專題2常用邏輯用語(yǔ)

命題趨勢(shì)

對(duì)于邏輯用語(yǔ)的考查，主要以充分必要條件，命題真假的判斷為主.充分必要條件一般

以其他知識(shí)作為載體進(jìn)行考查.

?.■■7號(hào)點(diǎn)清*I■…

1.四種命題的關(guān)系

(1)逆命題與否命題互為逆否關(guān)系.

(2)互為逆否命題的兩個(gè)命題同真假；當(dāng)判斷原命題的真假比較困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為判斷它

的逆否命題的真假.

(3)當(dāng)已知一個(gè)命題的真假時(shí)，只能由此得出它的逆否命題的真假性，不能判斷它的逆命題

與否命題的真假.

2.充分、必要條件

(1)p=>q,則p是q的充分條件；

(2)p<=q,則p是q的必要條件;

(3)poq,則p和q互為充要條件.

3.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)若命題pVq為真，則命題p或q有一個(gè)為真，或兩個(gè)都為真；

(2)若命題pAq為真，則要求p,q都為真.

4.全稱命題與特稱命題互相否定

否定

Vx￡M,p(x)=3x0GM,->p(x0)

5.“或”"且”聯(lián)詞的否定形式

“P或q”的否定形式是“非P且非q"，"P且q”的否定形式是“非p或非q”.

.???丁精題集訓(xùn)???.(70分鐘)

?經(jīng)典訓(xùn)練題

一、選擇題.

1.設(shè)a,b是兩條不同的直線，a是平面且bua,那么〃"是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】當(dāng)直線a在平面a內(nèi)時(shí)，由a〃匕不能推出a〃a;

當(dāng)a//a時(shí)，a有可能與b平行或異面，

所以是“a〃a”的既不充分也不必要條件，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線線與線面位置關(guān)系的判斷，充分與必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知命題p:3%eR,x2-x+1>0;命題q:若a2<川，則a<b.下列命題為真命題的

是0

A.p八qB.pA-iqC.-ip/\qD.pA-iq

【答案】B

【解析】命題p：3xGR,x2—x+1>0；知：p是真命題，-ip是假命題；

命題q：若a2cb2,貝lja<b；知：q是假命題，rq是真命題，

」.pA-iq是真命題，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的真假性判斷，根據(jù)原命題的真假性，應(yīng)用復(fù)合命題的真假判斷方

法，屬于簡(jiǎn)單題.

3.已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線小，n,I,貝n,I在同一平面''是"m,n,I兩兩相

交”的0

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】依題意小，n,，是空間不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，

當(dāng)n,［在同一平面時(shí)，可能”?〃〃〃’,故不能得出Tn,n,/兩兩相交;

當(dāng)m,n,/兩兩相交時(shí)，設(shè)mnn=4,mCI=B,nrtI=C,

根據(jù)公理2可知m,n確定一個(gè)平面a,而B(niǎo)emua,CEnca,

根據(jù)公理1可知，直線BC,即lua,所以m,n,1在同一平面.

綜上所述，“m,n,［在同一平面”是“m,n,I兩兩相交”的必要不充分條件，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查公理1和公理2的運(yùn)用，屬于中檔題.

4.已知命題p：Vx>0,ln(x+l)>0；命題q：若a>b,則a?>。？，下列命題為真命題

的是()

A.PMB.P八7C.22D.7八f

【答案】B

【解析】由x>0時(shí)，x+l>l,ln(x+l)有意義，知p是真命題，

由2>1,22-M；-i>-2,(―<(-2)2可知q是假命題，

即P，F(xiàn)均是真命題，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】解答簡(jiǎn)易邏輯聯(lián)結(jié)詞相關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵是要首先明確各命題的真假，利用或、且、非

真值表，進(jìn)一步作出判斷.

