就是磁介質中的安培環路定理。實驗表明,在各向同性磁介質中：其中m叫磁介質的磁化率?？勺C明1+m=r相對磁導率,

or=磁導率,則得到：由：得：例11.7.1同軸電纜：一根長直同軸線,兩導體中間充滿磁導率為的各向同性均勻非鐵磁絕緣材料。傳導電流I沿導線向上流去,由圓筒向下流回，設電流在截面上都是均勻分布的。求同軸線內外的磁場強度H和磁感應強度B的分布，以及貼導線的磁介質內表面上的磁化電流。···bcaoIIIIabc解:由安培環路定理:及B=Hr<a:H=

2rH·2r···bcaoIIIrr0B=02rb<r<c:H=

···bcaoII=0rIabc緊貼導線的磁介質內表面處的磁化強度磁化電流線密度介質內表面處的總磁化電流···aoII例11.7.2一充滿均勻磁介質的密繞細螺繞環，求:磁介質內的解:取回路如圖，設總匝數為N,則細螺繞環R1=R2=r討論：設想把這些磁化面電流也分成每米103匝，相當于分到每匝有多少？>>2(A)充滿鐵磁質后>>作業習題冊：習題二十穩恒磁場（七）一.鐵磁質的宏觀性質1.高值鑄鋼：

r=5002200，硅鋼：r=7000坡莫合金：

r=105

因此,在外磁場中放入鐵磁質可使磁場增加102~104倍左右。2.非線性

相對磁導率r要隨磁場的強弱發生變化，因此B和H的關系是非線性的?！?1.8鐵磁性BH3.有磁滯(剰磁)現象

一般說來，抗磁質和順磁質在外磁場消失時，磁性也消失。但鐵磁質不同，外磁場消失后，還會保留部分磁性，這就是磁滯現象。Br—剩磁

Hc—矯頑力(使鐵磁質中的磁場完全消失所需加的反向磁場強度的大小)BHoBr-Hc磁滯回線硬磁