量子力學小結第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第一章緒論（小結）

1、經典物理的困難

黑體輻射，光電效應，原子光譜線系2、舊量子論<1>普朗克能量子論<2>愛因斯坦對光電效應的解釋；光的波粒二象性；光電效應的規律；愛因斯坦公式

：

光子能量動量關系

：第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五<3>玻爾的原子理論量子化條件：定態的假設、頻率條件：3、微觀粒子的波粒二象性,德布羅意關系戴維孫,革末等人的電子衍射實驗驗證了德布羅意關系。4、量子力學的建立物質波——>薛定諤方程——>非相對論量子力學

——>相對論量子力學——>量子場論

第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第二章波函數和薛定諤方程（小結）1．量子力學中用波函數描寫微觀體系的狀態。2．波函數統計解釋：若粒子的狀態用描寫，表示在t時刻，空間處體積元內找到粒子的幾率（設是歸一化的）。3．態疊加原理：設是體系的可能狀態，那么，這些態的線性疊加：也是體系的一個可能狀態。第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五若體系處于態，我們講體系部分處于態。4．波函數隨時間的變化規律由薛定諤方程給出：當勢場不顯含時，其解是定態解：

滿足定態薛定諤方程：其中定態薛定諤方程即能量算符的本征方程。第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五5．波函數的歸一化條件：

相對幾率分布：

波函數存在常數因子不定性；相位因子不定性。6．波函數標準條件：波函數一般應滿足三個基本條件：連續性，有限性，單值性。7．幾率流密度

與幾率密度

滿足連續性方程：第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五8．一維無限深方勢阱

本征值

本征函數

若

則本征值第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五本征函數

9．三維無限深方勢阱

可以用分離變量法求解得到本征值

本征函數第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五10．一維諧振子

本征值本征函數11、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標中）三維各向同性諧振子的能級和波函數。第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五12、勢壘貫穿隧道效應：

粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象，稱為隧道效應。第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第三章量子力學中的力學量（小結）1．量子力學中的力學量用線性厄米算符表示，并且要求該算符的本征函數構成完備系。2.厄米算符A的定義：厄米算符的本征值是實數。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數一定正交。力學量算符的本征函數系滿足正交、歸一、完備等條件。第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3．力學量的測量值：在力學量F的本征態中測量F，有確定值，即它的本征值；在非的本征態中測量F，可能值是F的本征值。將用算符F的正交歸一的本征函數展開：

則在態中測量力學量F得到結果為的幾率為，得到結果在范圍內的幾率為:

。第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五力學量的平均值是:

或第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五4．連續譜的本征函數可以歸一化為函數。5．簡并：屬于算符的某一個本征值的線性無關的本征函數有若干個，這種現象稱為簡并。簡并度：算符的屬于本征值的線性無關的本征函數有f個，我們稱的第n個本征值是f度簡并的。6．動量算符的本征函數(即自由粒子波函數)

正交歸一性

第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五7．角動量分量本征函數的本征值

8．平面轉子（設繞軸旋轉）哈密頓量能量本征態能量本征值第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五9．有共同的本征函數—球諧函數：

中心力場中，勢場，角動量為守恒量。1．第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五10．中心力場中，定態薛定諤方程

選為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數為

11．氫原子第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五類氫離子12．守恒力學量的定義：若（即力學量的平均值不隨時間變化），則稱為守恒量。力學量的平均值隨時間的變化滿足因而力學量為守恒量的條件為：且第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五13．宇稱算符宇稱算符的定義：，本征值，本征函數。14．對易式定義：15．對易式滿足的基本恒等式：

（Jacobi恒等式）第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五16．一些重要的對易關系：第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五17．若算符對易，即，則和有共同的本征函數系。在和的共同的本征函數表示的態中測量，都有確定值。若算符不對易，即，則必有簡記為特別地，第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第四章態和力學量的表象小結1．表象是以的本征函數系為基底的表象，在這個表象中，有第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五算符F對應一個矩陣（方陣），矩陣元是:選定表象后，算符和量子態都用矩陣表示。平均值公式是：歸一化條件是：本征值方程是：

2．在量子力學中，兩個表象之間的變換是幺正變換，滿足；態的變換是；算符的變換是。幺正變換不改變算符的本征值。3．量子態可用狄拉克符號右矢或左矢表示。狄拉克符號的最大好處是它可以不依賴于表象來闡述量子力學理論，而且運算簡潔。第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五基矢的封閉性：坐標表象狄拉克符號第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五4．粒子占有數表象以線性諧振子的粒子數算符N或者哈密頓Ｈ的本征態為基矢的表象。