5.給出下列兩個(gè)命題：命題P：空間任意三個(gè)向量都是共面向量；命題q：“［2)\1)，，

是“Inxvlny,,的充要條件，那么下列命題中為真命題的是()

A.pAqB.pVqC.(-ip)AqD.(-ip)Vq

【答案】D

【解析】平行于同一平面的向量叫共面向量，故空間任意三個(gè)向量不一定都是共面向量，

例如在三條兩兩垂直的直線上取向量，則不共面，故命題p錯(cuò)，為假命題；

由,解得x<y；

由Inxvlny,解得0<%<九

故八，，不是x<Iny,,的充要條件，故命題q錯(cuò)，為假命題，

所以「p為真命題，

故pAq,pVq,(rp)Aq為假命題，(-ip)Vq為真命題，故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量共面，以及對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)、復(fù)合命題的真假

的判斷，

屬于基礎(chǔ)題型.

6.已知直線/是平面a和平面/?的交線，異面直線a,b分別在平面a和平面￡內(nèi).

命題P：直線a,b中至多有一條與直線I相交；

命題q：直線a,匕中至少有一條與直線/相交；

命題s：直線a,b都不與直線，相交.

則下列命題中是真命題的為。

A.pV(-)(?)B.(->p)AsC.qA(-)s)D.(-ip)A(-iq)

【答案】C

【解析】由題意直線，是平面a和平面/?的交線，異面直線a,b分別在平面a和平面￡內(nèi)，可知,

命題P：直線a,b可以都與直線/相交，所以命題p為假命題；

命題q：若直線a,b都不與直線(相交，則直線a,b都平行于直線那么直線a,b平行，與題

意a,b為異面直線矛盾，所以命題q為真命題；

命題s：直線a,b都不與直線Z相交，則直線a,b都平行于直線Z,那么直線a,b平行，與題意

a,b為異面直線矛盾，所以命題s為假命題；

由復(fù)合命題真假可知，對(duì)于A,〃為假命題，「q為假命題，所以pv(「q)為假命題；

對(duì)于B,巾為真命題，s為假命題，所以(巾)As為假命題；

對(duì)于C,q為真命題，「s為真命題，所以qA(「s)為真命題；

對(duì)于D,「p為真命題，「q為假命題，SinX°=C0SX°,所以(巾)人(蟲(chóng))為假命題，

綜上可知，C為真命題，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假判斷，復(fù)合命題真假判斷，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)

題.

7.已知命題p：VX6R+，愴"2°;q:sinxo=cos/,則下列命題中為真命題

的是()

A.-iqB.pAqC.-ipAqD.->qVp

【答案】C

【解析】由于當(dāng)。〈尤<1時(shí)，lgx<°,故命題P為假命題；

_71

由于當(dāng)X"W時(shí)，sinx0=cosx0i故命題q為真命題，

所以->pAq是真命題，故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了復(fù)合命題真假關(guān)系的判斷，結(jié)合條件，首先判斷命題P，q的真假，再

判斷復(fù)合命題的真假.

8.命題“若a>l,則mx>0,使得戶>/”的否命題為()

A.若貝Wx>0,ax<x2B.若貝歸x>0,ax<x2

C.若a>l,JilijBx<0,ax>x2D.若a>l,貝Wx>0,ax<x2

【答案】A

【解析】命題“若a>1,則更>0,使得小>x如的否命題為“若a<1,則Vx>0,ax<x如,

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查四種命題的應(yīng)用，考查否命題的寫(xiě)法，屬于基礎(chǔ)題.

/(X)傘+L2M

9.下列命題中假命題有：03mGR,使1ml是尋函數(shù)；②

3

sin0cos6=一

使5成立；③VQ€R,使a%+2y+。-2=0恒過(guò)定點(diǎn)；@Vx>0,不等式

2x+->4

工成立的充要條件是a22.則假命題是。

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】B

1c,

mH---F2=1

【解析】①中，令m，即機(jī)2+巾+1=0,其/=1—4=-3<0,

所以方程m2+爪+1=0無(wú)解，故①錯(cuò)；

ax

sin0cos0=—sin28=—>1

②中，由5,得5不成立，故②錯(cuò)；

③中，由ax+2y+a-2=0,得(x+l)a+2y-2=0,

所以ax+2y+a—2=0恒過(guò)定點(diǎn)（一1,1）,故③正確；

2x+->2V2a>4

④中，當(dāng)a22時(shí)，》成立，

2x+->4

反之，當(dāng)X成立，貝Ija2-/+4x=-2（x—1）2+2恒成立，

所以a22,故④正確，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】命題的真假判斷，需要考生對(duì)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)熟悉.

