試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，總=sectionpages33頁(yè)上海市長(zhǎng)寧區(qū)2020-2021學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（一模）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么BC的長(zhǎng)為（）A．10cos50° B．10sin50° C．10tan50° D．10cot50°【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵cosB＝，∴BC＝ABcosB＝10cos50°．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的定義．余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝．2．下列命題中，說(shuō)法正確的是（）A．四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似B．四個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)四邊形相似C．兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似D．斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似【答案】D【分析】根據(jù)三角形相似和相似多邊形的判定解答．【詳解】A、四個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似，原命題是假命題；B、四個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，四條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)四邊形相似，原命題是假命題；C、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，原命題是假命題；D、斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似，是真命題；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解三角形相似和相似多邊形，難度不大．3．已知、是兩個(gè)單位向量，向量，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由、是兩個(gè)單位向量的方向不確定，從而判定A與B錯(cuò)誤；又由平面向量模的知識(shí)，即可判定選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】解：∵、是兩個(gè)單位向量，方向不一定相同，∴與不一定相等，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∵、是兩個(gè)單位向量，方向不一定相同，∴與不一定相等，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵，，∴，選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量的定義和向量的數(shù)量積，注意平面向量的模的求解方法與向量是有方向性的．4．己知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么a、c滿足（）A．a(chǎn)＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，c＜0 C．a(chǎn)＜0，c＞0 D．a(chǎn)＜0，c＜0【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象開口向下確定出為負(fù)數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)即可確定出的正負(fù)情況，答案可解．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象開口向下，∴，∵二次函數(shù)圖象與軸的正半軸相交，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象的開口方向、對(duì)稱軸、與軸的交點(diǎn)與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．已知P，Q是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，且AB=10，則PQ長(zhǎng)為（）A．5(-1) B．5(+1) C．10(-2)- D．5(3-)【答案】C【分析】畫出圖像，根據(jù)黃金分割的概念寫出對(duì)應(yīng)線段的比值，求出AQ、PB的長(zhǎng)度，再根據(jù)PQ=AQ+PB－AB即可求出PQ的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，可知，AQ=PB，AB=10，AQ=PB=，PQ=AQ+PB－AB=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查黃金分割的概念，熟記黃金分割的概念并根據(jù)黃金分割的比值列式是解題關(guān)鍵．6．如圖，己知在ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E是邊BC上的兩點(diǎn)，連接AD、AE，且AD＝AE，如果ABE∽CBA，那么下列等式錯(cuò)誤的是（）A．AB2＝BE?BC B．CD?AB＝AD?ACC．AE2＝CD?BE D．AB?AC＝BE?CD【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)一一證明即可．【詳解】解：∵ABE∽CBA，∴，∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠CAB，∴AB2＝BE?BC，（故選項(xiàng)A正確）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴CDA∽CAB，∴，∴CD?AB＝AD?AC，（故選項(xiàng)B正確）∵∠ADE＝∠AED，∠BAE＝∠C，∴ABE∽CAD，∴，∴AE?AD＝CD?BE，又∵AD＝AE，∴AE2＝CD?BE，（故選項(xiàng)C正確）∵∠ADE＝∠AED＜90°，∴∠ADB＝∠AEC＞90°，∴AB＞AD，AC＞AE，∴AB?AC＞AE2，即AB?AC＞CD?BE，（故選項(xiàng)D錯(cuò)誤）故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題7．已知，那么的值為_______________．【答案】【分析】根據(jù)已知得到，代入所求式子中計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴：故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題考查了求分式的值，利用已知得到后再整體代入是解題的關(guān)鍵．8．計(jì)算：_______________．【答案】【分析】去括號(hào)，合并同類向量即可解得．【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．9．計(jì)算：_______________．【答案】【分析】根據(jù)cos45°=，sin60°=代入運(yùn)算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值．10．如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比為5：4．那么這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)之比為_______________．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比為5：4，

∴其相似比為5：4，

∴這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比為5：4．

故答案為：5：4．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．11．將拋物線向下平移3個(gè)單位后，所得拋物線的表達(dá)式是_______________．【答案】【分析】函數(shù)圖象上下平移時(shí)，根據(jù)“上加下減”求解即可．【詳解】拋物線向下平移3個(gè)單位后表達(dá)式為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象平移，熟記平移法則是解題關(guān)鍵．12．如圖，一輛汽車沿著坡度為的斜坡向下行駛50米，則它距離地面的垂直高度下降了米.【答案】25【分析】設(shè)出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設(shè)垂直高度下降了x米，則水平前進(jìn)了x米．根據(jù)勾股定理可得：x2+（x）2=502．解得x=25，即它距離地面的垂直高度下降了25米．【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的應(yīng)用.關(guān)鍵是熟悉且會(huì)靈活應(yīng)用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平寬度，綜合利用了勾股定理．13．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，比較與的大小：_____________（選擇“＞”或“＜”或“＝”填入空格）．【答案】【分析】把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入已知拋物線解析式，并分別求得與的值，然后比較它們的大小即可．【詳解】∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，∴，，∵，∴，故答案為：＞．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，且都滿足函數(shù)關(guān)系式．14．如圖，已知AC∥EF∥BD．如果AE：EB＝2：3，CF＝6．那么CD的長(zhǎng)等于_________．【答案】15【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式首先求得CF的長(zhǎng)，再求得DC的長(zhǎng)．【詳解】解：∵AC∥EF∥BD，CF＝6，，

