浙江省溫州市第十七高中2021-2022學年高三數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在中，，，，則(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：B

【知識點】向量數量積的運算;余弦定理F3C8解析：，又由余弦定理知．故選B．【思路點撥】先利用向量數量積得到cosA,再由余弦定理可得結果。2.定義在R上的函數f（x）滿足f（x）=，則f（3）的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2參考答案：B【考點】3T：函數的值．【分析】利用分段函數的性質和對數的運算法則求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣log24=﹣2．故選：B．3.若是真命題，是假命題，則

（

）

A．是真命題

B．是假命題

C．是真命題

D．是真命題參考答案：D略4.在等差數列中，，則數列的前11項和等于（

）A.24

B.48

C.132

D.66參考答案：C5.下列函數中既是奇函數又在區間（0，+∞）上單調遞減的是（）A．y=e﹣x B．y=ln（﹣x） C．y=x3 D．y=參考答案：D【考點】函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷．【分析】對選項根據函數的奇偶性和單調性，一一加以判斷，即可得到既是奇函數，又在（0，+∞）上單調遞減的函數．【解答】解：由于函數y=e﹣x是減函數，但不是奇函數，故不滿足條件．由于函數y=ln（﹣x）不是奇函數，在（0，+∞）上單調遞減，故不滿足條件．由于函數y=x3是奇函數，且在（0，+∞）上單調遞增，故不滿足條件．由于函數y=是奇函數，且在（0，+∞）上單調遞減，故滿足條件，故選D．6.已知，則=（

)A．

B．

C.

D．參考答案：B因為，所以，將式子兩邊平方得，所以，故選B.

7.已知x＞1，y＞1，且lgx，，lgy成等比數列，則xy有（）A．最小值10 B．最小值 C．最大值10 D．最大值

參考答案：B【考點】88：等比數列的通項公式．【分析】由題意和等比中項的性質列出方程，由條件和基本不等式列出不等式，由對數的運算法則求出xy的最小值．【解答】解：∵lgx，，lgy成等比數列，∴=（lgx）（lgy），即（lgx）（lgy）=，又x＞1，y＞1，∴lgx＞0，lgy＞0，∴lgx+lgy，當且僅當lgx=lgy時，即x=y取等號，∴lgx+lgy=lg（xy）≥，則xy≥，即xy有最小值是，故選B．【點評】本題考查等比中項的性質，基本不等式，以及對數的運算法則的應用，屬于基礎題．8.己知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是

A．108cm3

B．92cm3

C．84cm3

D．100cm3參考答案：D9.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱長為，在底面△ABC中，∠C=60°，，則此直三棱柱的外接球的表面積為（）A． B． C．16π D．參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】由題意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC的小圓半徑為1，連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：由題意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面小圓ABC的半徑為=1，連接兩個底面中心的連線，中點與頂點的連線就是球的半徑，外接球的半徑為：=2，外接球的表面積為：4π?22=16π．故選C．10.已知復數（其中a∈R，i為虛數單位）是純虛數，則a+i的模為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則、共軛復數的定義、純虛數的定義、模的計算公式即可得出．【解答】解：復數==+i是純虛數，∴=0，≠0，∴a=，則|a+i|===．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數在處取得極值10，則取值的集合為