io.下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)是0

①對(duì)于命題pTxCR,使得/+%+1<0,則-）p:Vx€R,均有/+x+l>0;

②命題“已知X,yGR,若x+yK3,貝Ijx#2或y彳1”是真命題；

③“0<%<甘是“l(fā)°g2*<1"的必要不充分條件；

④已知直線II平面a,直線n〃平面出貝『a/9'是“1心的必要不充分條件.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】對(duì)于命題pTx€R,使得/+%+1<0,則rp：VxeR,均有M+x+lZO,故①

不正確；

命題”已知X,yeR,若x+y，3,則％力2或yH1”的逆否命題為：“已知》,yeR,若x=2且

y=1,

則x+y=3”為真命題，故②正確；

由log2”<l,得0<》<2,故"0<x<4”是“l(fā)°g2X<l，，的必要不充分條件，故③正確；

因?yàn)?〃￡,直線Z1平面a,所以直線11平面￡,又直線〃〃平面仇所以，In,充分性成立，

故④不正確，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷，掌握命題的否定，必要不充分條件的定義，互為逆否命

題的等價(jià)性是解題關(guān)鍵.

H.下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.命題“若am?<,貝Ija<b”的逆命題是真命題

B.命題“存在xCR,/-％>0”的否定是：“任意％611,%2-%<0"

C.命題“p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”均為真命題

D.已知X6R,則“x>1”是“X>2”的充分不必要條件

【答案】B

【解析】A.命題“若a/<bm2,則a<b"的逆命題是“若a<b,則am2<b/"是假命題,

m=0時(shí)不成立；

B.命題“存在X6R,/-%>0，，的否定是：“任意》6鳳%2-%<0,,,正確；

C."p或q”為真命題，則命題“p”和命題“q”至少有一個(gè)為真命題，因此不正確；

D.xeR,貝lj“x>1”是“x>2”的必要不充分條件，因此不正確，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.

12.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,m,下列說(shuō)法：①若a>b,flljani2>bm2;②若a>b,則a|a|>b|b|;

a+ma

③若b>a>0,m>0,則》+"?b；④若a>b>0,且,則2。+6的最小值

為2vL其中是真命題的為()

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】B

【解析】對(duì)于①，當(dāng)m=0時(shí)，am2=bm2=0,所以①是假命題；

對(duì)于②,當(dāng)a>0時(shí)，a|a|>b|b|成立;

當(dāng)a<0時(shí)，a|a|>。同等價(jià)于一a2>一常,即口2<62,

因?yàn)閎<a<0,所以。2<。2,所以a|a|><b|成立;

當(dāng)a=0時(shí)，b<0,所以a|a|>b|b|成立，

所以②是真命題；

a+ma+m)b-{b+ni)a(b-a^m

------------------——----------------------------------------------------------->(J

對(duì)于③，因?yàn)閎>a>。，m>0,所以"(b+m)b+,

a+m>a

所以8+加b,所以③是真命題；

對(duì)于④，因?yàn)閍>b>0,且所以a>i>b>0,且lna=—ln,所以帥=1,

2a+b=2a+^->2^22a--a=————<1

因?yàn)閍,當(dāng)且僅當(dāng)a,即2時(shí)成立，2,不合題意，

所以2a+b的最小值不是2企，

|2a+-|=2--Sy|2a+-|=2--^>0

又由1a)”一，因?yàn)閍>l,所以Ia'0,

c1C1

y—2aH—2aH—

所以.”是a的增函數(shù)，a在a>1時(shí)沒(méi)有最小值.所以④是假命題，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了以命題為背景的命題的真假判定，以及不等式的性質(zhì)和基本不等式

的應(yīng)用，

其中解答中熟記不等式基本性質(zhì)和基本不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.

