PAGEPAGE7概念、性質、定理、公式必須清楚，解法必須熟練，計算必須準確eq\o\ac(○,注)：全體維實向量構成的集合叫做維向量空間.eq\o\ac(○,注)√關于：=1\*GB3①稱為的標準基，中的自然基，單位坐標向量；=2\*GB3②線性無關；=3\*GB3③；④；⑤任意一個維向量都可以用線性表示.行列式的定義√行列式的計算：=1\*GB3①行列式按行（列）展開定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和.推論：行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零.=2\*GB3②若都是方陣（不必同階）,則（拉普拉斯展開式）=3\*GB3③上三角、下三角、主對角行列式等于主對角線上元素的乘積.④關于副對角線：（即：所有取自不同行不同列的個元素的乘積的代數和）⑤范德蒙德行列式：矩陣的定義由個數排成的行列的表稱為矩陣.記作：或伴隨矩陣，為中各個元素的代數余子式.√逆矩陣的求法:=1\*GB3①eq\o\ac(○,注)：對施行一次初等eq\o\ac(○,行)變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣eq\o\ac(○,左)乘；對施行一次初等eq\o\ac(○,列)變換得到的矩陣,等于用相應的初等矩陣eq\o\ac(○,右)乘.矩陣的秩如果矩陣存在不為零的階子式，且任意階子式均為零，則稱矩陣的秩為.記作向量組的秩向量組的極大無關組所含向量的個數，稱為這個向量組的秩.記作矩陣等價經過有限次初等變換化為.記作：向量組等價和可以相互線性表示.記作：矩陣與等價，可逆作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣與作為向量組等價矩陣與等價.向量組可由向量組線性表示有解≤.向量組可由向量組線性表示,且，則線性相關.向量組線性無關,且可由線性表示,則≤.向量組可由向量組線性表示,且,則兩向量組等價；任一向量組和它的極大無關組等價.向量組的任意兩個極大無關組等價.向量組的極大無關組不唯一，但極大無關組所含向量個數唯一確定.若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數相等.設是矩陣,若，的行向量線性無關；若，的列向量線性無關,即：線性無關.√矩陣的秩的性質：①≥≤≤②③④⑤≤⑥即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.⑦若；若⑧等價標準型.⑨≤≤≤⑩eq\o\ac(○,注)：線性方程組的矩陣式向量式矩陣轉置的性質：矩陣可逆的性質：伴隨矩陣的性質：（無條件恒成立）PAGEPAGE22線性方程組解的性質：√設為矩陣,若一定有解，當時,一定不是唯一解,則該向量組線性相關.是的上限.√判斷是的基礎解系的條件：①線性無關；②都是的解；③.√一個齊次線性方程組的基礎解系不唯一.√若是的一個解，是的一個解線性無關√與同解（列向量個數相同）,則：①它們的極大無關組相對應,從而秩相等；②它們對應的部分組有一樣的線性相關性；③它們有相同的內在線性關系.√兩個齊次線性線性方程組與同解.√兩個非齊次線性方程組與都有解，并且同解.√矩陣與的行向量組等價齊次方程組與同解（左乘可逆矩陣）；矩陣與的列向量組等價（右乘可逆矩陣）.√關于公共解的三中處理辦法：把(I)與(II)聯立起來求解；通過(I)與(II)各自的通解，找出公共解；當(I)與(II)都是齊次線性方程組時，設是(I)的基礎解系,是(II)的基礎解系，則(I)與(II)有公共解基礎解系個數少的通解可由另一個方程組的基礎解系線性表示.即：當(I)與(II)都是非齊次線性方程組時，設是(I)的通解，是(II)的通解，兩方程組有公共解可由線性表示.即：設(I)的通解已知，把該通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常數所應滿足(II)的關系式而求出公共解。標準正交基個維線性無關的向量,兩兩正交,每個向量長度為1.向量與的內積.記為：向量的長度是單位向量.即長度為的向量.√內積的性質：①正定性：②對稱性：③雙線性：的特征矩陣.的特征多項式.√是矩陣的特征多項式的特征方程.√，稱為矩陣的跡.√上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的各元素.√若,則為的特征值,且的基礎解系即為屬于的線性無關的特征向量.√一定可分解為=、,從而的特征值為：,.eq\o\ac(○,注)為各行的公比，為各列的公比.√若的全部特征值，是多項式,則:①若滿足的任何一個特征值必滿足②的全部特征值為；.√初等矩陣的性質：√設，對階矩陣規定：為的一個多項式.√√√的特征向量不一定是的特征向量.√與有相同的特征值，但特征向量不一定相同.與相似（為可逆矩陣）記為：與正交相似（為正交矩陣）可以相似對角化與對角陣相似.記為：（稱是的相似標準形）√可相似對角化為的重數恰有個線性無關的特征向量.這時,為的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為的特征值.設為對應于的線性無關的特征向量,則有：.eq\o\ac(○,注)：當為的重的特征值時，可相似對角化的重數基礎解系的個數.√若階矩陣有個互異的特征值可相似對角化.√若可相似對角化,則其非零特征值的個數（重根重復計算）.√若=，√相似矩陣的性質：①,從而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.eq\o\ac(○,注)是關于的特征向量,是關于的特征向量.②③從而同時可逆或不可逆④⑤；（若均可逆）；⑥（為整數）；，⑦eq\o\ac(○,注)前四個都是必要條件.√數量矩陣只與自己相似.√實對稱矩陣的性質：①特征值全是實數,特征向量是實向量；②不同特征值對應的特征向量必定正交；eq\o\ac(○,注)：對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；③一定有個線性無關的特征向量.若有重的特征值,該特征值的重數=；④必可用正交矩陣相似對角化，即：任一實二次型可經正交變換化為標準形；⑤與對角矩陣合同，即：任一實二次型可經可逆線性變換化為標準形；⑥兩個實對稱矩陣相似有相同的特征值.正交矩陣√為正交矩陣的個行（列）向量構成的一組標準正交基.√正交矩陣的性質：①；②；③正交陣的行列式等于1或-1；④是正交陣,則，也是正交陣；⑤兩個正交陣之積仍是正交陣；⑥的行（列）向量都是單位正交向量組.二次型，即為對稱矩陣，與合同.記作：（）正慣性指數二次型的規范形中正項項數負慣性指數二次型的規范形中負項項數符號差(為二次型的秩)√兩個矩陣合同它們有相同的正負慣性指數他們的秩與正慣性指數分別相等.√兩個矩陣合同的充分條件是：√兩個矩陣合同的必要條件是：√經過化為標準形.√二次型的標準形不是唯一的,與所作的正交變換有關,但非零系數的個數是由唯一確定的.√當標準形中的系數為-1或0或1時,稱為二次型的規范形.√實對稱矩陣的正（負）慣性指數等于它的正（負）特征值的個數.√慣性定理：任一實對稱矩陣與唯一對角陣合同.√用正交變換化二次型為標準形:求出的特征值、特征向量；對個特征向量正交規范化；構造（正交矩陣）,作變換,則新的二次型為,的主對角上的元素即為的特征值.施密特正交規范化線性無關,單位化：技巧：取正交的基礎解系，跳過施密特正交化。讓第二個解向量先與第一個解向量正交，再把第二個解向量代入方程，確定其自由變量.例如：取，.正定二次型不全