參考答案：略12.已知函數f(x)=sinx-cosx且f′(x)=2f(x)，f′(x)是f(x)的導函數，則=____.參考答案：-【分析】由函數f（x）的解析式，利用求導法則求出導函數f′（x），然后把函數解析式及導函數解析式代入f'（x）=2f（x），整理后利用同角三角函數間的基本關系弦化切求出tanx的值，把所求式子分子中的“1”變形為sin2x+cos2x，分母中的sin2x利用二倍角的正弦函數公式化簡，分子分母同時除以cos2x，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后，將tanx的值代入即可求出值．【詳解】因為f′(x)=cosx+sinx，f′(x)=2f(x)，所以cosx+sinx=2(sinx-cosx)，所以tanx=3，所以====-.故答案為-【點睛】此題考查了三角函數的化簡求值，涉及的知識有：求導法則，同角三角函數間的基本關系，以及二倍角的正弦函數公式，熟練掌握基本關系及公式是解本題的關鍵．13.雙曲線的焦距為漸近線方程為.參考答案：2;y=±x本題考查雙曲線的基本量.由題知故,焦距:,漸近線:.14.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_____________.參考答案：略15.已知則=__________________參考答案：16.對任意實數，若不等式恒成立，則的取值范圍是_________．參考答案：略17.給出如下五個結論：①若△ABC為鈍角三角形，則sinA＜cosB．②存在區間（a，b）使y=cosx為減函數而sinx＜0③函數y=2x3﹣3x+1的圖象關于點（0，1）成中心對稱④y=cos2x+sin（﹣x）既有最大、最小值，又是偶函數⑤y=|sin（2x+）|最小正周期為π其中正確結論的序號是．參考答案：③④考點：命題的真假判斷與應用．專題：計算題；閱讀型；三角函數的圖像與性質．分析：若△ABC為鈍角三角形，且B為鈍角，即可判斷①；由y=cosx的減區間，結合正弦函數的圖象，即可判斷②；計算f（x）+f（﹣x），即可判斷③；運用二倍角公式，化簡整理，再由余弦函數奇偶性和值域和二次函數的最值求法，即可判斷④；運用周期函數的定義，計算f（x+），即可判斷⑤．解答：解：對于①，若△ABC為鈍角三角形，且B為鈍角，則sinA＞cosB，即①錯；對于②，由于區間（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）為y=cosx的減區間，但sinx＞0，即②錯；對于③，由f（x）+f（﹣x）=2x3﹣3x+1﹣2x3+3x+1=2，則函數y=2x3﹣3x+1的圖象關于點（0，1）成中心對稱，即③對；對于④，y=cos2x+sin（﹣x）=cos2x+cosx=2cos2x+cosx﹣1=2（cosx+）2﹣，由于cosx∈[﹣1，1]，則cosx=﹣時，f（x）取得最小值，cosx=1時，f（x）取得最大值2，且為偶函數，即④對；對于⑤，由f（x+）=|sin（2x+π++）|=|sin（2x+）|=f（x），則最小正周期為，即⑤錯．故答案為：③④．點評：本題考查正弦函數和余弦函數的單調性和值域，考查周期函數的定義及運用，考查函數的對稱性以及最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）設函數為正整數，為常數．曲線在點處的切線方程為.（Ⅰ）求函數的最大值；（Ⅱ）證明：.參考答案：解：（Ⅰ）函數……………1分曲線在點處的切線方程為，則…………2分；則……1分故……………1分令得，當當故函數在上單調遞增；在上單調遞減…………1分故在上最大值為………1分（Ⅱ）證明：欲證成立，只需證：……………1分即證:即……………1分對于函數在在上的最小值為故，即成立………2分令成立，故原命題成立…1分19.（滿分12分）已知函數＝（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）求在[－3,3]上的最大值和最小值。參考答案：20.（14分）已知函數，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函數g（x）在區間[2，4]上的最小值；（Ⅱ）證明：對任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（Ⅰ）求出g（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出g（x）在[2，4]上的最小值即可；（Ⅱ）求出g（m）的最小值，根據函數的單調性求出f（x）的最大值，從而證出結論即可．【解答】（Ⅰ）解：由g（x）=xlnx，可得g'（x）=lnx+1．當，g'（x）＜0，g（x）單調遞減；當，g'（x）＞0，g（x）單調遞增．所以函數g（x）在區間[2，4]上單調遞增，又g（2）=2ln2，所以函數f（x）在區間[2，4]上的最小值為2ln2．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知g（x）=xlnx（x∈（0，+∞））在時取得最小值，又，可知．由，可得，所以當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；當x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減．所以函數f（x）（x＞0）在x=1時取得最大值，又，可知，所以對任意m，n∈（0，+∞），都有g（m）≥f（n）成立．【點評】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．21.某工廠去年某產品的年產量為100萬只，每只產品的銷售價為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預計產量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產品的固定成本為（k＞0，k為常數，且n≥0），若產品銷售價保持不變，第n次投入后的年利潤為萬元．（1）求k的值，并求出的表達式；（2）問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?參考答案：（1）由，當n＝0時，由題意，可得k＝8，所以．（2）由．當且僅當，即n＝8時取