13.以下說(shuō)法中正確的是0

①VxGR,x2—x+1>0

②若pVq為真命題，則pAq為真命題

③x>1是/+%-2>0的充分不必要條件

④“若%>y,則?>V”的逆否命題為真命題

A.①②B.①③C.②③D.③④

【答案】B

【解析】①函數(shù)y=--x+1開(kāi)口向上，J<0,因此vxeR,%2-x+1>0,正確；

②pVq為真命題，則其中一個(gè)為假命題或都是真命題，因此pAq不一定為真命題，錯(cuò)誤；

③由廠+x—2>°,得x>l或％<—2,因此x>1=>/+x—2>0,

但M+x-2>o3刀>1,即久>1是丁+*-2>°的充分不必要條件，正確；

@x>y^x2>y2,原命題為假命題，因此它的逆否命題為假命題，錯(cuò)誤，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任意性命題的判斷，“且”和“或”的理解，充要條件的判斷，原命題與逆否

命題真假值的關(guān)系.

二、填空題.

14.設(shè)n6N+,一元二次方程/-4x+n=。有整數(shù)根的充要條件是n=

【答案】3或4

【解析】直接利用求根公式進(jìn)行計(jì)算，然后用完全平方數(shù)、整除等進(jìn)行判斷計(jì)算.

2

因?yàn)閄是整數(shù)，即2±G而為整數(shù)，所以GG為整數(shù)，且〃W4,

又因?yàn)閚€N+，取n=l,2,3,4,驗(yàn)證可知n=3,4符合題意；

反之n=3,4時(shí)，可推出一元二次方程/-4》+71=0有整數(shù)根.

【點(diǎn)評(píng)】本題考了一元二次方程有實(shí)根的充要條件及分來(lái)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.能說(shuō)明“若/(x)>/(0)對(duì)任意的Xe(0,2］都成立，則f(x)在［0,2］上是增函數(shù)”為假命題的一

個(gè)函數(shù)是__________.

【答案】/(x)=sinx(答案不唯一)

/(■=［：_"I

【解析】令14一x,"e(0,2］,則/⑸>/(o)對(duì)任意的％e(0,2］都成立，但/(%)在［0,2］

上不是增函數(shù).

又如,令f(x)=sinx,則f(0)=0,/(%)>/(0)對(duì)任意的》6(0,2］都成立，但f(x)在［0,2］上

不是增函數(shù).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題型.

16.下列命題正確的是____.(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào))

①已知a,beR,"a>1且b>1”是“ab>1”的充分條件；

②已知平面向量"，方，“HE且網(wǎng)>L，是」的必要不充分條件；

③已知a,b&R,-a2+b2>1”是“|a|+\b\>1”的充分不必要條件；

-

④命題P：叼％o6R,使/。>x0+1且ln%0<%o1”的否定為"?P：“Vx￡R,都有e"<x+1

且lnx>x—l”.

【答案】①③

【解析】對(duì)于①，已知a,b€R,且力>1"是“ab>T'的充分條件，正確；

對(duì)于②，向量的加法法則可知，」4>1且網(wǎng)>1”不能得到」

“k+">i”不能得到」4>i且網(wǎng)>i，，，故錯(cuò)；

對(duì)于③，在單位圓/+y2=1上或圓外任取一點(diǎn)P(a,b),滿足+b2>r,

根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“⑷+\b\>1”，

在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)M(a,b),滿足“|。|+依21”,但不滿足，、2+拄21，，，故正確；

對(duì)于④，命題P：“〃0eR,使靖。之沏+1且In%4/一1，，的否定為-1P:“vxeR,都有短<

x+1或lnx>x-l，，，故錯(cuò)，

故答案為①③.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查不等式的性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算，考查命題的否定,

屬于中檔題.

?商頻易錯(cuò)題

一、選擇題.

1.命題SnGN*,使得n2M，，的否定形式是()

A.VxGR,3nGN*,使得n</B.Vx6R,VnGN*,使得n<x2

C.3x6R,2nGN*,使得n</D.3%GR,VnGN*,使得n</

【答案】D

【解析】V的否定是土三的否定是V,?2/的否定是九</,故選口.