∴DF=9，

∴CD=DF+CF=9+6=15．

故答案是：15．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理和比例的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．15．已知，二次函數(shù)的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則________．【答案】12【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合圖表數(shù)據(jù)可知，x＝?3時(shí)的函數(shù)值與x＝5時(shí)的函數(shù)值相同．【詳解】由圖表數(shù)據(jù)可知，拋物線的對(duì)稱軸為：x=1且f（?3）＝f（5）＝12．故答案為12．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，理解圖表并準(zhǔn)確獲取信息是解題的關(guān)鍵．16．如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心．如果AG＝CG，BG＝2，AC＝4，那么AB的長(zhǎng)等于_________．【答案】【分析】先延長(zhǎng)BG交AC與點(diǎn)D，再根據(jù)重心的性質(zhì)得出BD=3；證?ADG?CDG，得出BD⊥AC，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：（如圖）延長(zhǎng)BG交AC與點(diǎn)D，∵點(diǎn)G為△ABC的重心，BG=2,∴AD=CD，BD=3，又∵AG＝CG，GD=GD，∴?ADG?CDG，∴∠ADG=∠CDG，∴BD⊥AC，∵AC＝4，∴AD=2，∴AB===，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，三角形全等和勾股定理，正確做出輔助線，求出BD、AD的長(zhǎng)以及證明?ADG?CDG是解決本題的關(guān)鍵．17．如圖，矩形ABCD沿對(duì)角線BD翻折后，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)CE交邊AD于點(diǎn)F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE的長(zhǎng)等于_________．【答案】【分析】由折疊的性質(zhì)可得，由矩形的性質(zhì)可證明，故可得，再證明求得CD=2，在中由勾股定理可得解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，△BED是由△BCD翻折得到，∴，，∴，，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，又BD=DB∴∴∴，∴四邊形ABDE是等腰梯形，∵，∴，∠∵∠∴∠∴∴，即∴或-2（舍去）在中，，∵∠∴在中，由勾股定理得，即∴解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形，勾股定理的運(yùn)用以及折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．18．如果一條對(duì)角線把凸四邊形分成兩個(gè)相似的三角形，那么我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)凸四邊形的相似對(duì)角線，在凸四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊AD，邊BC上的中點(diǎn)．如果AC是凸四邊形ABCD的相似對(duì)角線，那么EF的長(zhǎng)等于_________．【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)可得BC，，繼而可證，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得CF＝BF＝＝1，，∠AFC＝∠FAE＝90°，繼而在Rt△AFC中，根據(jù)勾股定理可得AF，繼而在Rt△AEF中，由勾股定理即可求解．【詳解】解：∵，∵∴，∵，，∴又，∴，∵AB＝AC又點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是邊AD，邊BC上的中點(diǎn)．∴AF⊥BC，AF⊥AD，CF＝BF＝＝1，，即∠AFC＝∠FAE＝90°，在Rt△AFC中，由勾股定理，得：，∴在Rt△AEF中，由勾股定理，得：．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出綜合利用所學(xué)知識(shí)求得BC，AF的長(zhǎng)度．三、解答題19．已知二次函數(shù)．（1）用配方法把該二次函數(shù)的解析式化為的形式；（2）寫出該二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，并說(shuō)明函數(shù)值y隨自變量x的變化而變化的情況．【答案】（1）；（2）開口向下，頂點(diǎn)，對(duì)稱軸直線，x≤-1時(shí)，隨增大而增大；x＞-1時(shí)，隨增大而減小．【分析】（1）根據(jù)配方法，先提取，然后配成完全平方式，整理即可；（2）根據(jù)a是負(fù)數(shù)以及頂點(diǎn)式解析式分別求解即可．【詳解】解:(1)（2）①二次函數(shù)開口方向向下，②頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸直線，③x≤-1時(shí)，隨增大而增大；x＞-1時(shí)，隨增大而減小．【點(diǎn)睛】本題考查化一般式為頂點(diǎn)式和二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握配方法的操作以及根據(jù)頂點(diǎn)式形式寫出對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵．20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)AC、BE相交于點(diǎn)O．設(shè)，．（1）試用、表示；（2）在圖中作出在、上的分向量，并直接用、表示．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】（1）；（2）見解析，【分析】（1）首先證明，求出即可求解；（2）證明，求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解（1）∵∴∴∴；（2）∵AE∥BC，∴，∴，∴如圖所示，在、上的分向量分別為和．