學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2014屆越秀區高三摸底考試試卷數學（理科)本試卷共4頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必用2B鉛筆在“考生號、座號”處填涂考生號、座位號，用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在學校、班級，以及自己的姓名填寫在答題卷上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑，如需改動,用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應的信息點，再作答．漏涂、錯涂、多涂的，答案無效．5．考生必須保持答題卷的整潔．考試結束后,將試卷和答題卷一并交回．參考公式:圓錐的側面積公式，其中是圓錐的底面半徑，是圓錐的母線長.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（).A。B.C.D。2。已知，則(）.A。B。C。D。3.設，則“"是“直線與直線平行"的(）.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側視圖都是底邊長為6、腰長為5的等腰三角形，則這個幾何體的全面積為（）。A.B.C.D。5.在△ABC中，，,則△ABC的面積為(）。A.3B.4C.6D.6.函數的零點所在的一個區間是（）。A.B.C.D。7.若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）。A。B。C.2D.8.若過點的直線與曲線和都相切，則的值為（）。A.2或B.3或C。2D.二、填空題：本大題共7小題,考生作答6小題，每小題5分,滿分30分．（一）必做題（9～13題）9．若復數滿足，則復數的實部是.10。的展開式中的常數項是.（用數字作答)11.執行如圖所示的程序框圖，則輸出的S的值是。12。已知實數滿足，則的最大值是.13。在區間上隨機取一個數,在區間上隨機取一個數，則關于的方程有實根的概率是。（二）選做題（14～15題,考生只能從中選做一題）14．(幾何證明選講選做題）如圖，AB為⊙O的直徑,弦AC、BD相交于點P,若，，則的值為.15．（坐標系與參數方程選做題）已知曲線C的參數方程是（為參數），以直角坐標系的原點O為極點，軸的正半軸為極軸，并取相同的長度單位建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程是。三、解答題：本大題共6小題,滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．(本小題滿分12分）已知函數,的最大值是1，最小正周期是，其圖像經過點．（1)求的解析式；（2）設、、為△ABC的三個內角，且，，求的值．17.（本小題滿分12分）某超市為了解顧客的購物量及結算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的50位顧客的相關數據,如下表所示:一次購物量（件）1≤n≤34≤n≤67≤n≤910≤n≤12n≥13顧客數(人）20105結算時間(分鐘/人）0.511。522。5已知這50位顧客中一次購物量少于10件的顧客占80％.（1）確定與的值；（2)若將頻率視為概率，求顧客一次購物的結算時間的分布列與數學期望;（3）在（2）的條件下,若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結算，且各顧客的結算相互獨立，求該顧客結算前的等候時間不超過2分鐘的概率。18。（本小題滿分14分）如圖，菱形的邊長為4,，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，.（1）求證:平面；（2)求證:平面平面；（3）求二面角的余弦值。19。（本小題滿分14分）已知數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）令，數列｛bn}的前n項和為Tn，試比較Tn與的大小，并予以證明。20．（本小題滿分14分）已知橢圓的左、右焦點分別為、，P為橢圓上任意一點，且的最小值為。（1）求橢圓的方程;（2）動圓與橢圓相交于A、B、C、D四點，當為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積。21。(本小題滿分14分)已知函數。（1)是否存在點，使得函數的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數的圖像上？若存在，求出點M的坐標；若不存在,請說明理由；(2)定義，其中,求；（3）在（2)的條件下,令,若不等式對且恒成立，求實數的取值范圍.2014屆越秀區高三摸底考試數學(理科）參考答案一、選擇題：本大題共8題，每小題5分，滿分40分．題號12345678答案BDCDACBA二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分．9.110.11。12。13。14.15。三、解答題:本大題共6小題,滿分80分．16。（1）依題意得。由，解得。所以。因為函數的圖像經過點，所以，即.因為，所以。所以。（2）由（1）得，所以，.因為，所以，.因為為△ABC的三個內角，所以。17.（1）依題意得，，,解得，。（2）該超市所有顧客一次購物的結算時間組成一個總體，所以收集的50位顧客一次購物的結算時間可視為總體的一個容量為50的隨機樣本，將頻率視為概率得，，，,，.所以的分布列為0.511。522。50.20.40。20.10.1的數學期望為。（3）記“該顧客結算前的等候時間不超過2分鐘”為事件A，該顧客前面第位顧客的結算時間為，由于各顧客的結算相互獨立,且的分布列都與的分布列相同，所以為所求.18。（1)因為O為AC的中點,M為BC的中點，所以。因為平面ABD，平面ABD，所以平面.（2)因為在菱形ABCD中，，所以在三棱錐中,.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，,所以BD＝4.因為O為BD的中點,所以。因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以。因為，所以，即。因為平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.因為平面DOM,所以平面平面.(3)作于，連結DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.因為，所以平面ODE.因為平面ODE，所以.所以是二面角的平面角.在Rt△DOE中，，，，所以.所以二面角的余弦值為。19。(1）當時，。又也適合上式，所以。（2)由（1）得，所以。因為①，所以②。由①－②得，,所以.因為,所以確定與的大小關系等價于比較與的大小.當時，；當時，；當時，;當時，；……，可猜想當時，。證明如下：當時，。綜上所述，當或時,；當時，.20.（1）因為P是橢圓上一點，所以.在△中,，由余弦定理得。因為，當且僅當時等號成立.因為，所以。因為的最小值為，所以，解得。又,所以。所以橢圓C的方程為.（2）設,則矩形ABCD的面積.因為，所以.所以。因為且，所以當時，取得最大值24。此時,.所以當時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為。21.(1)假設存在點，使得函數的圖像上任意一點P關于點M對稱的點Q也在函數的圖像上，則函數圖像的對稱中心為。由，