粒子數算符：湮滅算符：產生算符：第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第五章微擾理論小結1．定態微擾理論適用范圍：求分立能級及所屬波函數的修正。適用條件是：一方面要求的本征值和本征函數已知或較易計算，另一方面又要求把Ｈ的主要部分盡可能包括進去，使剩下的微擾比較小，以保證微擾計算收斂較快，即（1）非簡并情況：第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五其中，能量的一級修正等于態中的平均值。（2）簡并情況能級的一級修正由久期方程即給出。有個實根，記為第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五分別把每一個根代入方程，即可求得相應的解，記為，于是得出新的零級波函數2．變分法選擇嘗試波函數，計算的平均值，它是變分參量的函數，由極值條件定出，求出，它表示基態能量的上限。相應能量為第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五3.與時間有關的微擾理論（1）由的躍遷幾率是（在一級近似下）此公式適用的條件是對于（2）能量和時間的測不準關系：（3）偶極躍遷中角量子數與磁量子數的選擇定則第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例題1、設在H0表象中，的矩陣為：試用微擾論求能量的二級修正。解：本題的意義在于：并不知道無微擾算符，微擾和總的（一級近似）哈氏算符的形式，也不知道零階近似波函數的形式，知道的是在表象中的矩陣。但僅僅根據這矩陣的具體形式，按習慣用代表字母的涵義，可以知道幾點：第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（1）能量本征值是分立的（因為用分立矩陣表示，若是連續能量本征值，不能用此表示法），無微擾能量本征值有三個，本征函數。因

（2）微擾算符的的矩陣是

根據無簡并微擾論，一級能量修正量是：從（2）中看出，對角位置的矩陣元全是零，因此一級修正量：第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五又二級能量公式是：所需的矩陣元已經直接由式（2）表示出，毋需再加計算，因而有：第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五例2、設在H0表象中用微擾論求能量修正量（到二級近似），嚴格求解與微擾論計算值比較。解：直接判斷法：題給矩陣進行分解，有第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五從矩陣（3）知道一級修正量（用對角矩陣元）和二級修正量（用非對角矩陣元）仿前一題，直接寫出兩個能級（正確到二級修正量）嚴格求解法：這就是根據表象理論，分立表象中，本征方程可以書寫成矩陣方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用單列矩陣表示）。我們設算符H（1）具有本征矢，本征值是，列矩陣方程式：第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五展開后成兩式

又假設本征矢是歸一化的：（5）式有非平凡解的條件是：第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（7）后一式可展開（8）第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（7）是正確本征值解，共有二個，以符號來區別。（8）的級數展開式可分寫為中斷在第三項的時侯便是二階近似值，這由對比便能知道兩個能級近似值的絕對誤差是有下述上限的。第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五第七章自旋與全同粒子1．電子自旋電子自旋假設的兩個要點：（1）

（2）內稟磁矩的值即玻爾磁子的值：

斯特恩—蓋拉赫實驗證明了原子具有磁矩和電子自旋。2.自旋算符和自旋波函數（1）自旋算符與Pauli矩陣：第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五對易關系：（單位算符）

第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（2）自旋波函數（200-203頁）考慮電子的自旋后，電子的波函數是二行一列矩陣：當電子的自旋與軌道相互作用可以忽略時，電子的波函數可以寫為：

第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五的本征函數：（3）兩電子體系的自旋波函數：第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五算符3、兩個角動量的耦合若是兩個獨立的角動量，則也是角動量。

C-G系數的性質：，j的取值

第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五4、全同粒子（1）量子力學中，把內稟屬性（靜質量、電荷、自旋、磁矩、壽命等）相同的粒子稱為全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可區分性，使得全同粒子所組成的體系中，二全同粒子相互代換不引起物理狀態的改變。全同性原理或表述為交換對稱性：任何可觀測量，特別是Hamilton量，對于任何兩個粒子交換是不變的。這就給描述全同粒子系的波函數帶來很強的限制，即要求全同粒子體系的波函數具有交換對稱性或者交換反對稱性。

第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期五（3）全同粒子系的波函數的交換對稱性與粒子的自旋有確定的聯系。玻色子：自旋為整數倍（）的粒子，波函數對于兩個粒子交換總是對稱的，例如介子（），光子（）。它們遵守Bose統計，稱為Bose子。費米子：自旋為半奇數倍（）的粒子，波函數對于兩個粒子交換總是反對稱的，例如電子，質子，中子等。它們遵守Fermi統計，稱為Fermi子。由“基本粒子”組成的復雜粒子，例如粒