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，平行線的性質(zhì)、平面向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)．21．如圖，在中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且，.（1）求證：；（2）如果AF＝2，EF＝4，，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由平行線分線段成比例，得到，即可得到；（2）根據(jù)題意，由相似三角形的判定定理，先證明，即可求出的值．【詳解】證明：（1）∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵AF＝2，EF＝4，，∴，∴，，AE=AF+EF=6，∴，，∴，又，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例．解題的關(guān)鍵是利用平行線得出相似三角形及比例，從而進(jìn)行解題．22．某校為檢測(cè)師生體溫，在校門安裝了某型號(hào)的測(cè)溫門，如圖為該“測(cè)溫門”截面示意圖．身高1.6米的小聰做了如下實(shí)驗(yàn)：當(dāng)他在地面M處時(shí)“測(cè)溫門”開始顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭B處測(cè)得A的仰角為30°；當(dāng)他在地面N處時(shí)，“測(cè)溫門”停止顯示額頭溫度，此時(shí)在額頭C處測(cè)得A的仰角為53°．如果測(cè)得小聰?shù)挠行y(cè)溫區(qū)間MN的長(zhǎng)度是0.98米，求測(cè)溫門頂部A處距地面的高度約為多少米？（注：額頭到地面的距離以身高計(jì)，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，．）【答案】【分析】延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，構(gòu)造直角△ABE和矩形EDNC，設(shè)AE=x米，通過(guò)解直角三角形分別求出BE、CE的長(zhǎng)度，繼而求出BC，進(jìn)而可得關(guān)于x的方程，解方程求得x，即AE，繼而即可求解．【詳解】解：延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)E，∵BM＝CN且CN⊥DM，BM⊥DM∴BM∥CN，∴四邊形BCNM是平行四邊形，∵∠CNM＝∠BMN＝90°∴四邊形BCNM是矩形，同理：四邊形CEDN是矩形，∴DE＝CN＝BM＝1.6米∠AEC＝90°∵BC＝MN，設(shè)AE=x米，∵tan53°＝，tan30°＝，∴CE＝≈0.75x，≈1.73x，∴BC＝BE－CE＝1.73x－0.75x＝0.98x，又MN＝0.98，∴0.98x＝0.98，∴x＝1，即AE＝1米∵DE＝CN＝BM＝1.6米∴AE＋DE＝1+1.6＝2.6米答：測(cè)溫門頂部A處距地面的高度約為2.6米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問(wèn)題，涉及到矩形的判定及其性質(zhì)解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．23．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足為點(diǎn)H．點(diǎn)D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD，交CH于點(diǎn)E，且CE＝CD．（1）求證：△ACE∽△ABD；（2）求證：△ACD的面積是△ACE的面積與△ABD的面積的比例中項(xiàng)．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）先證，再證，利用相似三角形的判定求解即可；（2）根據(jù)同高的三角形的面積比等于底邊的比，得出和，再根據(jù)△ACE∽△ABD，得出結(jié)果．【詳解】證明（1）∵∠ACB=90°，CH⊥AB，∴∠CHA=90°=∠ACB，∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH，∴，∵，∴，∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°，∴，∴；（2）∵△ACE與△ACD同高，∴，∵△ACD與△ABD同高，∴，∵CD=CE，∴，∵△ACE∽△ABD，∴，∴，∴△ACD的面積是△ACE的面積與△ABD的面積的比例中項(xiàng)．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．24．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)D是拋物線上的點(diǎn)，且位于線段BC上方，聯(lián)結(jié)CD．①如果點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2．求cot∠DCB的值；②如果∠DCB＝2∠CBO，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；（2）①根據(jù)（1）中所求拋物線表達(dá)式，可以得到點(diǎn)、、的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式求出、、的值，證明三角形為直角三角形，進(jìn)而求出cot∠DCB的值；②過(guò)作軸的平行線，過(guò)作軸平行線交于，根據(jù)平行線的性質(zhì)推導(dǎo)出，從而得出三角形相似，利用相似比求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）將、代入y＝ax2+bx+2，得，，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）①當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，，∴，,,，為直角三角形，其中，∴;②過(guò)作軸的平行線，過(guò)作軸平行線交于，設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為,則，，∵，∴，,,，，,∴，解得：，（舍），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)、坐標(biāo)中兩點(diǎn)間距離公式、余切三角函數(shù)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定、相似比等，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)并根據(jù)已知條件做好輔助線．25．己知，在矩形ABCD中，點(diǎn)M是邊AB