【點(diǎn)評(píng)】考查了全稱命題與特稱命題的否定，注意在寫(xiě)命題的否定的時(shí)候，把條件當(dāng)中的特

稱量詞改成全稱量詞，全稱量詞改寫(xiě)成特稱量詞，結(jié)論改成否定的形式.

2.已知下列命題：

①“VxeR,x2+5x>6”的否定是TxeR,x2+5x<6,,；

②已知P，q為兩個(gè)命題，若“pVq”為假命題，貝/(-^)/\(，7)”為真命題；

③“a>2019”是“a>2020”的充分不必要條件；

④“若xy=0,則x=0且y=0”的逆否命題為真命題.

其中真命題的序號(hào)為0

A.③④B.①②C.①③D.②④

【答案】B

【解析】“VXGR,x2+5x>6”的否定是TxGR,x2+5x<6"，正確；

已知為兩個(gè)命題，若“pvq”為假命題，貝仁（Fo）/\（「q）”為真命題，正確；

“a>2019”是“a>2020”的必要不充分條件，錯(cuò)誤；

“若孫=0,則》=0且y=0”是假命題，則它的逆否命題為假命題，錯(cuò)誤，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假判斷，掌握四種命題的關(guān)系，復(fù)合命題的真假判斷，充分必要條

件等概念是解題基礎(chǔ).

3.下列敘述中正確的是0

A.若a,若CCR,則“a/+以+c20”的充分條件是*2-4ac<0"

B.若a,瓦ceR,則“。爐>刈2”的充要條件是“a>c”

C.命題“對(duì)任意xeR,有/20”的否定是“存在xeR,有

D.I是一條直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，若l_La,110,則。

【答案】D

【解析】當(dāng)a<0時(shí)，"b2-4ac<0"推不出"aN+bx+cN。"，A錯(cuò)；

當(dāng)b=0時(shí)，"a>c"推不出2爐>必2”,B錯(cuò)；

命題“對(duì)任意xeR,有/20”的否定是“存在xeR,有/<o"，c錯(cuò)；

因?yàn)榕c同一直線垂直的兩平面平行，所以D正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分、必要條件，當(dāng)P的充分條件是q時(shí)，貝g=P；當(dāng)P的必要條件是q時(shí),

則p=>q；

當(dāng)P的充要條件是q時(shí)，貝ljp=q.

八兀

G〉（）,夕￡一,兀

L2」）的部分圖象如圖所示，其中

4.已知函數(shù)f(x)=2sin(a)x+cp)(

|W|=-p:/(x)=2sin

2.即命題命題q：將/（%）的圖象向右平移6個(gè)單位,

y=2sin

得到函數(shù)的圖象.則以下判斷正確的是（）

A.pAq為真B.pVq為假c.pAjq)為真D.(->p)Vq為真

【答案】C

n

co--

【解析】由,解得3

結(jié)合f(0)=

兀5兀

好弓，兀夕=至

結(jié)合L，」，可得

/(x)=2sinl—x+—n

函數(shù)的解析式為136)則命題?是真命題.

兀

將函數(shù)/Q)的圖像上所有的點(diǎn)向右平移7個(gè)單位,

所得函數(shù)的解析式為即命題“為假命題,

則PAq為假命題；pVq為真命題；pA(-iq)為真命題；(-?p)Vq為假命題,

本題選擇C選項(xiàng).

【點(diǎn)評(píng)】本題結(jié)合三角函數(shù)考查復(fù)合命題的真假的判斷，要求考生三角函數(shù)圖象及三角函數(shù)

的性質(zhì)熟悉,

對(duì)邏輯聯(lián)詞的概念清晰，難度中等.

。精準(zhǔn)預(yù)測(cè)題

一、選擇題.

1.給出命題：若函數(shù)y=f(x)是幕函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象不過(guò)第四象限.在它的逆命

題、否命題、

逆否命題三個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】若函數(shù)y=/Q)是累函數(shù)，則函數(shù)y=/(%)的圖象不過(guò)第四象限，原命題是真命題